3.2三角函数的奇偶性与单调性

3.2三角 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的奇偶性与单调性 3.3三角函数的奇偶性与单调性 【知识网络】1(正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性; ,(正弦、余弦、正切函数的的单调性( 【典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 】 a,R,例1,(1) 已知，函数为奇函数，则a, ( ) f(x),sinx,|a|,x,R (A)0 (B)1 (C),1 (D)?1 (1)A 提示:由题意可知，得a=0 fxfxf()()(0)0,,,,可得 ,,,(2)函数的单调增区间为( ) fxxtan,，，，,,4,, ,,,,A( B( kkkZ,,,1,，,kkkZ,,,，,,,，，，，,,22,, 3,,,,3,,,,C( D( kkkZ,，,,,kkkZ,，,,,,,,,,,,,4444,,,, ,,,kxk,,，,，(2)C 提示:令可得 ,,242 (3)定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期 f(x)f(x) ,,5x,[0,]f()是，且当时，，则的值为 ( ) ,f(x),sinx32 1133,A. B. C. D. ,2222 53,,,,,(3)B 提示:,,，,,,,, ffff()(2)()()sin,333332 (4)如果tan,,是奇函数，则 ( fxxx()sin()2cos(),，，，,, (4),, 由 fxfxf()()(0)0,,,,可得 (,)已知函数满足以下三个条件: yfx,() ,[0,],? 在上是增函数 ?以为最小正周期 ?是偶函数 2 试写出一满足以上性质的一个函数解析式 ( fxx()sin,(5)fxx()cos2,, 提示:答案不唯一，如还可写成等 ,例2,判断下列函数的奇偶性 1sincos，,xxfx(),fxxx()sin2tan,,(,); (2 ) ; 1sincos，，xx (3 ) ; (4 ) ( fxx()cos(sin),fxx()lgcos, ,解:(1)的定义域为，故其定义域关于原点对称， xkkZ,，,()？fx(),2 又 fxxxxxfx()sin(2)tan()sin2tan(),,,,,,,，,, 为奇函数 ？fx() ,,1sincos2，，,xxx(2)？,时，，而xxx,,，，,时,1sincos0， 22 的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数。 ？fx()？fx()(3)的定义域为R，又 ？fx()fxxxfx()cos(sin())cos(sin)(),,,,, 为偶函数。 ？fx() cos1x,cos1x,？,cos1x(4) 由得，又 ，故此函数的定义域为 lgcos0x, ，关于原点对称，此时 xkkZ,,2(),fx()0, 既是奇函数，又是偶函数。 ？fx() ,例3,已知:函数( (1)求它的定义域和值域; (2)判断它，，，，fx,logsinx,cosx1 2 的奇偶性; (3)求它的单调区间; (4)判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正 周期. ,,,,sinx,cosx,0？2k,,x,,2k,，,解:(1).由 ()kZ,,2sinx,,0,,44,, 5,,,, 定义域为, ，，2k，,2k，,k,Z？,,,,44,, 1,,,，, 值域为 ，,2sinx,,0,2,,，,.？？,,,,24，,,, (2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数 ？？ ,,,(3) sincos2sin0xxx？,,,,,,4,, 35,,，，,[2,2)()kkkZ的递增区间为 ？fx(),,44 ,,3，，,(2,2]()kkkZ 递减区间为,, 44 ,fx？fxxx，,，,，2logsin2cos2,,,，，(4). ,,logsincosxx，，，，，，，，，，11，，22 ,2,？fx()是周期函数,最小正周期T. 22xR,,例4,已知函数，(求: fxxxxx()sin2sincos3cos,，， (I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合; xfx() (II) 函数的单调增区间( fx() 1cos23(1cos2),，xx,解(I) fxxxxx()sin21sin2cos222sin(2),，，,，，,，，224 ,,,当22xk，,，,即xkkZ,，,()时, 取得最大值. 22，,,fx()？428 ,函数的取得最大值的自变量的集合为. {/,()}xxRxkkZ,,，,xfx(),8 , (II) fxx()22sin(2),，， 4 ,,,由题意得: 222()kxkkZ,,，,，, ,,242 3,,即: ,,,，, kxkkZ(),,88 3,,,，,因此函数的单调增区间为. [,]()kkkZfx(),,88 【课内练习】 31(函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是 ( ) ππA(φ=2kπ, ，k?Z B(φ=kπ, ，k?Z 66 ππC(φ=2kπ, ，k?Z D(φ=kπ, ，k?Z 33 ,fxxxx()sin(2)3cos(2)2sin(2),，，，,，，1(D 提示: ,,,3 ,k，, 令可得 ,,3 ,y,f(x)C,2(在中，，若函数在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是 ,ABC2 f(cosA),f(cosB)f(sinA),f(sinB)(A) (B) f(sinA),f(cosB)f(sinA),f(cosB)(C) (D) ,,,,00,，,,,,,ABAB得sinsin()cosABB,,,2(C 提示:根据所以 2222 ,,x,3.同时具有性质“? 最小正周期是;? 图象关于直线对称; 3,,[,],? 在上是增函数”的一个函数是( ) 63 x,, A B y,sin(，)y,cos(2x，)263 ,,C D y,cos(2x,)y,sin(2x,)66 ,3(D 提示:由性质(1)和(2)可排除 A和C ,再求出的增区间即可 y,sin(2x,)6 ,,4( 设函数，若，则下列不等式必定成立的是 fxxxx()sin,[,],,,fxfx()(),1222 ( ) 22 A( B( C( D( xx，,0xx,xx,xx,12121212 π4(B提示:易知，且当x?时，为增函数(又由x,[0,]fxfx()(||),fx(||)2 22，得，故 |，于是( fxfx()(),fxfx(||)(||),||||xx,xx,12121212 5.判断下列函数奇偶性(1)是 ; fxxxx()|sin2|tan,,, cos(1sin)xx,(2)是 ; fx(),1sin,x 2 (3)f(x)=是 ( lg(sinx+1+sin)x5((1)偶函数(,)非奇非偶函数(,)奇函数 提示:先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断 1,,cos6.若是以5为周期的奇函数，且，则= ( fx()f(3)4,,f(4cos2),2 26( -4 提示: fffff(4cos2)(8cos4)(2)(3)(3)4,,,,,,,,,,,, fxx()sin,,(五个函数???? fxx()cos2,fxx()sin2,fxx()tan(),，, ,fxfx()()，,,?中，同时满足且 fxxx()cos2sin2,，2 的函数的序号为 ( fxfx()(),,, ,fxfx()()，,, 7(? 提示:???不满足 ?不满足 fxfx()(),,,2 8(求下列函数的单调区间. ,12x,,,,,(1) (2) yx ,,cos，y,sin,,,,,4243,,,, 2x,12x,,,u,,解:(1).原函数变形为令,则只需求的单调区间y,sinu,,sin,y,,34234,, 2x,,,sin22？y,u在k,,u,,,k，k,Z即可.,()上 ,,2342 39,,33k,,x,k，k,Z即,,,()上单调递增, 88 2x3,,,2k，,u,,,2k，,(k,Z)y,sinu在,,,上 2342 ,9213k,，,x,3k,，,,(k,Z)即,上单调递减 88 12x39,,,,,，，故的递减区间为: ()kZ,y,sin,3k,,3k，,,,,,,,24388,,，， ,921，，递增区间为:. 3k,，,3k,，,(k,Z),,88，， ,,,, (2)原函数的增减区间即是函数的减增区间,令 u,x，yx,cos，,,44,, ,,T,,由函数的图象可知:周期且 在上,k,,,u,x，,k,,y,cosuy,cosu24 3,,即上递增, k,,x,k,,k,Z,,44 ,,,,在即在上递减 k,u,x，,k，k,,x,k，,k,Z,,,,4244 3,,,,，，，，k,Z故所求的递减区间为,递增区间为() ,,,kkkk,,，,,,,,,,,4444，，，， x,0,(已知为奇函数，且当时，( fx()fxxx()sin2cos,， x,0(,) 当时，求的解析式; fx() xR,(,) 当时，求的解析式( fx() x,0,,x0解:(,)当时，则，，又 fxxxxx()sin2()cos()sin2cos,,,，,,,，fx() 为奇函数，所以 fxfxxx()()sin2cos,,,,, xR,(,) 当时，为奇函数，所以 fx()f(0)0, sin2cos, 0xx,,, ,fxx()0, 0,,由(,)知 , ,sin2cos,0xxx，,, R10(已知函数是上的偶函数，其图象关于点fxx()sin(),，,,(0,0),,,,,, 3,,[0,]M(,0)对称，且在区间上是单调函数，求的值( ,,和42 R解:由是上的偶函数，得，即， fx()fxfx()(),,sin()sin(),，,，,,,,xx ,,0展开整理得:，对任意x都成立，且，所以( ,,cossincossin,,,,xxcos0,, ,,M又0,,,,，所以,(由fx()的图象关于点对称， 2 33,,,,,，fxfx()()得( 44 33,,x,0,,ff()()取，得， 44 3,333,,,,,,,,，,f()0f()sin()cos所以，?( 44424 33,,,,,2所以，(即 ,,,，又得,,，,？cos0,0,k(21),0,1,2,kk()kN,,,4423 22,,; 当时在上是减函数,,,，kfxx0,,()sin()[0,],3322 ,,; 当时在上是减函数kfxx,,,，1,2,()sin(2)[0,],22 10,,; 当时在上不是单调函数,,,，kfxx2,,()sin()[0,],,322 2,综上所得,,,,或，, 2,23 作业本 y A组 ,(函数y=,xcosx的部分图象是 ( ) Ox y x O AB y y O x x O CD 1.D提示:y=,xcosx为奇函数，且当. xy,，,00时 π2(函数y=2sin(,2x)(x?,0，π,)为增函数的区间是 ( ) 6 7π5π5ππππA.,0，, B.,，, C.,，, D.,，π, 12312366 πππ2(C提示:由y=2sin(,2x)=,2sin(2x,)其增区间可由y=2sin(2x,)666 5πππ3ππ的减区间得到，即2kπ+?2x,?2kπ+，k?Z.?kπ+?x?kπ+，k?Z. 26236令k=0，故选C. ,yfxx,()sinfx(),(若是周期为的奇函数，则可以是 ( ) A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 3(B 4.已知，则f(-9), ( fxaxbxabf()sincos5,(0)(9)27,，，,,且 4(-17 提示: fab(9)sin(9)cos(9)5,,,，,，,,，，，,,[sin9cos95]1017ab ,5(已知的一条对称轴为轴,且.求= . y，，,,0,,，，，，，，fx,sinx，,，3cosx，, ,,,,5( 提示: =2 sinx，，，，，，fx,sinx，,，3cosx，,，，,,,63,, ,, 由可得 ，,，,,kkZ()0,及,,,,，，32 sin,sincosxxx,,,(已知函数 fx(),,cos,cossinxxx,,y(1)画出的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值; fx() (2)判断是否为周期函数.如果是，求出最小正周期. fx() y=sinx1解:(1)实线即为的图象. fx() x,2,O--2,, -15πππcosxy=单调增区间为,2kπ+，2kπ+,，,2kπ+，2kπ+2π,(k?Z)， 424 5πππ单调减区间为,2kπ，2kπ+,，,2kπ+，2kπ+,(k?Z)， 424 2f(x)=1，f(x)=,. maxmin2 (2)f(x)为周期函数，T=2π. 7.比较下列各组中两个值的大小: 3173,3,cos,cossinsin(cos)sin(sin)(1)，，;(2)，( 241088 11,77,,,,,,coscos()sincos()解:(1)?，， 4410210 713,,,,,,,0yx,cos又?及在内是减函数， ,,(0,),42102 317cossincos,,,?可得( 2104 3,,33,,,,,,cossin0cossin1(2)?，?，而在上递增， yx,sin(0,1)8888 33,,,sin(sin)sin(cos)?( 88 ，,xx,,2,8.fx()是定义在[,2,,2,]上的偶函数，当?[0,,]时，yfxx,,()cos;当? 2y时，fx()的图象是斜率为，在轴上截距为,2的直线在相应区间上的部分. , ,f(),f(2),,(1)求，的值; 3 (2)求的解析式，并作出图象，写出其单调区间. fx() 2解:(1)当x?(π，2π,时，y=f(x)=x,2， π 又f(x)是偶函数，?f(,2π)=f(2π)=2. 又x?,0，π,时，y=f(x)=cosx， ππ1?f(,)=f()=. 233 2,y,，,x,2x,,2π，,π，,π,,,cosxx,,π，π，(2)y=f(x)= ,,2,，,x,2x,π，2π.2π, 1 O2,,-,,2x--1 -2 单调增区间为,,π，0,，,π，2π,.单调减区间为,,2π，,π,，,0，π,。 B组 (函数1是奇函数的充要条件是 ( ) f(x),x,|sinx，a|，b 22ab,0a，b,0a,ba，b,0 A( B( C( D( 1(D 提示:由奇函数的定义可得 2(函数y = xcosx,sinx在下面哪个区间内是增函数 ( ) 5ππ3π3πA.(，) B.(π，2π) C.(，) D.(2π，3π) 2222 2(B 提示:利用导数判断 ,，,3(设是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是 1,，,tan,tan,,1cos,，cos,,1tan()tansin,，sin,,2，,(A) (B) (C) (D),, 22 ,,,3(D 提示:取特值，如取 ,,6 4(给出下列命题: ?正切函数的图象的对称中心是唯一的; π?y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、; 2 ?若x,x，则sinx,sinx; 1212 T?若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(,)=0. 2 其中正确命题的序号是____________. k, 4( ? 提示:?正切函数的对称中心是;?y=|sinx|、y=|tanx|的周期都是(,0)()kZ,2 π ?正弦函数在定义域,上不是单调函数; TTTT? ffTff()()()(),,,，,,,,2222 /5(设函数。若是奇函数，则fxx,，,,cos30,,,fxfx，，，，，，，，，，， __________( ,, ,,,,/5( 提示 fxfx，cos33sin32cos3xxx,，,，,，，,,,，，，，，，，，,,63,, ,, 由，,，,,,kkZ()0及可得 ,,,,32 ,sin(2)x,46(已知函数( fxaa()(0,1),,,且a (1) 这个函数是否为周期函数?为什么? (2) 求它的单调增区间和最大值. ,,sin[2()]sin(2)xx，,,,44解:(1)是以为周期的周期函数. ,？fx()？fxaafx()()，,,,, ,,3，，a,1(2) 当时,增区间为,最大值为; a,，,kkkZ,,(),,,,88，， 137,,，，01,,a当,增区间为,,最大值为 ()kZ,，，kk,,,,,a88，， ,,x7.设函数，图象的一条对称轴是直线( fxx()sin(2),(0),，,,,,,,yfx,()8 ,(1) 求; (2) 求函数的单调增区间; yfx,() (3) 证明直线520xyc,，,与函数yfx,()的图象不相切. ,x？,解:(1)是函数yfx,()的图象的一条对称轴 8 ,,,？，，,,sin(2)1？，,，,kkZ,,,, 842 3, ？,,,？,,0,,,,4 3,3,(2)由(1)知,因此 由题意得 ,,,,yxsin(2),44 ,,,33, 所以函数 ,,,,，,,,222,kxkkZyxsin(2),,2424 ,,5，， 的单调增区间为. ，，,kkkZ,(),,,,88，， 33,,,,(3)证明:,所以曲线的切线yfx,()？,,,,,yxx[sin(2)]2cos(2)244 5斜率取值范围为[-2,2],而直线的斜率为,所以直线,2520xyc,，,2 与函数的图象不相切. 520xyc,，,yfx,() 8(已知偶函数的最小值是0，求fxxxx()cossinsin()(tan2)sinsin,,,，,,,,,, 的最大值及此时的集合( xfx() 解: fxxxx()cossinsin()(tan2)sinsin,,,，,,,,,, ,，,,sincos(tan2)sinsin,,,xx xR,因为是偶函数，所以对任意，都有 fx()fxfx()(),,即 sincos()(tan2)sin()sinsincos(tan2)sinsin,,,,,,,，,,,,，,,xxxx tan2,,即，所以 (tan2)sin0,,,x ,,2525sin,,,,sin,sin,,,,,2,,,55由解得 或 cos,,,,2255,,,，,sincos1,,cos,cos,,,,,,,5,5, 2525,,sin此时，fxx()sin(cos1),,,(当时，最大值为fxx()(cos1),,55 2525,,,sin,，不合题意最小值为,，舍去;当时，最小值为fxx()(cos1),,,55 45cos1x,,,，符合题意，故当时，有最大值为， fx()5 自变量的集合为 xxkkZ,，,2,,,x,,