关于（QU）型模糊拓扑群的注记

关于（QU）型模糊拓扑群的注记 关于(QU)型模糊拓扑群的注记 第2l卷第2期 2O05年4月 哈尔滨商业大学(自然科学 版)JournalofHarbinUniversityofCommerce(NaturalSciencesEdition)vo1.21No.2 Apr.2OO5 关于(QU)型模糊拓扑群的注记 尚琥 (哈尔滨学院数学与计算机学院,黑龙江哈尔滨150080) 摘要:引入群上复合模糊伪范数概念,并研究借助于群上的模糊复合伪范数来刻画 (Qu)型模糊拓 扑群的充分必要条件;从而获得每个(Qu)型模糊拓扑群均可借助于群上的一个模 糊复合伪范数来刻 画的新特征. 关键词:(QU)型模糊拓扑群;群上的模糊伪范数;群上的模糊复合伪范数 中图分类号:0l59文献标识码:A文章编号:1672一o946(20o5)02—0227—03 Studyonnoteaboutoffuzzytopologicalgroupsoftope(QU) SHANGHu (SchoolofMathematicsandComputer,HarbinInstitute,Harbin150080,China) Abstract:Inthispaper,thecompositefuzzypseudonormofagroupisdefined,Itobtainedthe necessaryandsufficientconditionthatiisecompositefuzzypseudonormofagrouptodescribe fuzzytopologicalgroupoftope(Qu).Obtainedanewcharacterthateachfuzzytopologicalgroup oftope(QU)isdescriedintermsofacompositefuzzypseudonormofagroup. Keywords:fuzzytopolo~calgroupoftope(QU);fuzzypseudonormofagroup;compositefuzzy pseudonormofagroup 1预备知识 本文继续沿用文献[1,4]的一些名词和记号. 设为非空普通集;F()为上的全体模糊集; 为上取常值的模糊集;为上的全体模糊 点,并将普通点视为模糊点.. ,)为模糊拓扑群,定义1设(称(,)为 (Qu)型模糊拓扑群,若存在模糊集族n={},使 对任何?(0,1],={nr:r?(1一,1]}均 为e的重域基.并称n为基坯…. 定理1若(,)为(QU)型模糊拓扑群,则存 在一个基坯n满足下列条件 1)若?,则(e)=1; 2)若,?n,则有?n使得WcUn; 3)若?,贝『J有VEa"2使得c; 收稿日期:2OO5—01—09. 基金项目:黑龙江省教育厅科学技术项目(编号10543064), 作者简介:尚琥(1947一),男,副教授,研究方向:模糊拓扑代数 z 4)若U?n,则对任何X?X,均有?n使 C; 5)若?n,则有0?{0:V0,了? ,r?(1一v,1]s.t.xVnrcO}使得e.?Oc . 反之,若群由模糊集族n={}满足上述条 件1),5),则上存在唯一的模糊拓扑使得: ?(,)为(Qu)型模糊拓扑群;?n:{}为(, )的基坯. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 从略. 定义2设X为非空集,若映射|0:×一 [0,+o.);满足: (聊1) (2) 对任何,即?有lD(,)?0; p(x.,)=lD(,.); 哈尔滨商业大学(自然科学版)第2l卷 (FM3)若0<?口?1,则ID(,)=ID (即,),10(,)?10(即,); (FM4)10(,)?10(,)+10(,) (FM5)若于10(%,即),对任何,>0,均存在 正数<min(口,卢)使得10(一,即一)<10(%,即) +e.则称10为上的模糊伪度量,并且称(,10) 为模糊伪度量空间. 定义3称映射?:一[0,+..)为群上的 如果它满足]: (左)模糊伪范数, 1)N(e)=0口E(0,1]; 2)?()?N()+?(); 3)N()?N()其中0<卢?口?1; 4)于N(),对V,>0,了0<(,,)<口 使得N(一)<N()+F-. 命题1设?为群上的模糊伪范数,则? 有以下性质b]: 1)N(%)>t0且N(%):N(); 2)N()?N()+?(); 命题2设(i=1,2,…m)为群上的模糊 伪范数,对任何%E规定 (?+^)()=N()+?2(%), ^():N(似0一)0E; 则?+?,也是上的模糊伪范数. 引理1设p为群上的一个左不变的模糊 伪度量,令?(%)=10(,%);则?是群上的一 个模糊伪范数. 引理2设{(,pj):z?-,}为一族模糊伪度量 空间;E,,>0,对每个z?-,记c(z,,),,,) = {a:p2(,)<,}定义模糊集(z,,,)如下: rsup{(1一口):口?C(Z,,),,,)} (z,,,)(),)={c(z,,),,,)?,【 0c(z,,),,,):. 规定(pj:z?-,):{GEF():V%E,G,j有限 集-,cJ,,>0,rE(1一口,1]使得nf?,(z,, ,)nrcG},则(,T(p2:z?-,))为模糊拓扑空 间,且模糊集族 O(x)={nf?J,(z,,,}:有限集-,cJ,,>0} 具有以下性质: 1)()cT(pj:Z?J); 2)对任何aE(0,1],模糊集族(%)为%的 重域基. 其中O(X)={nf?J,(z,,,)nr:nf?,U(z, ,,)?(),r?(1一口,1]}. 2借助群上的复合模糊伪范数对 (Qu)型模糊拓扑群进行刻画 定义4称={?}为群上的一个复合模 糊伪范数,如果={?}为群上的一族模糊伪 范数并且它满足 1)若?1,?2?,则?1+?2?; 2)若WE,0E,则有?; 3)若WE,则有GE{G:V,EG,了?E ,r?(1一v,1]s.t.nrcG}使e1EGc ; 其中对VE,当{口:?(%)<1}?时,() =sup{1一口:N()<1};否贝0,()=0. 定理2对群上每个复合模糊伪范数= {?},均存唯一的模糊拓扑()使(,())成 为(QU)型模糊拓扑群;并以={:??}为基 坯. 证明不难验证={:??}满足定理1 的条件1),5),从而根据定理1知,群上存在唯 一 的模糊拓扑()使(,())成为(QU)型模 糊拓扑群,并以户={:WE}为基坯. 定理3对每个(QU)型模糊拓扑(,)群均 存在群上的复合模糊伪范数使得T()=T (这里()之含义与定理2中()之含义相 同). 证明首先定义群上的一族模糊伪范数, 设=()为(Qu)型模糊拓扑群(,)中e的对 称开邻域基.对VVE,根据文献[2]中的引理1 矢唷台={:iEN}满足:(a)=Vi;(b)+ +1+1c;(c)+1cc. 定义gv:一[,1X01],当不重于定义:—l,J,当不重于 时,令gv(.,)=1;否则令 g(%,即)=inf{2:E}. 定义10:×一[0,+..),10(,)= inf{?g(t'卜",t'i'), I:0,1,…lc' 其中t'?=%,t'=其余各模糊点的高度均为 nlin(口,),n=1,2,…. 据文献[2]中的定理2,定理3的充分性证明 知:对V?j}',10为群上左不变的模糊伪度 量,并且使得T=(10:VE); 第2期尚琥:关于(Qu)型模糊拓扑群的注记 据引理2和文献[2]中的定理1,并注意到= T(P:VE);故对任何?有 1)()cT(P:VE); 2)对任何aE(0,1],模糊集族()为托的 重域基. 其中:()={nr:n?(V,,,),rE(1一 a,1],,>0,为户的任意有限子集};为‰关于 模糊拓扑的重域基. 对vE,令?()=P(e.,),则据引理1 知,,,为群上的模糊伪范数,从而{N:VE}为 群上的一族模糊伪范数.对任何VE,e>0,规 定:当{口:N()<,}?时,U(N,,)()= sup{1一口:N()<,},否贝1(N,,)()=0. 其次,定义群上的一个复合模糊伪范数,令 ={?.:口.EX,E{N:VE},i=1,2, … ,m,m=1,2,…},其中()=(aix,.a7). 则据引理1知为群上的一族模糊伪范数,且 应用归纳法可以证明力为群上的一个复合模糊 伪范数.以下验证力满足定义4中的1),3): 1)显然成立;2)若?.?力,则对任何有b ?有(?.)=?im:.E力; 先给出引理如下: 引理对于n?(,e,,)?(e),存在,' ?力使得cn(V,e,,). 3)若?:?.(N)0E力,则有G:n. CtiU(Nlln)0'?使得elEGc. 事实上,若G,则G为关于的重域,注意 到()为关于的重域基,故有n(, ,,)nr?()使得n?U(V,,,)nrc G,从而有 n?_一(V,e,,)nr=n?,U(V,,,)nrc G. 据上述引理,有?力使得cn?'一(,e, ,);从而有rE(1一v,1]使得nrcG;进而 有GE{G:vG,E力,rE(1一v,1]s.t. nrcG}使e.EGc 于是据定义4知力为群上的一个复合模糊 伪范数,从而据定理2知由力={,}确定的唯一模 糊拓扑T(g2)使(,())成为(Qu)型模糊拓扑 群;并以{:NE力}为基坯.并且不难验证T= (力). 即得到"每个(QU)型模糊拓扑群均可借助于 群上一个模糊复合伪范数刻画"的特征. 参考文献: [1]吴从忻,尚琥.(Qu)型Fuzzy拓扑群[J].科学探索, 1987,(1):121—123. [2]方锦暄,尚琥.Fuzzy拓扑群的Fuzzy度量化[J].南京师范 大学,1987,l:l—l3. [3]尚琥,吴从忻,关于Fuzzy拓扑群赋Fuzzy复范问题[J].模 糊系统与数学,1988,2(2):36—45. [4]尚琥.模糊拓扑环的模糊一致,I'JL[j].哈尔滨商业大学: 自然科学版,2OO4,20(5):573—575. (上接226页) [5]LUOF,KHANL,BASTANIF,eta/.ADynamicalGrowingSelf— OrganizingTree(DGSOT)forHierarchicalClusteringGeneExp,~一 sionProfdes[J].Bioinformatics,2O04,20(16):2605一l7. [6]KOHONENT.Self—OrganizingMaps,SecondEdition[M].New York:Springer,1997. [7]SMDwebsite[EB/OL].genome—www5.stanford.edu.