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幂法及反幂法课程课程设计幂法及反幂法课程课程设计题目幂法和反幂法求矩阵特征值具体内容随机产生一对称矩阵对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量并比较不同的原点位移和初值说明收敛。要求 1.认真读题了解问题的数学原形 2.选择合适问题求解的数值计算方法 3.设计程序并进行计算 4.对结果进行解释说明采用方法及结果说明对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题...

幂法及反幂法课程课程设计题目幂法和反幂法求矩阵特征值具体内容随机产生一对称矩阵对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量并比较不同的原点位移和初值说明收敛。要求 1.认真读题了解问题的数学原形 2.选择合适问题求解的数值计算方法 3.设计程序并进行计算 4.对结果进行解释说明采用方法及结果说明对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析算法设计和流程图理论依据程序及结果进行阐述该问题。一问题的分析求n阶方阵A的特征值和特征向量是实际计算中常常碰到的问题如机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于n阶矩阵A 若存在数和 n维向量x满足 Ax= x 1 则称为矩阵 A的特征值 x为相应的特征向量。由高等代数知识可知特征值是代数方程 | I -A|= n+a1 1 n+…+a1 n +an=0 2 的根。从表面上看矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单只需求解方程 2 的根就能得到特征值再解齐次方程组 I -A x=0 3 的解就可得到相应的特征向量。上述方法对于n很小时是可以的。但当n稍大时计算工作量将以惊人的速度增大并且由于计算带有误差方程 2 未必是精确的特征方程自然就不必说求解方程 2 与 3 的困难了。幂法是一种计算矩阵主特征值矩阵按模最大的特征值及对应特征向量的迭代方法特别是用于大型稀疏矩阵。反幂法是计算海森伯格阵或三角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一。二算法设计及流程图 1、幂法算法 1 取初始向量u) 0( 例如取u)0(=(1,1,…1)T ,置精度要求置k=1. 2 计算 v) (k=Au)1( k,mk=max(v)(k), u)(k= v)(k/ mk 3 若| mk= m1 k|< 则停止计算 mk作为绝对值最大特征值1 u)(k作为相应的特征向量否则置k=k+1 转 2 2、反幂法算法 1 取初始向量u) 0( 例如取u)0(=(1,1,…1)T ,置精度要求置k=1. 2 对A作LU分解即A=LU 3 解线性方程组 Ly) (k=u)1( k,Uv)(k=y)(k 4 计算 mk=max(v) (k), u)(k= v)(k/ mk 5 若|mk=m1 k|< 则停止计算 1/mk作为绝对值最小特征值n u)(k作为相应的特征向量 ;否则置k=k+1 转 3 . 幂法流程图开始输入A [m,u,index] =pow(A,1e -6) k=0;m1=0 v=A*u [vmax,i]=max(abs(v)) m=v(i);u=v/m abs(m-m1)< 1e-6 index=1;break; 输出 m u index 结束 m1=m;k=k+1 反幂法流程图开始输入A [m ,u,index] =pow_inv(A,1e-6) k=0;m1=0 v=invA*u [vmax,i]=max(abs(v)) m=v(i);u=v/m abs(m-m1)< 1e-6 index=1;break; 输出 m u index 结束 m1=m;k=k+1 输入A [m,u,inde x] =pow(A,1e -6) 三、算法的理论依据及其推导一幂法算法的理论依据及推导幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法也即绝对值最大的特征值。稍微修改该方法也可以用来确定其他特征值。幂法的一个很有用的特性是它不仅可以生成特征值而且可以生成相应的特征向量。实际上幂法经常用来求通过其他方法确定的特征值的特征向量。 1、幂法的迭代格式与收敛性质设n阶矩阵A的特征值1 2 ,…,n 是按绝对值大小编号的 xi(i=1,2, …,n)为对应i 的特征向量且1 为单根即 |1 |>|2 |?…?|n | 则计算最大特征值与特征向量的迭代格式为 v) (k=Au)1( k,mk=max(v)(k), u)(k= v)(k/ mk 1 其中max(v) (k)表示向量v)(k绝对值的最大分量。 2、对于幂法的定理按式 1 计算出mk和 u)(k满足 klimmk=1 , klimu)(k=)max(1 1x x 二反幂法算法的理论依据及推导反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对幂法的修改可以给出更快的收敛性。 1、反幂法的迭代格式与收敛性质设A是非奇异矩阵则零不是特征值并设特征值为 |1 | ?|2 |?…?|1 n |>|n | 则按A1 的特征值绝对值的大小排序有 |n 1|>|11 n |?…?|11 | 对A1 实行幂法就可得A1 的绝对值最大的特征值1/n 和相应的特征向量即A的绝对值最小的特征值和相应的特征向量。由于用 A1 代替A作幂法计算因此该方法称为反幂法反幂法的迭代格式为 v) (k= A1 u)1( k,mk=max(v)(k), u)(k= v)(k/ mk 2 2、对于反幂法的定理按式 2 计算出的mk和 u)(k满足 klimmk=n 1, klimu)(k=)max(n nx x 在式 2 中需要用到A1 这给计算带来很大的不方便因此把 2 式的第一式改为求解线性方程组 A v) (k= u)1( k 3 但由于在反幂法中每一步迭代都需求解线性方程组 3 式迭代做了大量的重复计算为了节省工作量可事先把矩阵A作LU分解即 A=LU 所以线性方程组 3 改为 Ly)(k=u)1( k,Uv)(k=y)(k 四、算法程序设计代码幂法程序在matlab中建立一个M文件并保存。 %pow.m function [m,u,index,k]=pow(A,u,ep,it_max) if nargin<4 it_max=1000; end if nargin<3 ep=1e-5; end n=length(A); index=0; k=0; m1=0; m0=0; I=eye(n); T=A-m0*I; while k<=it_max v=T*u; [vmax,i]=max(abs(v)); m=v(i); u=v/m; if abs(m-m1)>B=rand(4); 结果显示】 >>A=B+B’ A = 0.2675 0.5776 0.6344 1.3130 0.5776 1.1503 0.7641 0.1367 0.6344 0.7641 0.0257 0.4193 1.3130 0.1367 0.4193 1.2248 >> u=[1 1 1 1]'; >> [m,u,index,k]=pow(A,u) m = 2.6813 u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000 index = 1 k = 49 3 修改M0=1e- m = 2.6814 u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000 index = 0 k = 1001 修改 M0=0 %此时为幂法 m = 2.6815 u = 0.8576 0.6935 0.5623 1.0000 index = 1 k = 10 修改U=[1 2 3 4] 修改M0=1e-4 m = 2.6813 u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000 index = 1 k = 9 修改 M0=1e-3 m = 2.6805 u = 0.8576 0.6934 0.5622 1.0000 index = 1 k = 7 修改M0=0 m = 2.6814 u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000 index = 1 k = 9 修改 U=[3 5 6 7] 修改M0=1e-4 m = 2.6819 u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000 index = 1 k = 7 修改M0=1e-3 m = 2.6814 u = 0.8576 0.6934 0.5623 1.0000 index = 0 k = 1001 修改M0=0 m = 2.6820 u = 0.8577 0.6937 0.5624 1.0000 index = 1 k = 7 总结以上,幂法如下 U m0 m u index k [1 1 1 1] 0.0001 2.6813 [0.8576 0.6934 0.5623 1.0000] 1 49 0.001 2.6814 [0.5876 0.6934 0.5623 1.0000] 0 1001 0 2.6815 [0.8576 0.6935 0.5623 1.0000] 1 10 [1 2 3 4] 0.0001 2.6813 [0.8576 0.6934 0.5623 1.0000] 1 9 0.001 2.6805 [0.8576 0.6934 0.5622 1.0000] 1 7 0 2.6814 [0.8576 0.6934 0.5623 1.0000] 1 9 [3 5 6 7] 0.0001 2.6819 [0.8577 0.6937 0.5624 1.0000] 1 7 0.001 2.6914 [0.8576 0.6934 0.5623 1.0000] 0 1001 0 2.692 [0.8577 0.6937 0.5624 1.0000] 1 7 反幂法结果显示在m0为0时 M0=0.001 U=[1 1 1 1] M0=0.1 u=[1 1 1 1] M 0=0 u=[1 3 5 7] M 0=0.1 u=[1 3 5 7] M 0=0.5 u=[1 3 5 7] M 0=0 u=[2 3 4 5] M 0=0.1 u=[2 3 4 5] M 0=0.7 u=[2 3 4 5] 综上反幂法结果如下 u m0 m u index k [1 1 1 1] 0.1 0.3847 [-0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364] 1 15 0.001 0.3847 [ -0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364] 1 16 0 0.3847 [ -0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364] 1 16 [1 3 5 7] 0.5 0.3847 [-0.8995 1.0000 0.2726 -0.2364] 1 27 0.1 0.3847 [ -0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364] 1 17 0 0.3847 [ -0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364] 1 20 [2 3 4 5] 0.7 0.7091 [-0.6962 -0.4497 0.2196 1.0000] 1 5 0.1 0.3847 [ -0.8995 1.0000 0.2726 -0.2364] 1 17 0 0.3847 [ -0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364] 1 19 五、结果分析采用幂法和反幂法求矩阵的最大和最小特征值从原理上看这两种方法都是迭代法因此迭代初始向量的选择对计算结果会产生一定影响主要表现在收敛速度上。同时原点位移m的选取也影响收敛的速度。但原点位移m0的适当选取依赖于对矩阵A的大致了解。成员 1007024104辛志贤 1007024107张容 1007024108罗言月

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