高等数学考研大总结之四导数与微分

第四章  导数与微分 第一讲  导数 一， 导数的定义： 1函数在某一点 处的导数：设 在某个 内有定义,如果极限 (其中 称为函数 在( , + )上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数 在 处的变化率)存在则称函数 在 点可导.并称该极限值为 在 点的导数记为 ,若记 则 = = 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: , , 。 ⑶函数 在某一点 处的导数是研究函数 在点 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数 在点 处的导数的具体方法,即：①对于点 处的自变量增量 ,求出函数的增量（差分） = ②求函数增量 与自变量增量 之比 ③求极限 若存在,则极限值就是函数 在点 处的导数,若极限不存在,则称函数 在 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 是常数, 是变量, 求出的极限值一般依赖于 ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为 时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数 在点 处无定义,则函数在 点处必无导数,但若函数在点 处有定义,则函数在点 处未必可导。 2 单侧导数：设函数 在某个 （或 ）有定义，并且极限 （或 ）存在，则称其极限值为 在 点的左（右）导数，记为： 或 （或 ）。左导数和右导数统称为单侧导数。 函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。 3 函数在某一区间上的导数：⑴在 内可导：如果函数 在开区间 内每一点都可导，则说 在 内可导（描述性）。⑵在 内可导：如果函数 在 内可导且 存在则说函数 在 上可导。 4 导函数：如果函数 在区间I上可导，则对于任意一个 都对应着唯一一个（极限的唯一性）确定的导数值 ，这样就构成了一个新的函数，称为函数 的导函数。记为： 或 或 或 ，由此可知函数 某一点 处的导数实质是在点 处的导函数值。 解析：（1）区别 与 ： 表示函数 在点 处的导函数值，而 表示对函数值 这个常数求导，其结果为零。 （2）与在某一区间可导的关系：在某一区间可导就是在该区间上存在导函数。 5 可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。 二，导数的几何意义： 当y= 表示一条曲线时,则 表示曲线在 点的切线的斜率， 的正和负分别表示曲线在该点是上升还是下降. 的大小则表示曲线在该点的邻域内起伏的程度, 越小说明曲线在该点的邻域内近似水平,反之 越大说明曲线在该点的邻域内越陡,起伏明显。 解析：⑴用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率。 ⑵过曲线y= 上的点( , )的方程:①切线方程 - = (x- ).②法线方程: - = ( ≠0) ⑶如果点P(A,B)在曲线y= 外,那么过P点与曲线相切的切线有两条。 ⑷若 = 说明函数 的曲线在点 处的切线与x轴垂直。若 =0则说明 的曲线在点 处的切线与x轴平行。 三，导数的四则运算 如果函数 及 都在点 具有导数,那么其和差积商(除分母为零的点外)都在点 具有导数。 ⑴ ⑵           ⑶         解析：和差积可推广为有限项即：⑴ ⑵ 四，几类函数的求导法则 1反函数的求导法则：如果函数 在区间 内单调且 则它的反函数y= 在区间 内也可导，且 或 即：ｙ是ｘ的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 解析：⑴ 且 在点y处连续。 ⑵反函数求导法则的几何意义：由于 是函数 的曲线上点x处的切线与x轴正向夹角 的正切。而反函数 与y= 在同一坐标系中有相同的曲线，只不过反函数 的自变量是y所以导数 就是y= 曲线上x的对应点y处的同一条切线与y轴正向夹角 的正切，因此： 即： （ ， 之和为 ） 2 复合函数的求导法则（链式求导）：如果 在点 可导，而y= 在点 可导，则复合函数 在点 可导，且其导数为： 或 。 解析：⑴复合函数整体在某点是否可导与 和 在某点是否可导无关。 ⑵逐层分解为简单函数在求导，不重，不漏。 3 隐函数求导法则：对方程 所确定的隐函数求导，要把方程 的两边分别对 求导即可。在求导过程中应注意 是 的函数，所以在对 或 的函数求导时应理解为复合函数的求导。 4 参数方程求导法则：由参数方程 所确定的ｙ与ｘ的函数的导数为： 。 解析：注意理解 。 5 对数求导法则：是求幂指数 型导数的有效方法即：对函数 的两边同时取对数，然后根据对数的性质将作为指数的函数 化为与 相乘的一个因子，再利用上述方法求导。 6 两个结论：⑴可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数。 ⑵可微分的偶函数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数。这个事实说明：凡对称于 轴的图形其对称点的切线也关于 轴对称。凡关于原点对称的图形，其对称点的切线互相平行。 五，常见函数的一阶导数 ⑴ （ｃ为常数）⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ ⒃ ⒄ ⒅ ⒆ ⒇ （21） （22） （23） 六，高阶导数 设 是函数 在I上的导数，并且 也在I上可导，则称 在I上二阶可导，并称 的导函数是 在I上二阶导数，记为： 或 ，一般地，设 是 在区间I上的 阶导函数并且 也在I上可导则称 在I上ｎ阶可导，并称 的导函数是 在区间I上的ｎ阶导函数记为： 当函数由 给出时 的ｎ阶导数也可表示为： 。若在 点的ｎ阶导数常记为： 。 解析：⑴规定函数 的零阶导数为函数 的本身。 ⑵该定义的给出具有数学归纳法的性质，因此在求某一函数的高阶导数时常用数学归纳法。 ⑶ 的ｎ阶导数是由 的 阶再一阶导而求得，所以其具有逐阶刻画的性质。 ⑷高阶导数的常用求法：莱布尼茨(Leibniz)公式： 上的ｎ阶连续函数）其展开式为： 。 七，常见函数的高阶导数 ⑴ （Ｃ为常数）⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀设 且 则有 ⒁设 且 则有 （⒀，⒁用同一函数的思想求ｂ，ｃ）⒂   （其中 ） 第二讲  微分 一，微分的定义 设 在点 的某个邻域 中有定义如果存在常数A使 则称函数 在 点可微，并称 为 在点 处的微分，记为： 其中称 为函数增量 的线性主部。 解析：⑴给出了求函数值的改变量的近似计算方法（极限的无穷小判别法），简单地反映了函数增量与自变量增量的关系即：线性关系。这是一种局部线性逼近的思想。 ⑵令函数 则 这表明自变量的微分 就是它的增量 。 ⑶导数与微分的关系：函数 在点ｘ处可微的充要条件是函数在该点可导，并且有 （一种常见求微分的方法），所以导数称为微商。 ⑷ 函数 的微分是关于 的线性函数， （其中 ）且函数 的导数与 无关。 二，导数与微分几何意义的比较 三，微分的四则运算法则 设 均可微分则有：⑴   ⑵       （ｋ为常数）⑶   （ｋ为常数） 四，复合函数一阶微分形式的不变性 设函数 ， 均可导，则复合函数 的导数为 故其微分为： 注意 ， 因此上式为： ，无论ｕ是自变量还是中间变量都保持形式的不变性。 解析：第一类积分换元法（凑微分）的理论基础。 五，微分的近似计算及误差估计 1 微分的近似计算：若函数 在点 处可微，则当 很小时，可用微分 近似代替增量 即： 。 解析：⑴用微分进行近似计算的实质就是在微小局部将给定的函数线性化，将复杂函数简单化，从几何意义角度看就是用曲线 在点 处的切线来近似代替该曲线（达到化曲为直的目的）。另一种理解就是寻求其等价无穷小量。 ⑵用函数微分 近似计算 时要注意：① 不一定是无穷小量但应比较小。② 应是一个不依赖于ｘ的增量。 ⑶一般利用微分解决四个方面的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：①计算函数增量 的近似值即： ②计算函数的近似值即： ③求方程的近似解即： ④按照误差的精度要求进行近似计算。 2 微分在误差估计中的实际应用：设某量的测量值为ａ，精确值为A如果 则正数 称为测量的绝对误差。 称为测量的相对误差，而在实际应用中相对误差多用 来计算。 解析：分清精确值与测量值。 六，高阶微分 由于对自变量 来说 = 与 无关，因此可微函数 的微分 仍是 的函数这样若 还可微，则把它的微分 叫做函数 的二阶微分，并将 记作： ，把 记作： ，于是二阶微分为 由此可以更一般地若 的 阶微分 仍可微，则把它的微分： 叫做 的ｎ阶微分，这时称函数 ｎ阶可微，二阶与二阶以上的微分称为高阶微分。 解析：⑴其描述过程具有数学归纳法的性质，所以求解高阶微分的一般方法为数学归纳法。 ⑵高阶微分没有微分形式不变性。 第三讲  导数的应用 一，函数的单调性：设函数 在 上连续，在 内可导⑴如果在 内 那么函数 在 上单调增加⑵如果在 内 那么函数 在 上单调减少。 解析：⑴区间 具有任意性，无论开闭还是有穷，无穷均可。 ⑵若在 内 则严格单增，若在 内 则严格单减。 ⑶在该定理中我们研究的是导函数值域的性质，并不是某一点导函数值的性质，而是区间上任意点导函数值的性质。 ⑷此定理为充要条件，所以结合定义域可求出某函数的单调增（减）区间，与此同时一定要针对函数的单调区间去谈函数的单调性。 ⑸几何意义：由函数 的导数 的正负来判断曲线的升降，进而判断其单调性。 ⑹该定理具有逐层描述的特性，即：二阶导函数的正负决定一阶导函数的增减性，可推广到ｎ阶。 二，函数的极值 1函数极值的定义：设函数 在点 的某邻域内有定义，如果对于其去心邻域内的任一ｘ有 （ ）则称 是函数 的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为极值点。 解析：⑴在研究函数在点 处的极值时，一般要求函数是连续函数即：应考察函数在点 及其附近是否有定义。 ⑵极值是一个局部性定义，它只与一点及其附近的函数值有关，而与整个定义域或定义域内某个区间上的一切函数值无关，因此对于同一个函数来说在一点的极大值也可能小于另一点的极小值。在一个区间内可能取得多个极值。（极值与最值的区别） ⑶极值点处函数曲线的切线平行于ｘ轴，即：导数为0，但导数为0的点（或称稳定点，临界点，驻点）不一定是极值点。换句话说，费马(Fermat)引理只是可导函数极值的必要条件。 ⑷函数极值与方程根的个数有一定的关系。 2 常用两种极值的判别法（两个充分条件）：⑴第一判别法：设函数 在 连续在 上可导①若当 时 ，当 时 则 在 取得极大值②若当 时 ，当 时 则 在 取得极小值。 解析：⑴反映了单调性与极值的关系。 继续阅读