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模板 - 直线和圆、圆和圆的位置位置关系[资料]
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内容
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直线和圆、圆和圆的位置位置关系
1. 理解直线和圆的三种位置关系,了解切线的概念,掌握圆的切线性质与判定,以及作三角
教学目标 形内切圆的方法(
2. 理解圆和圆的位置关系,以及圆心距与圆的半径之间的关系,并能解决实际问题(
1. 理解直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系,圆的切线的性质、判定及其应用( 教学重、难点 2. 圆与圆的位置关系(
,知识
要点
综治信访维稳工作要点综治信访维稳工作要点2018综治平安建设工作要点新学期教学工作要点医院纪检监察工作要点
,
知识点
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1、直线和圆的位置关系的定义及其有关概念(
直线和圆有三种位置关系:相交、相切、相离(
(1)直线和圆有两个交点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线(
(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,唯一的交点叫做切点(
(3)当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离(
知识点2、直线和圆的位置关系的性质和判定(
如果?O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
(1)直线l和?O相交d
r
知识点3、切线的性质定理
定理:圆的切线垂直于过切点的直径(
如图所示,已知直线CD与?O相切于点A,AB为直径,切线的性质定理的题设和结论如下
表
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:
性题设 结论
质直线CD与?O相切于点A,ABAB?CD 定为 理 ?O的直径(
本定理也可以这样理解,如果一条直线既过圆心又过切点,那么这条直线与圆的切线垂直(如图所示,若直线l切?O于A,直线m经过点O和点A,则直线m?l.
知识点4、切线的判定
1)切线的判定定理:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线(
切线的判定定理的题设是:一条直线l满足两个条件:?经过直径AB的一个端点A,?垂直于这条直径AB,结论是:这条直线l是圆的切线(
注意:一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时,才是圆的切线,千万不能只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线(如图所示的直线l都不是?O的切线(
2)切线的判定方法(
(1)定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
(2)数量关系:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线(
(3)判定定理:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线(
说明:判定切线的三种方法中,常用的是后两种方法,用后两种方法判定切线时,往往需要添加辅助线(
3)添加辅助线的规律
(1)如果已知直线经过圆上的一点,那么连接这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可,简记为:连半径,证垂直(
(2)如果已知条件中不知道与圆是否有公共点,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径即可,简记为:作垂直,证半径(
知识点5、三角形的内切圆、三角形的内心的概念
和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心(如图所示,?I为?ABC的内切圆,I为?ABC的内心(
说明:(1)由三角形内切圆的作法可知,任意三角形都有且只有一个内切圆(因为圆心是唯一确定的,半径是一个定长)
(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,即当三角形的内心已知时,过三角形的顶点和内心的射线,平分三角形的内角(
知识点6、三角形内切圆的作法
已知:?ABC
求作:?ABC的内切圆(
分析:作圆的关键是确定圆心,因为三角形的内切圆与三边都相切,所以圆心(三角形的内心)到三边的距
离相等,因此?ABC的内切圆的圆心既要在?B的平分线上,又要在?C的平分线上,显然这两条角平分线的
交点到三边的距离相等,是三角形的内心(
作法:(1)作?B,?C的平分线BE和CF,交点为I
(2)过I作ID?BC,垂足为D.
(3)以,为圆心,以ID为半径作?,(
则?I就是所求作的圆(
知识点7、三角形的内心与外心的区别(
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角三角形三条边的垂(1) 到?ABC三顶点的形外接圆直平分线的交点 距离相等,即OA=OB=OC, 圆心) (2) 不一定在?ABC内
部
内心(三角三角形三条角平分(1)到?ABC三边的距离相形内接圆线的交点 等,即OD=OE=OF, 圆心) (2)AO,BO,CO分别平
分?BAC,?ABC,?ACB
(3)一定在三角形内部(
知识点8、圆和圆的位置关系
同一平面内两个不等的圆之间有下列五种位置关系(
(1)两圆外离
(2)两圆外切
(3)两圆相交
(4)两圆内切
(5)两圆内含
注意:(1)两圆的五种位置关系还可以进一步概括为:
(2)两圆外切和两圆内切,统一称为两圆相切,唯一的公共点称为切点(
知识点9、两圆相切的性质
如果两圆相切,那么两圆的连心线经过切点(
例如,如图所示,已知?O与?O相切(包括内切与外切)于点T,求证切点T一定在连心线上( 12
证明:假设切点T不在上,
因为连心线是由?O与?O组成的图形的对称轴, 12
所以点T关于的对称点也不在上,
并且也是?O与?O的公共点, 12
即?O与?O有两个公共点T, 12
这与已知?O与?O相切(只有唯一公共点)矛盾( 12
所以?O与?O相切时,切点T在连心线上( 12
证明:(1)要正确区分连心线和圆心距,连心线是指通过不同心的两个圆圆心的一条直线,而圆心距是指两个圆圆心之间的线段的长度,显然两个圆圆心的连线一定在连心线上(
(2)“相切两圆的连心线经过切点”也可理解为“相切两圆的圆心、切点在同一条直线上”或“经过相切两圆的切点和一个圆圆心的直线必经过另一个圆的圆心”(
(3)两圆相切时,连心线是常见的一条辅助线,使用连心线时,要注意连心线是直线而不是线段,有时也用圆心距(
又如:如图所示,?O与?O外切于点P,过点P的直线AB分别交?O,?O于点A,B,已知?O与12121?O的面积比是3:1,则AP:BP等于( ) 2
A. 3:1 B. 6:1 C. 9:1 D. :1
分析:已知?O,?O外切于点P,连接,则必过切点P,连接,则??BP,12
所以,又因为?O与?O的面积比是3:1,即 12
答案:D
知识点10、两圆相切与两圆的半径、圆心距之间的数量关系
设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,则
(1)两圆外切d=R+r
(2)两圆内切d=R,r
说明:(1)上述式子从左到右是两圆位置关系的性质,从右到左是两圆位置关系的判定(
(2)两圆相切有两种情况:外切和内切(
(3)两圆外离、相交、内含与两圆的半径、圆心距之间的数量关系如下:
?两圆外离d>R+r
?两圆相交R,rr,?C与AB相离(
当r=2.4cm时,CD=r,?C与AB相切(
当r>2.4cm时,CD
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