数形结合,例题解析_教育教学论文
利用数形结合思想解题，不但是一种重要的解题
方法
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，更是一种重要的思维方法。对于应用数形结合思想解题，大家并不陌生，但如何应用却是值得我们深究的问题。数形结合的主要方法有:图像法、几何法，主要途径是转化，常见转化有:构造函数实现转化、构造图形实现转化。
一、构造函数，实现转化
把研究数的问题转化为研究图像的问题，这类方法一般适用于解方程或不等式的问题。
例1:方程x+log2x=2和方程x+log3x=2的根分别是α、β，那么α、β的大小关系是( )
A.α,β B.α=β
C.α,β D.无法确定
?
分析
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:由x+log2x=2得log2x=2,x，由x+log3x=2得log3x=2,x，分别构造函数y=log2x，y=log3x及y=2,x，并作出它们的图像，由图易得答案为A。
:方程?-|ax|=0(a?R)解的个数是 例2
( )
A.4个 B.2个
C.0个 D.与a的取值有关
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分析:原方程可化为?=|ax|，分别作函数y,?与y,|ax|的图像，由图知，应选B。
二、构造几何图形，实现转化
在解题时，我们常通过构造几何图形，实现问题转化，如把a转化为距离，把a2或ab转化为面积，a2 +b2+ab转化为余弦定理，把sinα转化为直角三角形中边角关系等。
例3:若锐角α、β、γ满足cos2α，cos2β，cos2γ,1，求证tgαtgβtgγ?2?。
分析:由已知条件可设α、β、γ为一长方形的一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角，从而命题容易得证。
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证明:如图，设长方形体ABCD,A1B1C1D1的长、宽、高为a，b，c，?cos2α，cos2β，cos2γ,1，?可设?D1BA=α，?D1BC=β，?D1BB1=γ，连结BD1，则tgα,?，同理tgβ,?，tgγ,?，tgαtgβtgγ=???????=2?，当且仅当a,b,c时取等号，故命题成立。
例4:设x,0，y,0，z,0，求证:?，?,?。
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分析:注意到?,?表示以x、y为两边， 夹角为60?的三角形第三边，另两边也有同样意义。故构造如图的四面体，使?AOB,?BOC,?COA,60?，则有AB,?，BC,?， CA,?，原命题转化成了求证AB，BC,CA，这显然是成立的。
三、如果已知条件是函数问题，则应善于发现各个量所表示的几何意义，然后再把所要研究问题转化为平面几何或解析几何问题进行解决
例5:求y=|x，1|，|x,2|的最小值。
解:由绝对值几何意义不难得出，最小值为3。
例6:函数y,?的最大值, ，最小值, 。
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分析:本题可把求值问题转化为求切线斜率问题。由于y,?,?，表示过点P(2,3)与单位圆上一点(,cosx,sinx)的直线的斜率，由图知，当直线与圆相切时，分别可得到ymax,2，?，ymin,2-?。
:y,?+?取得最小值时x的值是 。 例7
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分析:注意到?+?=?+?表示x轴上的点M(x，0)到点A(,1，2)与B(0，,1)的距离之和。由平面几何知识得，当M(x，0)为AB与x轴交点时，ymin=10，此时x,?。
例8:求函数M,(s-t)2+(?,?)最小值。
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分析:由于已知代数的结构与两点间距离公式完全一致，可看作是求两点(s，?)与(t，?)的距离的最小值，?点M(s，?)在半圆x2+y2=2(y?0)上，T(t，?)在双曲线上，观察图像知:半圆、双曲线分别与直线y=x交于A(1，1)，B(3，3)两点，|AB|即为半圆上的点与双曲线上的点之间的最小距离，其值为2?。
例9:求函数s=?，?的最大值。
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分析:以上题目用代数来算难以奏效，可将两根式通过二次换元，使原函数变形为在另一直角坐标系中的直线方程，把求函数最值化为解析几何中求直线的截距的最值，从而使问题迎刃而解。
解:设?,x，?,y，则x2+y2=2x+y=s，x?0，y?0，最值问题转化为过圆弧上一点，斜率为,1的直线在x轴上的截距。显然，直线与圆相切时，smax=2，当直线过点(2，0)时，smax=2。
总之，许多函数最值问题，可转化为求直线斜率的最值问题，直线在两坐标上截距的最值问题，或两点间距离问题。
(责编 张晶晶)
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