高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解
高考总复习
高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题
及详解
一、选择题
1((2010?山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
1A(y,x， x
1π,,B(y,cosx，0
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
] D
1π1[解析] x<0时～y,x，?,2～故A错,?00，y>0，且，,1，若x，2y>m，2m恒成立，则xy
实数m的取值范围是( )
A(m?4或m?,2 B(m?2或m?,4
C(,20～y>0～且，,1～ xy
214yx4yx4yx?x，2y,(x，2y)(，),4，，?4，2?,8～当且仅当,～即x,2y时取等xyxyxyxy2122号～又，,1～?x,4～y,2～?(x，2y),8～要使x，2y>m，2m恒成立～只需(x，2y)>mminminxy
2，2m～即8>m，2m～解得,40～a,a，2a～设{a}的公比为q～则aq,a，,q,2～?qn765n66q,0～?q>0～?q,2～
m，n,222?aa,4a～?a?q,16a～?m，n,2,4～ 111mn
?m，n,6～
141141n4m13n4mn4m,,,,，，?，,(m，n)，,5，，?,～等号在,～即n,5，2?,,，，,,mn6mn6mn62mnmn2m,4时成立(
1a3((2010?茂名市模考)“a,”是“对任意的正数x，均有x，?1”的( ) 4xA(充分非必要条件
B(必要非充分条件
C(充要条件
D(既非充分也非必要条件
[答案] A
1aa1a[解析] ?a,～x>0时～x，?2x?,1～等号在x,时成立～又a,4时～x，,4xx2x
4x， x
4a?2x?,4也满足x，?1～故选A. xx
4((2010?广西柳州市模考)设a，b?R，则“a，b,1”是“4ab?1”的( ) A(充分不必要条件
B(必要不充分条件
C(充要条件
D(既不是充分条件也不是必要条件
[答案] A
[解析] a～b中有一个不是正数时～若a，b,1～显然有4ab?1成立～a都是正数～b～由1,a，b?2ab得4ab?1成立～故a，b,1?4ab?1～但当4ab?1成立时～未必有时
a，b,1～如a,,5～b,1满足4ab?1～但,5，1?1～故选A.
1115(若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α,a，，β,b，，则α，β的最小值为( ) 2abA(2 B(3 C(4 D(5
[答案] D
11[解析] ?为a、b的等差中项～?a，b,×2,1. 22
含详解答案
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a，b11111a，，b，?1，，,1，,1，～ abababab
2a，b，a，b，1?ab?～?ab?,.?原式?1，4. 244
?α，β的最小值为5.故选D.
226((文)若直线2ax,by，2,0(a>0，b>0)被圆，xy，2x,4y，1,0截得的弦长为4，11则，的最小值是( ) ab
A(1 B(2
C(3 D(4
[答案] D
22[解析] 圆(x，1)，(y,2),4～?弦长为4～故为直径～即直线过圆心(,1,2)～?a，b
,1.
1111ba,,?，,，(a，b),2，，?4. ,,ababab
1当且仅当a,b,时取等号( 2
(理)半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则?ABC、
?ACD、?ADB面积之和S，S，S值为( ) ???的最大ABCACDADB
A(8 B(16 C(32 D(64
[答案] C
[解析] 根据题意可知～设AB,a～AC,b～AD,c～则可知AB～AC～AD为球的内接
1222长方体的一个角(故，ab，c,64～而S，S，S,(ab，ac，???ABCACDADB2222222222a，b，a，c，b，ca，b，cbc)?,,32. 42
83等号在a,b,c,时成立( 3
22b，cxy7((文)已知c是椭圆，,1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是( ) 22aba
(1，，?) B((2，，?) A(
C((1，2) D((1，2]
[答案] D
b，c[解析] 由题设条件知～a1～ a
22222，c，2bc，c，，b，c，b2，bb，c222?a,b，c～?,?,2～??2.故选D. 222aaaa
22xy(理)已知F、F2分别为双曲线,,1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的122ab
含详解答案
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2||PF1任意一点，若的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( ) |PF|2
A((1，，?) B((1,2]
C((1，3] D((1,3]
[答案] D
2222|，，2a，|PF|PF|aa4421[解析] |，4a?4a，4a,8a～当且仅当|～即,,，|PF,|PF22|PF||PF||PF||PF|2222
c|PF|,2a时取等号(这时|PF|,4a.由|PF|，|PF|?|FF|得6a?2c～即e,?3～?e?(1,3]( 211212a
，ab8((2010?南昌市模拟)已知a，b?R，a，b,1，M,2，2，则M的整数部分是( )
A(1 B(2
C(3 D(4
[答案] B
，aaba1,[解析] ?a～b?R～a，b,1～?0b>0，则集合M等于( )
A(E?F B(E?F
C(E?(?F) D((?E)?F RR
[答案] C
[解析] ?a>b>0～
a，aa，b2?a,>>ab>b,b～ 22
如图可见集合M在E中～不在F中～故M,E?F?. R
10((文)(2010?衡水市模考)已知?ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直
14????线AB、AC于E、F两点，若AB,λAE(λ>0)，AC,μAF(μ>0)，则，的最小值是( ) λμ
7A(9 B. 2
9C(5 D. 2
[答案] D
1??????[解析] ED,AD,AE,(AB，AC),AE 2
含详解答案
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λμ1?????,,,(λAE，μAF),AE,,1AE，AF～ ,,222
???EF,AF,AE.
λμ,122?????ED与EF共线～且AE与AF不共线～?,～ ,11
14114,,?λ，μ,2～?，,，(λ，μ) ,,λμ2λμ
1μ4λ942,,,5，，?～等号在μ,～λ,时成立( ,,2λμ233
(理)(2010?广东省高考调研)如图在等腰直角?ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P
????的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB,mAM，AC,nAN，则mn的最大值
为( )
1A. B(1 2
C(2 D(3
[答案] B
[解析] 以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系～设等腰直角?ABC的腰长为2～则P
????点坐标为(1,1)～B(0,2)、C(2,0)～?AB,mAM～AC,nAN～
??ABAC22??,,,,?AM,～AN,～?M0～、N～0～ ,,,,mnmn
mynx?直线MN的方程为，,1～ 22
含详解答案
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mn?直线MN过点P(1,1)～?，,1～?m，n,2～ 22
2，m，n，?m，n?2mn～?mn?的最大值为,1～当且仅当m,n,1时取等号～?mn4
1.
二、填空题
2211((2010?山东聊城、山东邹平一中模考)已知b>0，直线xb，y，1,0与ax,(b，4)y
，2,0互相垂直，则ab的最小值为________(
[答案] 4
22，4，4bb422[解析] ?两直线垂直～?ab,(b，4),0～?a,～?b>0～?ab,,b，?4～2bbb
4～即b,2时成立( 等号在b,b
2t,4t，112((文)(2010?重庆文，12)已知t>0，则函数y,的最小值为________( t
[答案] ,2
2t,4t，11[解析] y,,t，,4 tt
11因为t>0～y,t，,4?2t?,4,,2. tt
1等号在t,～即t,1时成立( t
8x2(理)(2010?安徽合肥六中质检)已知三个函数y，,y2,x，y,的图象都过点A，且点Ax
xy，,1(m>0，n>0)上，则log2m，log2n的最小值为________( 在直线m2n
[答案] 4
xy[解析] 由题易得～点A的坐标为(2,4)～因为点A在直线，,1(m>0～n>0)上～所m2n
2442以1,，?2?～?mn?16～所以log2m，logn,log(mn)?4～故log2m，log2n的22m2nm2n
最小值为4.
11113((文)(2010?南充市)已知正数a，b，c满足:a，2b，c,1则，，的最小值为abc
含详解答案
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________(
[答案] 6，42
a，2b，ca，2b，ca，2b，c1112bacac2b,,,,,,[解析] ，，,，，,，，，，，，,,,,,,abcabcabacbc4?22，2，22，4,6，42～
b2acac2b等号在,～,～,同时成立时成立( abacbc
2即a,c,2b,1,时等号成立( 2
xy(理)(2010?北京延庆县)已知x>0，y>0，lg2，lg8,lg2，则xy的最大值是________(
1[答案] 12
1xyxyx，3y[解析] ?lg2，lg8,lg2～?2?8,2～即2,2～?x，3y,1～?xy,3
x，3y11112,,,x?(3y)??～等号在x,3y～即x,～y,时成立( ,,321226
??14((文)(2010?重庆一中)设M是?ABC内一点，且AB?AC,23，?BAC,30?，定义f(M)
1,,,(m，n，p)，其中m，n，p分别是?MBC，?MCA，?MAB(若f(M),，x，y，的面积,,214则，的最小值是________( xy
[答案] 18
????[解析] ?AB?AC,|AB|?|AC|cos30?
3,|AB|?|AC|,23～?|AB|?|AC|,4～ 2
1由f(M)的定义知～S,，x，y～ ?ABC2
1又S,|AB|?|AC|?sin30?,1～ ?ABC2
1?x，y,(x>0～y>0) 2
1414y4xy4x1,,,,?，,2(x，y)，,25，，?2(5，24),18～等号在,～即y,2x,时,,,,xyxyxyxy3
14,,成立～?，,18. min,,xy
22(理)(2010?江苏无锡市调研)设圆，xy,1的一条切线与x轴、轴分别交于y点A，B，则AB的最小值为______(
[答案] 2
xy[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在～且不为零～故设切线方程，为,1～则ab
含详解答案
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ab,1～ 22a，b
2222?ab,a，b?2ab～切线与两轴交于点A(a,0)和(0～b)～不妨设a>0～b>0～?ab?2～
22则AB,|AB|,a，b?2ab?2.
三、解答题
15(已知α、β都是锐角，且sinβ,sinαcos(α，β)(
π(1)当α，β,，求tanβ的值; 4
(2)当tanβ取最大值时，求tan(α，β)的值(
2π,,[解析] (1)?由条件知～sinβ,sin,β～ ,,24
31整理得sinβ,cosβ,0～ 22
1?β为锐角～?tanβ,. 3
(2)由已知得sinβ,sinαcosαcosβ,sin2αsinβ～
?tanβ,sinαcosα,sin2αtanβ～
sinαcosαsinαcosα?tanβ,, 22，sinαsin2α，cosα12
tanα112,,?,. 2tan2α，114222tanα，tanα
1当且仅当,2tanα时～取“,”号～ tanα
22tanα,时～tanβ取得最大值～ ?24
tanα，tanβ此时～tan(α，β),,2. 1,tanαtanβ
16((文)(2010?江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM旁有一矩、AN形花园ABCD，
现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM在射线上，QAN上，且PQ
过点C，其中AB,30米，AD,20米(记三角形花园APQ的面积为S.
(1)当DQ的长度是多少时，S最小,并求S的最小值(
(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内,
含详解答案
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[解析] (1)设DQ,x米(x>0)～则AQ,x，20～
x，20QDAQx?,～?,～ DCAP30AP
230，x，20，15，x，20，1?AP,～则S,×AP×AQ, x2x
400,15(x，，40)?1200～当且仅当x,20时取等号( x
2(2)?S?1600～?3x,200x，1200?0～
20?0b>0)以双曲线,y,1的焦点为顶点，其离心率与双曲22ab3
线的离心率互为倒数(
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点(
?求证:直线MA，MB的斜率之积为定值;
含详解答案
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?若直线MA、MB与直线x,4分别交于点P、Q，求线段PQ长度的最小值(
[分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a、b，即可写出椭圆方程，进而可求得点A，B坐标，设出M点坐标，可列出kMA?kMB的表达式，利用M在椭圆上可消元，通过计算验证结果为常数，再根据点A、M、三点共线和PM、B、三点共线就Q可以找到点P、Q的纵坐标之间的关系，即可求出线段长度的最PQ小值(
2x22[解析] (1)易知双曲线,1的焦点为(,2,0)～(2,0)～离心率为～故在椭圆C中a,y33
23x2,2～e,～?c,3～b,1～故椭圆C的方程为,1. ，y24
yy00(2)?设M(x～y)～(x??2)～由题易知A(,2,0)～B(2,0)～则k,,～k～ 000MAMBx，2x,200
2yyy000故k?k,?,～ MAMB2x，2x,2x,4000
2x02点M在椭圆C上～则,1～ ，y04
221y1x2020即y,1,,,(x,4)～故k?k,,,～直线MA～MB的斜率之积为定00MAMB244x,440
值(
yyyy11212?解法一:设P(4～y)～Q(4～y)～则k,k,～k,k,～由?得?,,～12MAPAMBBQ62624即yy,,3～当y>0～y<0时～|PQ|,|y,y|?2,yy,23～当且仅当y1,3～y,,1212121223时等号成立～同理可得～当y<0～y>0时～当且仅当y1,,3～y,3时～|PQ|有最小122
值23.
解法二:设直线MA的斜率为k～直线MA的方程为y,k(x，2)～从而P(4,6k)～由?知
111,,直线MB的斜率为,～直线MB的方程为y,,(x,2)～故得Q4～,～故|PQ|,|6k,,4k4k2k13，|?23～当且仅当k,?时等号成立( 2k6
含详解答案
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