初中二次函数知识点总结与练习题

二次函数知识点总结 一、二次函数概念: 2abc～～1(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。 这a,0yaxbxc,，， bc～里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体实a,0 数( 22. 二次函数的结构特征: yaxbxc,，， ? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( xx abc～～? 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( bac 二、二次函数的基本形式 21. 二次函数基本形式:的性质: yax, a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随x,0yx,0yx 00～轴 y a,0，，向上 的增大而减小;时，有最小值( x,0y0x 时，随的增大而减小;时，随x,0yx,0yx 00～轴 y a,0，，向下 的增大而增大;时，有最大值( x,0y0x 22. 的性质: yaxc,， 上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随x,0yx,0yx 0～c轴 y ，，a,0向上 的增大而减小;时，有最小值( x,0yxc 时，随的增大而减小;时，随x,0yx,0yx 0～c轴 y a,0，，向下 的增大而增大;时，有最大值( x,0yxc 23. yaxh,,的性质: ，， 左加右减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随xh,yxh,yx h～0，， a,0向上 X=h 的增大而减小;时，有最小值( xh,y0x 时，随的增大而减小;时，随xh,yxh,yx h～0 a,0，，向下 X=h 的增大而增大;时，有最大值( xh,y0x 1 24. 的性质: yaxhk,,，，， 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时，随的增大而增大;时，随xh,yxh,yx hk～ a,0，，向上 X=h 的增大而减小;时，有最小值( xh,ykx 时，随的增大而减小;时，随xh,yxh,yx hk～ ，，a,0向下 X=h 的增大而增大;时，有最大值( xh,ykx三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 2方法一:? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; yaxhk,,，hk～，，，， 2? 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: yax,hk～，， 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22y=axy=ax+k 向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( hk 概括成八个字“左加右减，上加下减”( 方法二: 22?沿y轴平移:向上(下)平移个单位，变成 y,ax，bx，cy,ax，bx，cm 22(或) y,ax，bx，c，my,ax，bx，c,m 22?沿x轴平移:向左(右)平移个单位，变成y,ax，bx，cy,ax，bx，cm 22(或) y,a(x，m)，b(x，m)，cy,a(x,m)，b(x,m)，c 22四、二次函数yaxhk,,，与的比较 yaxbxc,，，，， 22yaxhk,,，从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前yaxbxc,，，，， 222bacb4,bacb4,,,yax,，，者，即，其中( hk,,,～,,24aa24aa,, 2五、二次函数图象的画法 yaxbxc,，， 2 22五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、yaxbxc,，，yaxhk,,，() 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴y 的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴0～c0～c2hc，x～0x～0xx，，，，，，，，，，12 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. yx 2六、二次函数的性质 yaxbxc,，， 2,,bacb4,b,～x,, 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为( a,0,,2a24aa,, bbbx,,x,,x,,当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最小yyyxx2a2a2a 24acb,值( 4a 2,,bacb4,bb,～x,,x,, 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，随a,0y,,2a2a24aa,, 2bb4acb,x,,x,,的增大而增大;当时，随的增大而减小;当时，有最大值( yyxx2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 21. 一般式:(，，为常数，); ba,0yaxbxc,，，ac 22. 顶点式:(，，为常数，); hka,0yaxhk,,，()a yaxxxx,,,()()3. 两根式:(，，是抛物线与轴两交点的横坐标). a,0xxx1212 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 2bac,,40有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式x 的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 2二次函数中，作为二次项系数，显然( a,0yaxbxc,，，a ? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大; a,0aa ? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大( a,0aa 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( aaa 2. 一次项系数 b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( ba ? 在的前提下， a,0 b,,0当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧; b,0y2a b,,0当b,0时，，即抛物线的对称轴就是y轴; 2a b,,0时，，即抛物线对称轴在轴的右侧( 当b,0y2a ? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 a,0 3 b,,0时，，即抛物线的对称轴在轴右侧; 当yb,02a b,,0当时，，即抛物线的对称轴就是轴; yb,02a b,,0当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧( yb,02a 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置( ba bx,,的符号的判定:对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是abab,0ab,0yy2a “左同右异” 总结: 3. 常数项 c ? 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正; c,0yyx ? 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; c,0yy0 ? 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负( c,0yyx 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置( yc abc～～ 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 x 22 关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，，yaxbxc,,,,x 22yaxhk,,，关于轴对称后，得到的解析式是yaxhk,,,,; x，，，， 2. 关于轴对称 y 22 关于轴对称后，得到的解析式是; yyaxbxc,，，yaxbxc,,， 22yaxhk,,，关于轴对称后，得到的解析式是yaxhk,，，; y，，，， 3. 关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，，yaxbxc,,，, 22 yaxhk,,，关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk,,，,; ，，，， 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180?) 2b22yaxbxc,,,，, 关于顶点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，，2a 4 22关于顶点对称后，得到的解析式是( yaxhk,,，yaxhk,,,，，，，， 5. 关于点对称 mn～，， 22关于点对称后，得到的解析式是 yaxhk,,，yaxhmnk,,，,，,22mn～，，，，，， 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求a抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): x 22y,0axbxc，，,0是二次函数当函数值时的特殊情况. 一元二次方程yaxbxc,，， 图象与轴的交点个数: x 2()xx,,,,,bac40? 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次AxBx，，，00xxx，，，，，121212 2bac,42ABxx,,,方程的两根(这两点间的距离. axbxca，，,,00，，21a ? 当时，图象与轴只有一个交点; ,,0x ? 当时，图象与轴没有交点. ,,0x y,01' 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有; a,0xx y,02'当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有( a,0xx 2(0c)2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，; yyaxbxc,，， 3. 二次函数常用解题方法总结: ? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; x ? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 2? 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号bbyaxbxc,，，acac 判断图象的位置，要数形结合; ? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一x 个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2? 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数;axbxca，，,(0)x下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: a,0 ,,0抛物线与轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根 x 两个交点 可零、可负 ,,0轴只二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与x 有一个交点 ,,0轴无二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 抛物线与x 交点 5 图像参考: 2y=2x 2y=x 2xy=2 2xy= -2 2y= -x 2y=-2x 2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x22y=3(x-2)y=2x 2y=2x-4 22y=2xy=2(x-4) 2y=2(x-4)-32y=-2(x+3) 2y=-2(x-3)2y=-2x 6 十一、函数的应用 刹车距离, ,二次函数应用何时获得最大利润 , ,最大面积是多少, 二次函数考查重点与常见题型 1( 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如: 22已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 y,(m,2)x，m,m,2xm 2( 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像， 习题 有理数乘除混合运算习题护理管理学习题以及答案高等数学极限习题过敏性休克习题与答案诫子书习题及答案 的特点是在同一直角坐标系内考查 两个函数的图像，试题类型为选择题，如: 2y,kx，b如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是( ) y,kx，bx,1 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3( 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如: 5已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。 x,3 4( 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如: 32已知抛物线(a?0)与x轴的两个交点的横坐标是,1、3，与y轴交点的纵坐标是, yaxbxc,，，2 (1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5(考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 c2例1 (1)二次函数的图像如图1，则点在( ) M(b,)yaxbxc,，，a A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限 2 (2)已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象如图2所示，•则下列结论:?a、b同号;?当x=1和x=3时，函数值相等;?4a+b=0;?当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 (1) (2) 7 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键( 2例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x，0)，且1O;?4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D(4个 答案:D 会用待定系数法求二次函数解析式 22例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D((3，2) 答案:C 例4、(2006年烟台市)如图(单位:m)，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到2AB与CD重合(设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym( (1)写出y与x的关系式; (2)当x=2，3.5时，y分别是多少, (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间,求抛物线顶点坐标、 对称轴. 152例5、已知抛物线y=x+x-( 22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴( (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长( 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系( 2例6.已知:二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，A(x,0)B(x,0)(x,x)1212交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB( (1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角?MCO>?ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在，请你说明理由( (1)解:如图?抛物线交x轴于点A(x，0)，B(x2，O)， 1 则x?x=3<0，又?xO，x?ACO( 12例7、 “已知函数y,x，bx，c的图象经过点A(c，,2)， 2 求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式,若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象;若不能，请说明理由。 8 (2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评: 对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c，,2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 12[解答] (1)根据的图象经过点A(c，,2)，图象的对称轴是x=3，y,x，bx，c2 1,2，，,,2,cbcc,2,得 b,,,3,,12,,2, b,,3,,解得 ,c,2., 12所以所求二次函数解析式为图象如图所示。 y,x,3x，2.2 12(2)在解析式中令y=0，得，解得 x,3x，2,0x,3，5,x,3,5.122 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是5,0) (3,5,0). 5令x=3代入解析式，得 y,,,2 152所以抛物线的顶点坐标为 y,x,3x，2(3,,),22 5所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。 (3,,)2 函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 ;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图)，其中AF=2，BF=1(试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积( 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力(同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间( 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)•与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 „ y(件) 25 20 10 „ 若日销售量y是销售价x的一次函数( (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元,•此时每日销售利润是多少元, 9 1525,kb，,, 解得k=-1，b=40，•即一次函数表达 【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b(则,220kb，,, 式为y=-x+40( (2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 22 w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225( 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元( 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数;(2)•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程( 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线(如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2(5 m处(绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶(已知学生丙的身高是1(5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A(1(5 m B(1(625 m C(1(66 m D(1(67 m 分析:本题考查二次函数的应用 答案:B 二(二次函数部分 2A1(如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点(3，0)，二次函数图象对称轴为x,1，yaxbxc,，， y 给出四个结论: 2bac,4bc,0?;?;?20ab，,;?a-b+c>0其中正确结论是( ) A(?? B(?? C(?? D(?? x O A(30)， x,1 第1题图 22(已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与y轴的正半轴的yaxbxc,，，(0)x，12,,xx(20),，11 420abc,，,ab,,020ac，,210ab,，,交点在的下方(下列结论:?;?;?;?;?(02)， 4a+c<0其中的正确结论是 23(在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=,mx，2x，2(m是常数，且m?0)的图象可能是( ) y y y y x O x O O O x x 10 A B C D 24.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( ) yx,, 22A( B( yx,,,,(1)3yx,,，,(1)3 22C( D( yx,,,，(1)3yx,,，，(1)3 25(把抛物线y,ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y 2,x,3x+5，则a+b+c=__________ 6.图6(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面 宽4m(如图6(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( ) 2A( yx,,2 2B( yx,2 12C(yx,,2 图6(1) 图6(2) 12D( yx,2 27、如图是抛物线的一部分，其对称轴 y,ax，bx，c 为直线,1，若其与轴一交点为B(3，0)，则xx 2ax，bx，c由图象可知，不等式,0的解集是 第7题图 28(根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴yyaxbxc,，，xx ( )( x„ 0 „ ,112 77 y, , „ „ ,1,2 44A(只有一个交点 B(有两个交点，且它们分别在y轴两侧 C(有两个交点，且它们均在y轴同侧 D(无交点 29(如图，抛物线与轴的一个交点A在点(-2，0)和(-1，0)之间(包括这两点)，顶yaxbxc,，，x 点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，则 0(填“”或“”); # .,,(1)abc 的取值范围是 # .(1)a 10(本小题满分6分) 2A,1，0B30，yC如图二次函数的图象经过和两点，且交轴于点( yxbxc,，，，，，， 11 (1)试确定、的值; bc (2)过点作轴交抛物线于点点M为此抛物线的顶点，试确定的形状( CD，CDx??MCD 2,,bacb4,参考公式:顶点坐标 ,，,,24aa,,y 0 A x B C 3211如图，抛物线与x轴正半轴交于点A(3，0).以OA为边在x轴上方作正方形OABC，y,ax,x,2 延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF. (1)求a的值.(2分) (2)求点F的坐标.(5分) 12((本题满分10分) A如图，在平面直角坐标系中，OBOA,，且OBOA,2，点的坐标是( (12),， B(1)求点的坐标; (2)求过点AOB、、的抛物线的表达式; y ABP(3)连接，在(2)中的抛物线上求出点，使得( SS,??ABPABO A B 1 x O 1 13((本小题满分 10 分) 2已知一元二次方程的一根为 2( xpxq，，，, 10 (1)求q关于p的关系式; 2(2)求证:抛物线与轴恒有两个交点; yxpxq,，，x 12 14((10分)鞋子的“鞋码”和鞋长(cm)存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数 值:,注:“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码, 鞋长(cm) 16 19 21 24 鞋码(号) 22 28 32 38 (1)设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点(x，y)在你学过的哪种函数的图象上, (2)求x、y之间的函数关系式; (3)如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少, 15((满分8分)阅读材料，解答问题( y 23 xx,,,230例 用图象法解一元二次不等式:( 2 2解:设，则是的二次函数( yyxx,,,23x1 x a,,？10，抛物线开口向上( 1 2 3 ,2,1 ,1 2,2xx,,,230又当时，，解得( xx,,,13，y,012 ,32由此得抛物线的大致图象如图所示( yxx,,,23？ ,4 (第22题) 观察函数图象可知:当x,,1或x,3时，( y,0 2xx,,,230的解集是:x,,1或x,3( ？ 2xx,,,230(1)观察图象，直接写出一元二次不等式:的解集是____________; 2x,,10(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式:((大致图象画在答题卡上) ((( 13 以下是二次函数和相似结合的几道经典题: y,a(x，3)(x,1)16、(9分)如图11，抛物线与轴相交于A、B两点(点A在点B右侧)，过点A的x直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(-2，6). (1)求a的值及直线AC的函数关系式; (2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N. ?求线段PM长度的最大值; ?在抛物线上是否存在这样的点M，使得?CMP与?APN相似,如果存在，请直接写出一个M的坐标(不必写解答过程);如果不存在，请说明理由. 717.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB39 的长为6. ?求二次函数的解析式; ?在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标; ?在抛物线上是否存在点Q，使?QAB与?ABC相似,如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说 明理由( 14 18((本题满分10分) 如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B( (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上求点M，使?MOB的面积是?AOB面积的3倍; (3)连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使?OBN与?OAB相似,若存在，求出 N点的坐标;若不存在，说明理由( y A O B x 19(,本题满分10分, 32如图，已知抛物线y,x，bx，c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为(,1，0)，4 3过点C的直线y,x,3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH?OB于点H(若4t PB,5t，且0,t,1( (1)填空:点C的坐标是_?_，b,_?_，c,_?_; (2)求线段QH的长(用含t的式子表示); (3)依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角 y 形与?COQ相似,若存在，求出所有t的值;若不存在，说明理由( QHxABO 15 P C 20((本题满分12分) 12 如图，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴y,,x，bx，c(0)c,2 2OC,OA,OB相交于点C，且( (1)求c的值; (2)若?ABC的面积为3，求该二次函数的解析式; (3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使?PBD的周长 最小?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由( 21((本小题满分15分) A(10),，如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，B(03)，，，将此三角板绕原O(00)， ,,O90?点顺时针旋转，得到?ABO( ,ABB、、(1)如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式; ,PPBABP(2)设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的 最大值( y 3 2 B ,A 1 16 ,B A x 2 1 ,1O ,1 11222(如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于yyx,，1xyxbxc,，，22A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。 x ?求该抛物线的解析式; ?动点P在轴上移动，当?PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 ||AMMC,?在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出 点M的坐标 23( (本小题满分12分) 2如图，已知抛物线交轴于A、B两点，交y轴于点C，•抛物线的对称轴交轴于点E，yxx,，，43xx ,1点B的坐标为(，0)( (1)求抛物线的对称轴及点A的坐标; (2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形,若存在，请写出点P的坐标;若不存在，请说明理由; (3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分,若存在，请求出直线CM的解析式;若不存在，请说明理由( y C D xO A E B 17 24((本题满分10分) 12如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B( yxx,,,，2y 4 A (1)求点A、点B的坐标( ? B (2)若点P是x轴上任意一点，求证:( PAPBAB,? (3)当PA,PB最大时，求点P的坐标( x O 25((13分)如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米. (1)请求出底边BC的长(用含x的代数式表示); 2(2)若?BAD=60?, 该花圃的面积为S米. ?求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取 值范围)，并求当S=时x的值; 933 ?如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值,这个值是多少, 26((本题满分10分) 2B(10),，a,0如图，已知抛物线()与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，y,ax,2ax,bx 顶点为D( (1)直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标; x (2)以AD为直径的圆经过点C( ?求抛物线的解析式; EFB，A，F，E?点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边 y F形，求点的坐标( 18 B O A x 27((12分)如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠 2,1在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(，0)，点B在抛物线上( yaxax,，,2(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ; (2)抛物线的关系式为 ; (3)设(2)中抛物线的顶点为D，求?DBC的面积; ,,,,B(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90?，到达的位置(请判断点、是否在(2)C?ABC 中的抛物线上，并说明理由( 2228.如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，Ax(0)，Bx(0)，y,(x，m)，k,mx12 P与y轴的交点为C(设?ABC的外接圆的圆心为点( (1)求?P与y轴的另一个交点D的坐标; AB(2)如果恰好为?P的直径，且?ABC的面积等于，求和k的值( 5m 19 3529(如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点;直线与AB交于点C，与过点Ay,,x，6y,x44 且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的 垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与?ACD重 叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位)，点E的运动时间为t(秒). (1)求点C的坐标.(1分) (2)当00时，直接写出点(4，)在正方形PQMN内部时t的取值范围.(3分) 2 2b4acb,2,【参考公式:二次函数y=ax+bx+c图象的顶点坐标为().】 ,2a4a 30((本小题满分12分) 2C(02)，,已知二次函数(a,0)的图象经过点，，，直线yaxbxc,，，xm,A(10)，B(20)， D(m,2)与轴交于点( x (1)求二次函数的解析式; EE(2)在直线(m,2)上有一点(点在第四象限)，使得为顶点的三角形与以EDB、、xm, EAOC、、为顶点的三角形相似，求点坐标(用含的代数式表示); m FABEF(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形,若存在， ABEF请求出的值及四边形的面积;若不存在，请说明理由( m y x O 20 21