下载

1下载券

加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 多元线性回归分析

多元线性回归分析.doc

多元线性回归分析

song世杰宋
2017-09-05 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《多元线性回归分析doc》,可适用于职业岗位领域

多元线性回归分析直线回归概念复习例:为了研究岁至岁男孩身高与年龄的规律在某地区在岁至岁男孩中随机抽样共分个年龄层抽样:岁岁…岁每个层抽个男孩共抽个男孩。资料如下:个男孩的身高资料如下年龄岁岁岁岁岁岁身高平均身高图某地男童身高与年龄的散点图从散点图上我们可以发现样本点(X,Y)随机地出现在一条直线附近并且从资料背景上考察同一年龄的儿童身高应近似服从一个正态分布而儿童身高的总体均数应随着年龄增长而增大并由每个年龄的身高样本均数与儿童年龄的散点图可以发现:这些点非常接近一条直线以及样本均数存在抽样误差因此推测儿童身高的总体均数与年龄可能呈直线关系。故假定身高Y在年龄X点上的总体均数,与Y|XX呈直线关系。,,,,xy其中y表示身高x表示年龄。由于身高的总体均数与年龄有关所以更准确地标记应为,,,,xy|x表示在固定年龄情况下的身高总体均数。平均身高直线年龄故有理由认为身高的总体均数与年龄的关系可能是一条直线关系上述公式称为直线回归方程。其中,为回归系数(regressioncoefficient)或称为斜率(slope),称为常数项(constant)或称为截距(intercept)。回归系数,表示x变化一个单位y平均变化,个单位。当x和y都是随机的x、y间呈正相关时,>x、y间呈负相关时,<x、y间独立时,=。一般情况而言参数,和,是未知的。对于本例而言不同民族和不同地区,和,往往是不同的因此需要进行估计的。由于不同年龄的身高实际观察值应在对应的身高总体均数附近(即:实际观察值与总体均数之间仅存在个体变异的差异)故可以用年龄和实际身高观察值的资料对未知参数,和,进行估计一般采用最小二乘法进行参数估计。我们将借助Stata软件对本例资料进行直线回归。数据格式xy回归命令regressyxSource|SSdfMSNumberofobs=F(,)=Model|Prob>F=Residual|Rsquared=AdjRsquared=Total|RootMSE=y|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervalx|cons|yabxx,,=,)简述单因素线性回归方程y=,,x在实际分析中要注意的问题(a)残差,=y-a-bx引入回归模型y=,,x,iiiiii(b),~N(,,)且{,}相互独立:说明有三个条件:iii),服从正态分布iii){,}相同的方差,。iiii){,}相互独立。i(c)不满足上述个条件时反映在实际回归分析时有如下情况:i)散点在直线一侧较多而且靠直线很近当在直线的另一侧散点较少而且离直线较远反映在误差项,偏态分布。ii)散点随着自变量x增大而离散程度增大或减小(喇叭口状),反映了误差项,方差随着x变而变即不满足相同方差(方差齐性)。iii)随着x变化而,呈某种规律性的变化。反映,还含有x的信ii息未利用到还可以继续改进回归模型。xyyx)不同它们之间存在抽样误差得到i)回归分析统计背景:对于固定自变量x对y所在的总体进行抽对应的抽样值y。即:资料为:(xy)(xy)…(xy)。inn样得到在固定x情况下y的样本值因此对于每个x因此对于同一个x值y所对应的总体均数,相同不同的x值YX|y所对应的总体均数,可能不同。YX|如果y的总体均数值,,,,,x与x的关系呈直线关系则样YX|YX|本资料(xy)(xy)…(xy)呈带状直线散点图。nny=,,YX|y,x,,,,xYX|YX|yx,,,,,,,YX|,,~(,)Nx(xyN~(,),,|YXy)(xy)(xy)yabx,nn,,,,xxyxYX|bβ()aα(),yabx,YX|()(abx),x)引入多元线性回归模型定义(a)例研究女中学生的肺活量与体重和胸围的关系随机抽样了名女中学生的体重x(kg)胸围x(cm)和肺活量y(ml)资料如表-试建立一个因变量为y对自变量x,x的线性回归方程。(b)对于相同的体重x和胸围x考查女中学生的肺活量y总是有一定的变异的但总对应有一个总体均数,而且总体均数y|X,可能与体重x和胸围x有关。x和x与总体均数,最简单y|Xy|X的关系为线性关系:和x观察值y与总体均数,总有一定的随机误y差,即y,yxx,,,,,,,,=,因此y|XyX|ii)若,~N(,,y,,,x,x,)分布且独立而观察值i)同样的x则称肺活量y、体重x和胸围x符合线性回归模型y,,,x,x,(c)对于一般的线性回归模型定义为:i)设有p个观察自变量xx…x并用向量p’X=(xx…x)因变量为y且记y的总体均数为p,,,,x,x?,x随机误差,~N(,,)且独立ypp则线性回归模型可以表示为y,,,x,x?,x,pp对于观察值(y,X)(y,X)…(y,X)其中X=(x,x,…nniiix)i=,,…,n。对应的线性回归模型为ipy,,,x,x?,x,iiipipi,~N(,,)且独立。i在本例中作线性回归如下:(介绍一下数据结构)regressyxxSourceSSdfMSNumberofobs=F(,)=回归平方和回归均方和ModelProb>F=残差平方和残差均方和决定系数ResidualRsquared=校正和决定系数AdjRsquared=TotalRootMSE=总平方和SS描述样本量为n=的因变量y总的变异。回归平方和SS描述了样本量为n总R时由自变量x,x变化而引起的因变量y的这部分变异SS描述了样本量为n时由随机e误差项,所引起的因变量y的一部分变异因此:总变异=自变量引起y的变异+随机误差,引起变异对应:SS=SS+SS总回归误差由于SSSS和SS均与样本量n有关样本量n越大对应变异就越大。所以取平总回归误差均变异指标:均方差MSSSSS回归误差MS=MS=回归误差dfdf回归误差回归系数回归系数标准误t值P值%可信区间yCoefStdErrtP>|t|ConfIntervalxxcons:回归方程y,xx解释回归系数的意义简述SST=SSR+SSE总回归残差自由度df=模型中的回归系数个数(不含常数项)df=n-df-回归残差回归SSESSE回归残差MSR=MSE=dfdf回归残差模型的假设检验H:,=,=vs,,不全为MSR当H成立时~F(df,df)F,回归残差MSE单个回归系数检验:H:,=vsH:,,:,当H:,=成立时t,~t(df):残差se(,)简述回归系数,的%CI意义与t检验的对应关系。(d)假设检验一般情况叙述SSRSSE(e)决定系数R==-SSTSST(f)复相关系数R(g)H:,=,=…=,=vs,,,,…,,不全为。当H成立时rrSSR(x,x,,x),SSR(x,x,,x)r??prrpF,~F(s,n,p,)MSE(x,x,,x)?p,(x,x,…,x)的估计及其误差p::::(STATA命令:predicty),(x,?,x),,,x?,xppp::::s(,(X))(STATA命令:predictmeansd,stdp)(因为有抽样误差),,,?,p::CI,,ts(,(X))自由度v=npv,个体预测值和标准误::::(STATA命令:predicty)y,,,x?,xpp线性回归模型应用的条件总结理论上y,,,x,x?,x,iiipipi,~N(,,)且独立。i具体检查是否复合线性回归模型步骤i检查残差,是否服从正态分布(引起正态分布)i先做线性回归检查残差,的离散程度是否与其它自变量呈某种趋势关系。(要i计算残差,求无任何趋势关系)检查残差,变化是否与其它自变量呈某种对应趋势关系。(要求i无任何趋势关系)多元线性回归常见的应用以及应用中的问题,全回归模型(析因分析),多重共线对分析的影响VIFs(varianceinflationfactors),对于自变量p个自变量xx…x中以其中一个x作为pi因变量作回归以及其它p个变量为自变量得到相应的决定系数R。定义x的膨胀因子VIF,iii,Ri,VIFR,=对应说明x与其它p个自变量无共线。iii,当对应VIF>,R,ii,当说明x与其它p个自变量完全共线对应VIF成R,iii为无穷大。,通常认为在p个自变量xx…x中,最大的VIF>则认p为严重共线最小二乘估计受到较严重的影响。pVIF,ii,,平均VIF=>>则认为P,寻找影响因变量的主要因素。,用回归进行两组或多组的均数比较并校正混杂因素的影响。全回归分析举例例:据儿童保健部门的考察至岁儿童的身高与年龄近似呈线性关系且男女身高也有差异。下列收集了名男孩和名女孩的身高年龄均在岁至岁之间。请试建立回归方程描述年龄与身高的关系(其中sex=表示男sex=表示女)sexagey,,,,,,sexagesexage考虑身高总体均数为y模型为:ysexagesexage,,,,,,用拟合上述模型gensexage=sex*ageregressyagesexsexagey|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervalsex|age|sexage|cons|ysexagesexage,,回归方程为则女孩为身高与年龄的回归方程为(sex=)yage,age的回归系数的意义为每年身高增长的速度则男孩为身高与年龄的回归方程为(sex=)yage,,()()=ageage的回归系数的意义为每年身高增长的速度因此女孩身高的增长速度为,样本估计值为男孩身高的增长数为,+,样本估计值为男孩与女孩身高的增长速度差异为,,>说明男孩身高增长速度快,<说明女孩身高增长速度快,说明女孩与男孩的身高增长速度是一样的。样本估计值为>P值<。因此男孩身高速度高于女孩并且差别有统计学意义。例:治疗缺铁性贫血人随机分为组给予不同疗法治疗:经过一个月治疗后治疗前后的红细胞数(万,l)如下:A组B组治疗前治疗后组别治疗后组别治疗前yygroupygroupy治疗前治疗后X,SX,S第一组,,第二组,,考虑以治疗前后的改变量为评价的效应指标先不考虑校正基线则可以用成组t检验进行统计分析geny=yyttesty,by(group)结果如下:TwosamplettestwithequalvariancesGroup|ObsMeanStdErrStdDevConfInterval||combined|diff|Degreesoffreedom:Ho:mean()mean()=diff=Ha:diff<Ha:diff~=Ha:diff>t=t=t=现用线性回归完成上述分析P<t=P>|t|=P>t=设B组(group=)受试者的红细胞数改变量的总体均数为,=,d设A组(group=)受试者的红细胞数改变量的总体均数为,=,,d因此两组的总体均数可以表示为,=,,groupd用线性回归regressygroupSource|SSdfMSNumberofobs=F(,)=Model|Prob>F=Residual|Rsquared=AdjRsquared=Total|RootMSE=y|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervalgroup|cons|,,的估计值为正是B组的样本均数,,的估计值为,+,==正是A组的样本均数,,的估计值为两组样本均数的差值,的检验统计量t=与t检验结果对应P值也对应。,可以证明:成组t检验也可以用线性回归分析进行。,从本例中可以发现回归系数,的意义就是两组总体均数的差值其估计值同样为两组样本均数的差值。geny=yyregressygroupySource|SSdfMSNumberofobs=F(,)=Model|Prob>F=Residual|Rsquared=AdjRsquared=Total|RootMSE=y|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervalgroup|y|cons|predicte,residual计算残差值,iskteste残差正态性检验SkewnessKurtosistestsforNormalityjointVariable|Pr(Skewness)Pr(Kurtosis)adjchi()Prob>chie|genee=abs(e)eee(Leven’s)anovaeegroupNumberofobs=Rsquared=RootMSE=AdjRsquared=Source|PartialSSdfMSFProb>FModel|group|Residual|Total|,P>>AB(RCT)()ABABIgA(mgdl)ya=Aa=Ayabb=Ab=BABAB(a=b=)(a=,b=)(a=,b=)(a=b=)X,SX,SX,SX,Sgenab=a*bregressyababSource|SSdfMSNumberofobs=F(,)=Model|Prob>F=Residual|Rsquared=AdjRsquared=Total|RootMSE=y|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervala|b|ab|cons|三组均数的比较资料正态分布且方差齐性(regdta)分组变量g和g定义方差分析中的分组变回归模型中的分组变量表示对应总体均数量表示g=g=A组group=μAg=g=B组group=μBg=g=C组group=μC数据结构观察数据回归分析的方差分析的变量分组变量分组变量ygggroupg=,g=A组观(或group=)????察数据表示A组g=,g=B组观察(或group=)????数据表示B组g=,g=C组观察(或group=)????数据表示C组回归模型:y,,,g,g,且独立。,~N(,,)即:总体均数,,,,g,gy,,,,,,,A组:g=,g=,对应的总体均数A,,,,,,,,BB组:g=,g=,对应的总体均数C组:g=,g=,对应的总体均数,,,,,,,,C因此,,,,,,,,,,所以检验的问题就是检验的问BAAB题。因此,,,,,,,,,,所以检验的问题就是检验的问CAAC题。因为,,,,(,,),(,,),,,,BCAA,,,,,,所以检验就是检验BC数据格式ygg组别均数标准差=XA组XX,,ABAXX,,=XB组CABXX,,CB=XC组CregressyggSource|SSdfMSNumberofobs=F(,)=Model|Prob>F=Residual|Rsquared=AdjRsquared=Total|RootMSE=y|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervalg|g|cons|得到回归方程ygg,A组:g=g=y,,X,正好等于AB组:g=g=y,,,X,正好等于BC组:g=g=y,,,+X,正好等于Cg的总体回归系数β=μ-μ对应样本估计值BA,,,,XXBAg的总体回归系数β=μ-μ对应样本估计值CA,,,,XXCAH:μ=μ对应H:β=相应的检验值t=P<AB可以认为μ,μμ-μ=β的CI为,ABBA因此至少有可能性可以肯定μ-μ>即:μ>μ。BABAH:μ=μ对应H:β=相应的检验值t=P<AC可以认为μ,μμ-μ=β的CI为ACCA-μ>即:μ>μ。CACA因此至少有可能性可以肯定μ为了检验H:μ=μvsμ,μBCBC对应检验H:β=βvsH:β,β因此在STATA软件中输入命令:testg=g()gg=F(,)=Prob>F=P<因此可以认为μ,μ。可以证明相应的μ-μBCBC的%CI不包含若,则相应的%CI的下限大于X,XBCXX,若则相应的%CI的上限小于。BC为了考察某指标y对冠心病患病是否有关。通过病例对照研究比较病例组(用group=表示)和对照组(用group=表示)的总体均数比较并考虑该因素y可能受年龄age的影响:数据结构gagey先进行两组均数的比较sktestyifg==SkewnessKurtosistestsforNormalityjointVariable|Pr(Skewness)Pr(Kurtosis)adjchi()Prob>chiy|sktestyifg==SkewnessKurtosistestsforNormalityjointVariable|Pr(Skewness)Pr(Kurtosis)adjchi()Prob>chiy|,=可以认为资料近似服从正态分布。sdtesty,by(g)VarianceratiotestGroup|ObsMeanStdErrStdDevConfInterval||combined|Ho:sd()=sd()F(,)observed=Fobs=F(,)lowertail=FL=Fobs=F(,)uppertail=FU=Fobs=Ha:sd()<sd()Ha:sd()~=sd()Ha:sd()>sd()P<Fobs=P<FLP>FU=P>Fobs=,=,可以认为两组方差齐性ttesty,by(g)TwosamplettestwithequalvariancesGroup|ObsMeanStdErrStdDevConfInterval||combined|diff|Degreesoffreedom:Ho:mean()mean()=diff=Ha:diff<Ha:diff~=Ha:diff>t=t=t=P<t=P>|t|=P>t=,=,两组均数的差异无统计学意义。考虑下列线性回归模型y,,(group,age),,(group,age),,,group,age因此病例组group=的总体均数为,(,age),,,,age,,,,age对照组group=的总体均数为,(,age),,,,age,,,age因此对于相同的年龄两组总体均数的差值为,(,age),,(,age),,用上述模型进行回归分析结果如下:regygageSource|SSdfMSNumberofobs=F(,)=Model|Prob>F=Residual|Rsquared=AdjRsquared=Total|RootMSE=y|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervalg|age|cons|得到回归方程ygroupage,,病例组group=代入上述回归方程,得到病例组的回归方程yage,,,age对照组group=代入上述回归方程,得到对照组的回归方程yage,,age两组方程的斜率相同两组的截距差为group的回归系数,对应检验表明差别有统计意义由于,为在相同的年龄下两组均数的差值因此可以认为病例组患者的y指标比对照组平均低(,背景意义)个单位。yFittedvaluesFittedvaluesage考虑另一种典型情况:研究背景同上例类似考查另一指标y在病例对照研究中两组均数的比较。数据结构与上例相同gagey同样先用t检验比较两组均数再用上述模型进行回归分析并考虑年龄对这两组均数的影响:sktestyifg==SkewnessKurtosistestsforNormalityjointVariable|Pr(Skewness)Pr(Kurtosis)adjchi()Prob>chiy|sktestyifg==SkewnessKurtosistestsforNormalityjointVariable|Pr(Skewness)Pr(Kurtosis)adjchi()Prob>chiy|sdtesty,by(g)VarianceratiotestGroup|ObsMeanStdErrStdDevConfInterval||combined|Ho:sd()=sd()F(,)observed=Fobs=F(,)lowertail=FL=Fobs=F(,)uppertail=FU=Fobs=Ha:sd()<sd()Ha:sd()~=sd()Ha:sd()>sd()P<Fobs=P<FLP>FU=P>Fobs=,=,可以认为资料近似服从正态分布方差齐性。ttesty,by(g)TwosamplettestwithequalvariancesGroup|ObsMeanStdErrStdDevConfInterval||combined|diff|Degreesoffreedom:Ho:mean()mean()=diff=Ha:diff<Ha:diff~=Ha:diff>t=t=t=P<t=P>|t|=P>t=,=,t检验结果为两组差别有统计学意义。regygageSource|SSdfMSNumberofobs=F(,)=Model|Prob>F=Residual|Rsquared=AdjRsquared=Total|RootMSE=y|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervalg|age|cons|得到回归方程ygroupage,对照组group=代入上式:得到对照组的回归方程yageyage,,,病例组group=代入上式:得到病例组的回归方程yageage,,两组方程的斜率相同两组的截距差为group的回归系数,对应检验差别无统计意义所以对于相同的年龄两组y的平均数无统计意义。说明作t检验得到差别有统计意义的结果受到年龄的混杂作用。yFittedvaluesFittedvaluesage(dta)AB(RCT)()ABABIgA(mgdl)ya=Aa=Ab=Ab=Bgenab=a*b,~N(,)y,,(a,b),,(a,b),,,a,b,abyabABAB(a=b=)(a=,b=)(a=,b=)(a=b=)X,SX,SX,SX,S====regressyababSourceSSdfMSNumberofobs=F(,)=ModelProb>F=ResidualRsquared=AdjRsquared=yCoefStdErrtP>|t|ConfIntervalTotalRootMSE=ababcons得到回归方程::y,abab:对照组a=b=y,,X对照组:A药组:a=,b=,y,,,XA药组:B药组:a=b=,y,,,XB药组A药+B药组a=b=:y,,,XA药+B药组研究问题:单独用A药效应如何?单独用B药效应如何?同时用A同时用B药的效应是否大于或小于单独用A药的效应+单独用B药效应?A药的样本效应值为B药的样本效应值为A药+B药的样本效应值为=>A药和B药单独使用的效应值的和=两者相差:,,且有统计意义。即有协同作用。研究问题:单独用A药和单独用B药哪个药效果好?H:,=,vsH:,,,aSTATA命令:testa=btesta=b()ab=F(,)=Prob>F=说明差别有统计意义且A药优于B要。多个回归系数检验问题例-健康女性身体各部位脂肪分布情况用x表示三头肌皮褶厚度x表示大腿围x表示中臂围用y表示身体脂肪。试用线性回归分析的方法分析身体脂肪与三头肌皮褶厚度大腿围和中臂围之间的关系。nonoxxxyxxxySTATA命令regressyxxxSourceSSdfMSNumberofobs=F(,)=ModelProb>F=ResidualRsquared=AdjRsquared=TotalRootMSE=H:,=,=,=vsH:,,,不全为P<因此拒绝H并认为至少有一个回归系数不为。yCoefStdErrtP>|t|ConfIntervalxxxcons虽然所有单个回归系数的检验P>但是单个回归系数的检验是指其它回归系数均在模型中的条件下而该因素的回归系数,=的检验。事实上出现这种情况很可能是自变量之间高度相关且某一个自变量可以被其它自变量线性表示。称为多重共线问题。,多重共线对分析的影响VIFs(varianceinflationfactors),对于自变量p个自变量xx…x中以其中一个x作pi为因变量作回归以及其它p个变量为自变量得到相应的决定系数R。定义x的膨胀因子VIF,iii,Ri,VIFR,=对应说明x与其它p个自变量无共线。iii,当对应VIF>,R,ii,当说明x与其它p个自变量完全共线对应R,iiVIF成为无穷大。i,通常认为在p个自变量xx…x中,最大的VIF>p则认为严重共线最小二乘估计受到较严重的影响。pVIF,ii,,平均VIF=>>则认为多重共线。P在本例中,自变量x,x,x可能多重共线。因此在运行regress命令后再输入计算膨胀因子的计算vifVariable|VIFVIFx|x|x|MeanVIF|因此可以认为严重的多重共线。swregressyxxx,pe()pr()beginwithfullmodelp=>=removingxSource|SSdfMSNumberofobs=F(,)=Model|Prob>F=Residual|Rsquared=AdjRsquared=Total|RootMSE=y|CoefStdErrtP>|t|ConfIntervalx|x|cons|当x剔除模型后x和x的回归系数均有统计意义。所以模型中出现多个回归系数的P值>不能立刻断定这些P值大于的回归系数所对应的变量均无统计意义而剔除模型。逐步回归也分为二种方式:前进法和后推法筛选变量。以例(pp)为例分别说明逐步回归的前进法和逐步回归的后退法过程。为了使资料较好地正态分布对y取对数genyy=ln(y)ln()第一步:寻找最佳的单变量线性回归模型模型得到相应的F=P值=y,,,x,模型得到相应的F=P值<y,,,x,模型y,,,x,得到相应的F=P值<模型得到相应的F=P值<y,,,x,因此就单变量的线性回归模型而言模型是相对最好的。第二步考虑回归模型中引进第个变量:模型y,,,x,x,得到相应的F=P值>模型y,,,x,x,得到相应的F=P值<模型得到相应的F=P值<y,,,x,x,因此选用模型(既引进变量x)第三步考虑回归模型中引进第个变量:模型y,,,x,x,x,得到相应的F=P值<模型y,,,x,x,x,得到相应的F=P值<因此选用模型(既引进变量x)考虑回归模型中引进第个变量:y,,,x,x,x,x,模型得到相应的F=P值<但是x的P值=相应F=,因此x应从模型中剔除。因此得到模型y,,,x,x,x,模型最后得到模型为的变量已经不能在引进模型并且模型中的变量也不能被剔除出模型。该模型具体结果为MSSourceSSdfNumberofobs=F(,)=ModelProb>F=ResidualRsquared=AdjRsquared=RootMSE=TotalyyCoefStdErrtP>|t|ConfIntervalxxxcons应用回归结果前应检查)残差是否近似正态分布(要求基本对称就可以了大样本时要求可以更低一些)。)残差的离散程度是否各个自变量变化无关?若残差的离散程度与某个自变量的变化有关则应采用某种变换或用关于方差稳健的回归分析(robustregression):在STATA软件中:如本例regressyyxxx,robust若满足上述二条回归系数的检验结果是可靠的。)若要应用回归模型进行预测则还应满足各个自变量与残差无任何明显趋势变化。)在引入模型的自变量中若有亚元变量则亚元变量是一组变量(认为向量变量)所以对于某一组的亚元变量则要么该组亚元变量全引进模型要么该组亚元变量全剔除出模型。不能亚元变量的某几个成分的变量进入模型另外几个成分的亚元变量未进入模型。

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/47

多元线性回归分析

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利