2012高考(安徽卷)理科数学试题和详解.doc

2012高考(安徽卷)理科数学试题和详解.doc 2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)(安徽卷) 第?卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。 (1)复数满足:;则( ) z()(2)5zii,,,z, ()A,,22i()B,，22i()C,,,i()D,，,i【解析】选 D 55(2)，i()(2)522ziizizii,,,,,,,,，,， 2(2)(2),,，iii (2)下列函数中，不满足:的是( ) fxfx(2)2(), fxx(),fxxx(),, ()A()B()Cfxx(),，,()Dfxx(),,【解析】选 C fxkx(),与均满足: fxkx(), 得:满足条件 fxfx(2)2(),ABD,, (3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( ) ()A3()B4()C()D,, 【解析】选 B x 8 1 2 4 y3 124 324.公比为等比数列的各项都是正数，且，则( ) {}aaa,16n311 ()A4 ()B5 ()C, ()D ,【解析】选B 29aaaaaaqa,,,,,,,，,,,1616432log5 31177167216 5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ()A()B 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ()C()D 11xx,，，，，,,，，，,(45678)6,(5369)6【解析】选 C乙甲55 112222(2212)2，，，,(1331)2.4，，，,甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为 55 (6)设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且 ,b,bm,,ma, 则“”是“”的( ) ,ab,,, ()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 即不充分不必要条件 【解析】选A ?,,,,,,,bmbba ?如果am//;则ab,与bm,条件相同 ,,, 125(2)(1)x，,(7)的展开式的常数项是( ) 2x ()A,3 ()B,2 ()C, ()D, 【解析】选D 11421(1)5，,,C第一个因式取，第二个因式取 得: x52x 55第一个因式取，第二个因式取得: 展开式的常数项是 5(2)3，,,2(1),2(1)2，,,, 3,8)在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量 (OPOQOP(0,0),(6,8)4 则点的坐标是( ) Q ()A(72,2),,()B(72,2),()C(46,2),,()D(46,2),【解析】选 A 34,,,,,,,,OP(10cos,10sin)cos,sin【方法一】设 55 33,,,，，,,,OQ(10cos(),10sin())(72,2)则 ,,44 3,【方法二】将向量按逆时针旋转后得 OP,(6,8)OM,,(8,6)2 1OQOPOM,,，,,,()(72,2) 则 2 2AF,3(9)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若; FAB,Oyx,4 则的面积为( ) ,AOB 232222 ()A()B()C()D22 【解析】选21世纪教育网 C BFm,设及;则点到准线的距离为 ，,,,AFx(0)Alx:1,,3,,, 123,，,,,,,，,,,,,,323coscosmmm2cos()得: 又21世纪教育网 ，31cos2, 1132232,AOB的面积为 ,，，，,，，，，,,SOFABsin1(3)22232 (10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换 的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为( ) ()A1或3 ()B1或4 ()C 2或3 ()D2或4 【解析】选D 2C,,,,1315132 6 ?设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ?设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人 第II卷(非选择题 共100分) 考生注意事项: . 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效(((((((((((((((((二(填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. x,0, ,(11)若满足约束条件:;则的取值范围为 _____xy,xy,xy，,23, ,23xy，,, 【解析】的取值范围为 _____[3,0],xy, 3ABC(0,3),(0,),(1,1)约束条件对应边际及内的区域: ,ABC2 则 txy,,,,[3,0] (12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 _____【解析】表面积是_____ 92 该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱 4 122S,，，，，，，，，，,，,2(25)4(2544(52))492几何体的表面积是 2 ,,,()R(13)在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是_____ ,4sin,,,,6 【解析】距离是_____ 3 22圆的圆心 C(0,2),,，,,4sin(2)4xy,, 023,,lRxy:()30,,,,,直线;点C到直线的距离是,3 l,,62 ab_____(14)若平面向量ab,满足:;则的最小值是 23ab,, 9,ab_____【解析】的最小值是 8 2223494ababab,,,，,， 229444944abababababab，,,,,，,,,,,8 _____,ABCABC,,abc,,(15)设的内角所对的边为;则下列命题正确的是 ,,,2333,,,CCCabc，,2 ?若;则 ?若;则 ?若;则 abc,abc，,332 ,,22222,,CC?若;则 ?若;则 ()2abcab，,()2abcab，,23【解析】正确的是??? _____ 222abcabab，,,21,2?abcCC,,,,,,,cos 2223abab 222222abcabab，,，,，4()()1, ?abcCC，,,,,,,,2cos 2823abab ,22232233333,C ?当时，与矛盾 cabcacbcab,，,,，,，abc，,2 ,,C ?取满足得: abc,,,2,1()2abcab，,2 ,22222,C ?取满足得: abc,,,2,1()2abcab，,3三、解答题:本大题共6小题，共75分. (16)(本小题满分12分) 2,2 设函数 ,，，fxxx()cos(2)sin24 (I)求函数的最小正周期; fx() ,,1gxgx()()，,x,[0,]gxfx()(),,II)设函数 (对任意，有，且当时， ; gx()xR,222 求函数在上的解析式。 gx()[,0],, 112111,2,,sin2x【解析】 ,，，,,，,fxxxxxx()cos(2)sincos2sin2(1cos2)2224222 2,T,, (I)函数fx()的最小正周期 ,2 ,11x,[0,]gxfxx()()sin2,,, (2)当时， 222 ,,,,,11x,,[,0]()[0,]x，,,，,，,,gxgxxx()()sin2()sin2 当时， 2222222 ,,11x,,,[,)()[0,)x，,,，,，,,,gxgxxx()()sin2()sin2当时， ,,2222 1,,,,,,sin2(0)xx,,22gx(),得:函数gx()在[,0],,上的解析式为 ,1,,sin2()xx,,,,,,22 (17)(本小题满分12分) 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题A回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束;若调用的是类型试题，ABB nm，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道 试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试nAmBXA 题的数量。 (?)求的概率; Xn,，2 (?)设，求的分布列和均值(数学期望)。 Xmn, nn，1，【解析】(I)表示两次调题均为类型试题，概率为 Xn,，2Amnmn，，，2 1p,(?)时，每次调用的是类型试题的概率为 mn,A2 随机变量可取 Xnnn,1,2，， 11122PXnpp(1)2(1),，,,,PXnp(2),，,,PXnp()(1),,,,，， 244 n n，1n，2 X 111 P424 111EXnnnn,，，，，，，，,，(1)(2)1 424 nn，1，答:(?)的概率为 Xn,，2mnmn，，，2 (?)求的均值为 Xn，1 (18)(本小题满分12分)平面图形如图4所示，ABBACC111 ABAC,,2其中是矩形，，，BBCCBCBB,,2,4111 ABAC,,5。现将该平面图形分别沿BC和折叠，使BC111111 ,ABC与所在平面都与平面垂直，再分别连接,ABCBBCC11111 ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答AABACA,,111 下列问题。 AA(?)证明:; (?)求的长;(?)求二面角的余弦值。 AABC,ABCA,,111 【解析】(I)取的中点为点，连接 BCBC,OO,AOOOAOAO,,,1111111 则，面面面 ABACAOBC,,,ABC,,,AOBBCCBBCC1111同理:面 得:共面 AO,BBCCAOAOAOAO//,,,,11111111 又面 BC,OOBCOOAOO,,,,AOOAAABC,,11111(?)延长到，使 得: ODOAADOO////,DAOODOA,11111 ，面面面面 ABC,ABC,ABCAD,OOBC,BBCC,,OO1111111111111 2222AAADDA,，,，，,4(21)5 1 (?)是二面角的平面角 AOBCAOBCAOA,,,，,ABCA,,111 2222AOOOAO,，,，,4225 在中， RtOOA,111111 222AOAOAA，,511 在中， RtOAA,cos，,,,AOA1125AOAO，1 5 得:二面角的余弦值为。 ABCA,,,15 1xfxaeba,，，,()(0)(19)(本小题满分13分) 设 xae (I)求在上的最小值; fx()[0,)，, 3yx, (II)设曲线yfx,()在点(2,(2))f的切线方程为;求ab,的值。 2 22111at,x,yatbya,，，,,,,【解析】(I)设;则 tet,,(1)22atatat 1,yatb,，， ?当a,1时，y,,0在t,1上是增函数 at 1ab，， 得:当tx,,1(0)时，fx()的最小值为 a 1yatbb,，，,，2 ?当01,,a时， at 1xattexa,,,,,1(,ln) 当且仅当时，fx()的最小值为b，2 a 11xx,fxaebfxae,，，,,,()()(II) xxaeae 12,,2f(2)3,aeb，，,3a,,22,,,,,aee,, 由题意得: ,,,3,131f(2),2,,,ae,,b,,22,,ae2,2, (20)(本小题满分13分) 22xyCab:1(0)，,,, 如图，分别是椭圆 FcFc(,0),(,0),1222ab 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点， PxF1 2ax,过点作直线的垂线交直线于点; QFPF22c (I)若点的坐标为;求椭圆的方程; Q(4,4)C (II)证明:直线与椭圆只有一个交点。 PQC 222bxyy,，,1【解析】(I)点代入得: Pcyy(,)(0),,11122aab 2b,040,a ? PFQF,,，,,112,,,ccc4 2a222,4 又 ? ? cababc,,,(,,0)c 22xy，,1 由???得:acb,,,2,1,3 既椭圆C的方程为 43 2b,02ay,0a2Qy(,)(II)设;则 PFQFya,,，,,,,1221222ca,,cc,cc 22bb,x2a,2222xybc22aa,，,,,,,,1ybxy 得: k,,PQ22222abaaab22，cbx,2ca c,kyk,,, 过点P与椭圆C相切的直线斜率 xcPQ,,a PQC 得:直线与椭圆只有一个交点。 (21)(本小题满分13分) 2* 数列满足: xxxxcnN,,,，，,0,(){}xnnn，n11 (I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是 c,0{}xn (II)求的取值范围，使数列是单调递增数列。 c{}xn【解析】(I)必要条件 2 当时，数列是单调递减数列 xxxcx,,，，,,c,0{}x，nnnn1n 充分条件 22 数列是单调递减数列 ,,,,，，,,,xxxxccx0{}xn12111 得:数列是单调递减数列的充分必要条件是 c,0{}xn (II)由(I)得: C,0 ?当时，，不合题意 c,0aa,,0n1 2 ?当时，xcxxccxcc,,,,，,,,,,,201 c,02132 22xxcxxcxxc,,,,,,,,,,,010 nnnnn，11 22 xxxxxxxxxx,,,,，,,,,，,()()()(1) nnnnnnnnnn，，，，，，211111 11c,xcxxxx,,,，,,,,10当时，与同号， xx,nnnnn，，，121nn，142 由 xxcxxxx,,,,,,,,002121nnnn，， 2limlim()limxxxcxc,,，，,, nnnn，1nnn,,,,,, 11c,xxxxx,,，,,,1 当时，存在N，使与异号 xx,NNNNN，，，121NN，142 与数列是单调递减数列矛盾 {}xn 10,,c得:当时，数列是单调递增数列 {}xn4