数学基础模块(下册)第七章向量

数学基础模块( 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 )第七章向量 【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算 【教学目标】 知识目标: (1)了解向量、向量的相等、共线向量等概念; (2)掌握向量、向量的相等、共线向量等概念( 能力目标: 通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力( 【教学重点】 向量的线性运算( 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件( 【 教学设计 散步教学设计免费下载洗衣歌教学设计免费下载汽车材料教学设计下载爱护水资源教学设计下载一师一优课教学设计下载 】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念( 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向(教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向(数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a,b”没有意义，而“,a,,,b,”才是有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算(向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向与向量a,a, 相同，其模为的倍(由此得到(对向量共线的充要条件，要特别注意“非aabab?,,,, 零向量a、b”与“ ”等条件. ,,0 【教学备品】 教学 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 ( 【课时安排】 2课时((90分钟) 【教学过程】 第7章 平面向量( 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 ) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 *揭示课题 0 介绍 了解 7.1 平面向量的概念及线性运算 *创设情境 兴趣导入 从实播放 观看 ?如图7,1所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆 例出课件 课件 发使车，效果一样吗, 思考 学生 自然 的走 引导 向知 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 自我 识点 分析 3 图7,1 *动脑思考 探索新知 【新知识】 在数学与物理学中，有两种量(只有大小，没有方向的量 总结 思考 带领 叫做数量(标量)，例如质量、时间、温度、面积、密度等(既 归纳 学生 分析 有大小，又有方向的量叫做向量(矢量)，例如力、速度、位 移等( 平面上带有指向的线段(有向线段)叫做平面向量，线段 理解 的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小(如图7-2 仔细 所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点引导 分析 式启 叫做平面向量的终点(以A为起点，B为终点的向量记作 讲解 发学 AB(也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a;关键 生得 手写时应在字母上面加箭头，记作( a词语 出结 B 果 记忆 a A 图7,2 AB向量的大小叫做向量的模(向量a, 的模依次记作，a ( AB 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 模为零的向量叫做零向量(记作0，零向量的方向是不确 定的( 10 模为1的向量叫做单位向量( *巩固知识 典型例题 例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机 观察 说明 从A处朝北偏东45?方向飞行200km， 两架飞机的位移相同 强调 吗,分别用有向线段表示两架飞机的位移( 通过 引领 思考 例题解 位移是向量(虽然这两个向量的模相等，但是它们的 进一 方向不同，所以两架飞机的位移不相同(两架飞机位移的有向 讲解 步领 线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b( 说明 会 b 主动 求解 A 强调 a 含义 13 图7-3 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 *运用知识 强化练习 说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格 为1)( N 及时 了解 E B 提问 思考 学生 M 巡视 口答 知识 T 指导 掌握 A K 得情 H 况 L D C F K Z P G Q 图7?4 18 *创设情境 兴趣导入 播放 观看 从实 课件 课件 例出观察图7?4中的向量AB与，它们所在的直线平行，MN 发使 两个向量的方向相同;向量与所在的直线平行，两个PQCD质疑 学生 自我 自然 向量的方向相反( 引导 分析 的走 分析 向知 识点 20 *动脑思考 探索新知 【新知识】 总结 思考 带领 方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量(向 归纳 归纳 学生 量与向量b平行记作//b( aa 总结 规定:零向量与任何一个向量平行( 仔细 理解 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此分析 记忆 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 讲解 相互平行的向量又叫做共线向量( 关键 【想一想】 词语 23 图7?4中，哪些向量是共线向量, *动脑思考 探索新知 【新知识】 思考 图7?4中的平行向量与，方向相同，模相等;平ABMN 总结 思考 归纳 归纳 归纳 行向量与，方向相反，模相等( TKHG 理解 我们所研究的向量只有大小与方向两个要素(当向量a与 仔细 理解 记忆 向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记分析 记忆 讲解 作a = b (也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种 关键 性质的向量叫做自由向量( 词语 与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的aa 负向量，记作( ,a 28 规定:零向量的负向量仍为零向量( 显然，在图7,4中，AB= ，= ,( TKMNGH 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间 *巩固知识 典型例题 说明 观察 例2 在平行四边形ABCD中(图7,5)，O为对角线交点( 强调 思考 (1)找出与向量相等的向量; DAD C 通过 O 例题引领 主动 (2)找出向量的负向量; DC 进一 求解 B A 步领 图7,5 (3)找出与向量平行的向量( AB 讲解 注意 分析 要结合平行四边形的性质进行分析(两个向量相等，说明 观察 观察 学生 它们必须是方向相同，模相等;两个向量互为负向量，它们必 思考 是否 须是方向相反，模相等;两个平行向量的方向相同或相反( 引领 求解 理解 领会 + 解 由平行四边形的性质，得 知识 思考 点 强调 (1)=DA; CB求解 反复 含义 强调 说明 (2)=,; BACDDC,,,DC (3)//AB,//AB，//AB( BADCCD 33 *运用知识 强化练习 1( 如图，,ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写 出 启发 思考 (1)与EF相等的向量;(2)与共线的向量( AD 引导 了解 可以 A F E 交给 D F A D 学生 O B E C 自我 B C (练习题发现 第1题图 (图1,8) 第2题图 1(1(1第2归纳 题图) 2(如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出 提问 动手 巡视 求解 (1)与相等的向量; (2)的负向量; (3)与OCOCOC 指导 共线的向量( 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间 38 *创设情境 兴趣导入 王涛同学从家中(A处)出发，向正南方向行走500 m到 播放 观看 从实 达超市(B处)，买了文具后，又沿着北偏东60?角方向行走 课件 课件 例出200 m到达学校(C处)(如图7,6)(王涛同学这两次位移的 发使总效果是从家(A处)到达了学校(C处)( 学生 A 质疑 自我 自然 分析 的走 500m 向知 C 引导 识点 200m 分析 B 图7,6 42 *动脑思考 探索新知 位移叫做位移AB与位移的和，记作ACBC =AB+( ACBC B b a a b 总结 思考 A C a+b 归纳 归纳 图7,7 一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如带领 学生 AB图7,6)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向BCAC 总结 量b的和，记作a，b ，即 AB a，b =，= (7(1) BCAC 求向量的和的运算叫做向量的加法(上述求向量的和的方 理解 法叫做向量加法的三角形法则( 仔细 记忆 分析 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 讲解 观察图7,7可以看到:依照三角形法则进行向量a与向 关键 量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向 词语 量(其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点( 【做一做】 给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量( 【想一想】 (1)a，b与b，a相等吗,请画出图来说明( 50 (2)如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量, *动脑思考 探索新知 如图7,9所示， ABCD为平行四边形，由于=，ADBC 根据三角形法则得 总结 思考 归纳 归纳 D C AB，=AB，= ADBCAC A B 带领 图7,9 学生 这说明，在平行四边形 总结 理解 ABCD中， 所表示的向量就是AB与的和(这种求和ADAC 记忆 仔细 方法叫做向量加法的平行四边形法则( 分析 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加 讲解 法具有以下的性质: 关键 词语 (1)a，0 = 0，a = a; a，(?a)= 0; (2)a，b=b，a; (3)(a，b)， c = a ，(b，c)( 55 *巩固知识 典型例题 例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间 知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度( 解 如图7,10所示，表示船速，ABB D 说明 观察 强调 为水流速度，由向量加法的平行四边形AC 法则，是船的实际航行速度，显然 ADA C 22 图7,10 22 ==13( ADABAC,，125， 12 1 ,又，利用计算器求得( tan，CAD,，,:CAD6723 5思考 即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水引领 ,流方向)的夹角约( 6723: 主动 *例4 用两条同样的绳子挂一个物体(图7,11)(设物 讲解 求解 体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两, 说明 条绳子的方向的拉力与的大小( FF12 注意 分析 由于两条同 观察 样的绳子与竖直垂线所学生 引领 是否 观察 成的角都是，所以,分析 FF2 1 ,理解 思考 (解决问题不FF,12知识 求解 点 考虑其它因素，只考虑k 受力的平衡，所以 图7,11 . FFk，,,12 解 利用平行四边形法则，可以得到 领会 ， FFFk，,,2cos,121 所以 kF, ( 12cos, 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间 【想一想】 根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7, 反复 强调 12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小, 讲解 思考 说明 求解 图7-12 62 *运用知识 强化练习 练习7.1.2 1( 如图，已知a，b，求a，b( 启发 思考 b 引导 了解 a b 可以 a 交给 (1) (2) 学生 第1题图 自我 (图1,15) 发现 2(填空(向量如图所示): 归纳 提问 动手 (1)a，b =_____________ , 巡视 求解 (2)b，c =_____________ , 指导 (3)a，b，c =_____________ ( 3(计算: 65 AB(1)，，; (2)，，( BCCDOBBCCA 引导*创设情境 兴趣导入 质疑 思考 启发 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 引导 参与 学生在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数 分析 分析 思考 的相反数( 66 *动脑思考 探索新知 与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和 总结 归纳 定义为向量a与向量b的差(即 a ?b = a，(?b)( 思考 设a，b ，则 ,OB=OA 归纳 ( ()= OAOBOAOBOABOBOOABA,,，,，,，, 即 = (7(2) BAOA,OB 带领 观察图7,13可以得到:起点相同的两个向量a、 b，其 学生 仔细 总结 差a,b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减 理解 分析 向量b的终点，终点是被减向量a的终点( 记忆 讲解 a-b 关键 A B 词语 b a O 图7,13 68 *巩固知识 典型例题 例5 已知如图7,14(1)所示向量a 、b ，请画出向量 强调 思考 a,b( 含义 求解 注意 b O B a 观察 a b 学生 A 是否 (1) (2) 理解 领会 图7,14 知识 说明 点 解 如图7,14(2)所示，以平面上任一点O为起点，作 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 思考 =a，=b，连接BA，则向量为所求的差向量，即 BAOBOA 求解 70 = a,b ( BA 【想一想】 当a与 b共线时，如何画出a,b ( *运用知识 强化练习 1(填空:(1)=_______________， AB,AD 启发 思考 可以 引导 了解 交给 (2)=______________， ,BABC 学生 (3)=______________( OD,OA 2(如图，在平行四边形 ABCD中，设AB= a,= b，AD提问 动手 自我 巡视 求解 发现 试用a, b表示向量、BD、AC指导 归纳 72 DB( *创设情境 兴趣导入 质疑 思考 观察图7,15可以看出，向量与向量a共线，并且 OC 引导 启发,3a( OC 学生 引导 参与 思考 a 分析 分析 a a a O A B C 74 图7?15 *动脑思考 探索新知 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它,, 的模为 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 (7(3) |,a|,|,||a| 总结 思考 带领 若0，则当,0时，a的方向与a的方向相同，||,a,,, 归纳 归纳 学生 分析 当,0时，a的方向与a的方向相反( ,, 由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，,,0 有 (7(4) abab?,,, 一般地，有 0a= 0, 0 = 0 ( , 理解 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对 记忆 于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的,,、 法则: 111　　，　;aaaa,,,,，，，， 2　　;,,,,,,aaa,,，，，，，，，， 仔细 引导 理解 3　　;,,,,，,，aaa，，，， 分析 启发 记忆 讲解 学生 ,　(,,,abab，,， ，，，， 关键 得出 【做一做】 词语 结论 请画出图形来，分别验证这些法则( 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相 类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形， 可直接应用于向量的运算中(但是，要注意向量的运算与数的 运算的意义是不同的( 78 *巩固知识 典型例题 例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7, 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 16，,a ，,b，试用a, b表示向量、( ABADAOOD 11分析 因为,，所以需要首先分别求AOAC,ODBD, 22 强调 思考 出向量与. BDAC 含义 求解 注意 观察 学生 是否 解 AC 理解 图7,16 领会 知识 ,a，b,,b ?a， BD说明 点 因为O分别为AC，BD的中点，所以 1111 (a，b),a，b， AOAC,, 2222 1111思考 ,BD,(b ?a),?a+b( OD 2222求解 1111 例6中，a，b和?a+b都叫做向量a，b的线性组 2222 合，或者说，、可以用向量a，b线性表示( AOOD81 ,一般地，a，b叫做a, b的一个线性组合(其中,均,,, ,为系数)(如果l ,a， b，则称l可以用a，b线性表示( , 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算 ( *运用知识 强化练习 启发 思考 可以 1( 计算:(1)3(a ?2 b),2(2 a，b); 引导 了解 交给 学生 (2)3 a ?2(3 a ?4 b)，3(a ?b)( 提问 动手 自我 1 2(设a, b不共线，求作有向线段，使,(a，b)( OAOA巡视 求解 发现 2 指导 归纳 83 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 向量、向量的模、向量相等是如何定义的, 质疑 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 回答 及时结论: 了解 当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等， 学生 归纳 知识这种量叫做向量(矢量) 强调 掌握 向量的大小叫做向量的模(向量a, 的模依次记作，ABa 情况 ( AB a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b 相等，记作a = b ( 85 *归纳小结 强化思想 引导 回忆 本次课学了哪些内容,重点和难点各是什么, *自我反思 目标检测 检验 本次课采用了怎样的学习方法,你是如何进行学习的, 提问 反思 学生 你的学习效果如何, 学习 巡视 动手 效果 计算: 指导 求解 (1)AB，，; (2)，，( BCCDOBBCCA88 *继续探索 活动探究 说明 记录 分层(1)读书部分:教材 次要(2)书面作业:教材习题7(1 A组(必做);7(1 B组 求 (选做) (3)实践调查:试着用向量的观点解释生活中的一些问题 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信; 第7章 平面向量(教案) 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面; 【课题】7.2 平面向量的坐标表示 【教学目标】 知识目标: (1)了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示; (2)了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标: 培养学生应用向量知识解决问题的能力. 【教学重点】 向量线性运算的坐标表示及运算法则. 【教学难点】 向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学设计】 向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在 第7章 平面向量(教案) 坐标原点(一般称为位置向量)(设轴的单位向量为，轴的单位向量为(如果点A的坐jxi 标为(，),则 yx ， OAxy,，ij 将有序实数对(，)叫做向量的坐标(记作=(，)( yyxxOAOA 例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题(要强调此时起点的位置(让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标(例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题(要强调与公式的对应( 在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式(7.8).数值上可以简单记为:终点的坐标减去起点的坐标(例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题(要强调“终点的坐标减去起点的坐标”( 【教学备品】 教学课件( 【课时安排】 2课时((90分钟) 【教学过程】 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 *揭示课题 0 介绍 了解 7.2 平面向量的坐标表示 *创设情境 兴趣导入 【观察】 设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向 质疑 思考 量为j，为从原点出发的向量，点A的坐标为(2，3)(图7OA 从实 ,17)(则 例出 发使 学生 自然 的走 向知 引导 识点 分析 自我 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 分析 图7,17 ，( OM,2iON,3j 由平行四边形法则知 ( OAOMON,，,，23ij 【说明】 5 可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的 坐标是相同的( *动脑思考 探索新知 【新知识】 思考 引导 仔细 式启 设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， 分析 发学 理解 (1)设点，则(如图7,18(1)); 讲解 Mxy(,)OMxy,i+j生得 关键 出结 (2)设点(如图7,18(2))，则 AxyBxy(,)(,)，1122词语 果 记忆 10 y M(x,y) j O x i (1) y B A j O x i (2) 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 图7,18 ABOBOAxyxy,,,,()()i+ji+j2211 ,,，,()()xxyyij(2121 由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对有序实数 ， 使得 (,)xy ( aij,，xy 有序实数对叫做向量a的坐标，记作 (,)xy ( a,(,)xy 如图7,17所示，向量的坐标为 OA,(2,3)( 如图7,18(1)所示，起点为原点，终点为的向量Mxy(,) 的坐标为 OMxy,(,)( 如图7,18(2)所示，起点为终点为的向Axy(,)，Bxy(,)1122 量坐标为 (7(5) ABxxyy,,,()，(2121 *巩固知识 典型例题 例1 如图7,19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j 表示向量a、b, 并写出它们的坐标( 说明 观察 解 因为 强调 通过 a,， ,5i，3j ，MAOM 例题 进一所以 a,(5,3)( 思考 步领同理可得 ( b,,(4,3) 引领 会 主动 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 讲解 求解 说明 图7,19 15 【想一想】 观察图7,19，与的坐标之间存在什么关系, OMOA 例2 已知点，求的坐标( PQ(2,1)(3,2),，PQQP， 解 PQ,,,,(3,2)(2,1)(1,3), QP,,,,,,(2,1)(3,2)(1,3)( 及时 *运用知识 强化练习 了解 提问 思考 1( 点A的坐标为(,2，3)，写出向量的坐标，并用OA学生 巡视 口答 知识 i与j的线性组合表示向量( OA 指导 掌握 得情 2( 设向量,写出向量a的坐标( aij,,34 况 20 3( 已知A，B两点的坐标，求的坐标( ABBA， (1) AB(5,3),(3,1);, (2) AB(1,2),(2,1); (3) AB(4,0),(0,3),( *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察图7,20，向量 质疑 思考 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 ,,(可以看到，OA,(5,3)OP,(3,0)OMOAOP,，,(8,3) 两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和( 引导 参与 引导 分析 分析 启发 学生 思考 27 图7,20 *动脑思考 探索新知 【新知识】 设平面直角坐标系中，，，则 a,(,)xyb,(,)xy1122 abijij，,，，，()()xyxy1122 总结 思考 归纳 归纳 ( ,，，，()()xxyyij 1212 带领 所以 学生 总结 ( (7(6) ab，,，，(,)xxyy1212 仔细 理解 类似可以得到 分析 记忆 讲解 35 ( (7(7) ab,,,,(,)xxyy1212 关键 词语 ( (7(8) ,,,a,(,)xy11 *巩固知识 典型例题 说明 观察 通过例3 设a,(1,?2), b,(?2,3)，求下列向量的坐标: 强调 例题 (1) a，b ， (2) ?3 a， (3) 3 a ?2 b ( 进一 步领解 (1) a，b,(1, ?2)，(?2,3),(?1,1) 思考 引领 会 (2) ?3 a,?3×(1, ?2),(?3,6) 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 (3) 3 a ?2 b,3×(1, ?2) ? 2×(?2,3),(3, ?6) ? (?4,6),(7, 讲解 主动 ?12)( 说明 求解 45 *运用知识 强化练习 启发 思考 及时 已知向量a, b的坐标，求a，b、 a ?b、?2 a，3 b的坐标( 引导 了解 了解 (1) a,(?2,3)， b,(1,1); 学生 提问 动手 知识 (2) a,(1,0)， b,(?4, ?3); 巡视 求解 掌握 (3) a,(?1,2)， b,(3,0)( 指导 得情 况 55 *创设情境 兴趣导入 【问题】 引导 思考 前面我们学习了公式(7.4)，知道对于非零向量a、b，当 引导 分析 时，有 ,,0 启发 学生 abab?,,, 思考 如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢, 参与 观察 分析 思考 60 *动脑思考 探索新知 【新知识】 总结 思考 归纳 归纳 设由，有 ab,,(,),(,),xyxyab,,1122 于是，即 xxyy,,,,,,xyxy,,,12121221 ( xyxy,,0 1221带领 仔细 理解 学生 分析 记忆 由此得到，对非零向量a、 b，设当ab,,(,),(,),xyxy 1122总结 讲解 时，有 ,,0 (7(9) ab?(,,,xyxy01221 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间 67 *巩固知识 典型例题 说明 观察 例4 设，判断向量a、 b是否共线( ab,,(1,3),(2,6) 强调 通过 解 由于 3×2?1×6,0， 例题 故由公式(7(9)知，，即向量a、 b共线( ab? 思考 引领 进一 分析 步领 会 主动 求解 讲解 说明 70 *运用知识 强化练习 启发 思考 及时 判断下列各组向量是否共线: 引导 了解 了解 3 学生 (1) a,(2,3)， b,(1,); 2提问 动手 知识 (2) a,(1, ?1) ， b,(?2,2); 巡视 求解 掌握 指导 得情 (3) a,(2, 1) ， b,(?1,2)( 况 75 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 向量坐标的概念, 任意起点的向量的坐标表示, 质疑 回答 及时共线向量的坐标表示, 了解 结论: 学生 知识一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴 归纳掌握 的单位向量为j，则对于从原点出发的任意向量a都有唯一一强调 情况 对实数x、y，使得aij,，xy(有序实数对(,)xy叫做向量a的 坐标，记作 a,(,)xy( 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起 点的向量的坐标. 对非零向量a、 b，设当时，ab,,(,),(,),xyxy,,01122 有 ab?(,,,xyxy01221 80 *归纳小结 强化思想 引导 回忆 本次课学了哪些内容,重点和难点各是什么, *自我反思 目标检测 提问 反思 检验 本次课采用了怎样的学习方法,你是如何进行学习的, 学生 你的学习效果如何, 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 已知向量a, b的坐标，求a，b、 a ? b、?2 a，3 b的坐 85 标( a,(?2,3)， b=(1,1); *继续探索 活动探究 说明 记录 分层(1)读书部分:教材 次要(2)书面作业:教材习题7.2 A组(必做);7.2 B组(选 求 做) (3)实践调查:寻找生活中的向量坐标实例 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信; 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服; 第7章 平面向量(教案) 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面; 【课题】7.3 平面向量的内积 【教学目标】 知识目标: (1)了解平面向量内积的概念及其几何意义. (2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标: 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力( 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角( 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念(需要强调力与位移都是向量， 而功是数量(因此，向量的内积又叫做数量积( 在讲述向量内积时要注意: 第7章 平面向量(教案) (1)向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定; (2)向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中: 180(1)当,0时，a?b,|a||b|;当,时，a?b,,|a||b|(可以记忆为:两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积;方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数( (2)|a|,显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的aa, 公式的基础; ab,(3)cos,，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基||||ab 础; 4)“a?b,0(a,b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示, 的重要基础( 【教学备品】 教学课件( 【课时安排】 2课时((90分钟) 【教学过程】 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 *揭示课题 0 介绍 了解 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入 从实 F 例出 质疑 思考 发使30: O 学生 s 自然 的走 向知 图7—21 识点 引导 自我 如图7,21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的 分析 分析 力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 30: 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间 m(那么，这个人做了多少功, 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离 的乘积(如图7,22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直总结 思考 带领 归纳 学生 方向的单位向量为j，则 分析 i + y j ， F,,,，,FiFjsin30cos30x 即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有 产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即 3 W,,F,cos?,s,,100×?10,500 (J) 330: 2 理解 y F(x,y) j O x i 引导 图7,22 仔细 记忆 式启 分析 发学 讲解 生得 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等 关键 出结 词语 于由两个向量F，s的模 果 A 及它们的夹角的余弦的 a 乘积，W叫做向量F与 b B O 向量s的内积,它是一个15 图7,23 数量，又叫做数量积( 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 如图7,23，设有两个非零向量a, b，作,a, ,b,OBOA 由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记 作( 两个向量a,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与b 向量b的内积，记作a?b, 即 a?b,,a||b|cos (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W,F?s. 由内积的定义可知 a?0,0, 0?a,0( 由内积的定义可以得到下面几个重要结果: 180(1) 当,0时，a?b,|a||b|;当,时，a?b ,?|a||b|. 思考 ab,(2) cos,. ||||ab 2(3) 当b,a时，有,0，所以a?a,|a||a|,|a|， 总结 即|a|,. aa, 带领 归纳 学生 (4) 当时，a,b，因此，a?b,,,,ab,90 分析 理解 因此对非零向量a，b，有 ab,,cos900, ,a?b,0ab. , 可以验证，向量的内积满足下面的运算律: (1) a?b,b?a( (2) ()?b,(a?b),a?(b)( ,a,, (3) (a，b)?c,a?c，b?c( 注意:一般地，向量的内积不满足结合律，即 仔细 分析 反复a?(b?c)?(a?b)?c. 讲解 强调 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 关键 请结合实例进行验证. 记忆 词语 30 *巩固知识 典型例题 例1 已知|a|,3,|b|,2, ,,求a?b( 60: 说明 思考 注意 强调 观察 解 a?b,|a||b| cos ,3×2×cos,3( 60: 学生 例2 已知|a|,|b|,,a?b,,求( 2,2 是否 主动 引领 理解 ,22ab,求解 解 cos,,,?. 知识 ||||ab2 2,2点 40 由于 0??， 180: 所以 ,( 135 及时 *运用知识 强化练习 了解 1. 已知|a|,7，|b|,4，a和b的夹角为，求a?b( 60: 提问 思考 学生 巡视 口答 2. 已知a?a,9,求|a|( 知识 指导 掌握 3. 已知|a|,2,|b|,3, ,，求(2a，b)?b( 30: 得情 况 45 *动脑思考 探索新知 设平面向量a,(x,y),b,(x,y)，i，j分别为x轴，y轴上 1122 的单位向量，由于i?j，故i?j ,0，又| i |,|j|,1，所以 a?b,(x i，yj)? (x i，yj) 1122 , x x i •i， x y i •j， x y i •j ， y y j •j 12122112 22 , x x |j|， y y |j| 1212 , x x， y y( 1212 总结 思考 归纳 归纳 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和， 即 a?b, x x， y y (7.11) 1212 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 带领 利用公式(7(11)可以计算向量的模(设a,(x,y)，则 学生 22 ，即 aaa,,xy，总结 22 (7.12) a,xy， 仔细 理解 由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时， 分析 记忆 讲解 xxyy ，ab,1212 cos,,. (7.13) 关键 2222||||abxyxy，， 1122 词语 60 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于aba?b,0，由公式(7.11)可知 ,, a?b,0 x x， y y,0( ,1212 因此 ab x x， y y,0( (7.14) ,,1212 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂 直的问题( *巩固知识 典型例题 说明 观察 例3 求下列向量的内积: 强调 讲解 (1) a, (2,?3), b,(1,3); 说明 (2) a, (2, ?1), b,(1,2); 思考 引领 (3) a, (4,2), b,(?2, ?3)( 解 (1) a?b,2×1，(?3)×3,?7; 主动 讲解 (2) a?b,2×1，(?1)×2,0; 求解 说明 (3) a?b,2×(?2)，2×(?3),?14( 注意 例4 已知a,(?1,2),b,(?3,1).求a?b, |a|,|b|, ( 观察 解 a?b,(?1)( ?3)，2×1,5; 学生 观察 22引领 是否 |a|,; aa,,,，,(1)25 分析 理解 22 知识 |b|,; bb,,,，,(3)110思考 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 求解 点 ab,52 cos,,， ,||||ab2105 强调 所以 ,( 45 含义 例5 判断下列各组向量是否互相垂直: 领会 反复 (1) a,(?2, 3), b,(6, 4); 强调 (2) a,(0, ?1), b,(1, ?2)( 解 (1) 因为a?b,(?2)×6，3×4,0，所以ab( , 思考 说明 求解 (2) 因为a?b,0×1，(?1)×(?2),2，所以a与b不垂 直( 70 *运用知识 强化练习 1( 已知a,(5, ?4)，b,(2,3)，求a?b( 启发 思考 及时 引导 了解 了解 2( 已知a,(1,)，b,(0, )，求( 33 学生 3( 已知a,(2, ?3)，b,(3,,4)，c,(?1,3),求a?(b，c)( 知识 提问 动手 掌握 4. 判断下列各组向量是否互相垂直: 巡视 求解 得情 (1) a,(?2, ?3)，b,(3, ?2); (2) a,(2,0)，b,(0, ?3); 指导 况 80 (3) a,(?2,1)，b,(3,4)( 5. 求下列向量的模: (1) a,(2, ?3)， (2) b,(8, 6 )( *理论升华 整体建构 及时思考并回答下面的问题: 质疑 回答 了解平面向量内积的概念、几何意义? 学生 知识结论: 掌握 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与 归纳情况 强调 向量b的内积，记作a?b, 即 a?b,,a||b|cos (7.10) a?b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投 第7章 平面向量(教案) 教 学 教师 学生 教学 时 过 程 行为 行为 意图 间 83 影的乘积( *归纳小结 强化思想 引导 回忆 本次课学了哪些内容,重点和难点各是什么, *自我反思 目标检测 提问 反思 检验 本次课采用了怎样的学习方法,你是如何进行学习的, 学生 你的学习效果如何, 巡视 动手 学习 指导 求解 效果 1.已知a,(5, ? 4),b,(2,3),求a?b( 88 2.已知a,(2, ?3),b,(3, ?4),c,(?1,3),求a?(b，c)( *继续探索 活动探究 说明 记录 分层(1)读书部分:阅读教材 次要(2)书面作业:教材习题7.3 A组(必做);7.3 B组(选 求 做) (3)实践调查:编写一道向量内积问题并解答( 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动; 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信; 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作; 第7章 平面向量(教案) 在交流中，是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面; 第7章 平面向量(教案)