反比例函数一对一辅导资料
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新航标教育学生辅导讲义
反比例函数
教师: 学生: 时间:
k一般地～形如y, (k为常数～k不等于零)的函数称为反比例函数～其中x是自变量～x
ky,y是函数或叫因变量～也可以写成:,. x
要点诠释:
kky,1、y=中分母x的指数为1～如～就不是反比例函数, 2xx
k2、y= ()可以写成()的形式～自变量x的指数是-1～在解决有关自x
变量指数问题时应特别注意系数这一条件,
k3、y= ()也可以写成的形式～用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的x
k～从而得到反比例函数的解析式。两个变量的积均是一个常数,或定值,～这也是识别两
个量是否成反比例函数关系的关键。
典例分析
1(下列哪个等式中的y是x的反比例函数,
k3y,1y,xy,6yx,,31, ,, ,, ,, ,, ,, , yx,2,1y,2xxx
1x31,1y,,1, ,, , , ,, , , , yx,2y,y,y,4x2xx,1
yx2.下列函数中～是的反比例函数的是 ( )
111y,y,,xy,,12y,A. B. C. D. ，，2x7xx,2
2n,2ynx,,1n3.若函数是反比例函数～则的值是 ( ) ，，
A. 〒1 B. -1 C. 1 D. 2
221kk,,k4.已知函数是反比例函数,你知道的值是多少吗, ykx,,()1
2m,1ymx,,1m5.已知函数.请你探求当取何值时: ，，
1 新航标教育认为:每个学生都有其独特的优点:你的优点是什么,赶快发挥出来吧:
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(1)该函数是正比例函数? (2)该函数是反比例函数?
6.已知y是x的反比例函数，当x=3时,y=4求:当x=1时，y的值.
7、y是x-2 的反比例函数,当x=3时,y=4.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)当x=-2时,求y的值.
练习
1、下列关系式中的y是x的反比例函数吗,如果是，比例系数k是多少,
4111x(1)(yyyxxyyyy,,,,,,,,,2)(3)(114)(5) (6)(7)2xxxx221,
28m,2、若函数是反比例函数，则m的取值是 ymx,，(3)
a,43、已知函数是反比例函数，则= yax,，(3)a
4.已知y与x-1成反比例，并且x,-2时y,7，求: 1)求y和x之间的函数关系式; (2)当x=8时，求y的值; (
(3)y,-2时，x的值。
5(已知函数y,y，y，y与x成正比例，y与x成反比例，且当x,1时，y,4;当x,21212
时，y,5
(1) 求y与x的函数关系式
(2) 当x,,2时，求函数y的值
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1.知识点概括
k 反比例函数 y,(k,0)x
k的符号 k >0 k<0
图象
(双曲线)
x、y x的取值范围x?0 x的取值范围x ?0 取值范围 y的取值范围y?0 y的取值范围y ?0 位置 第一,三象限内 第二,四象限内 增减性 每一象限内,y随x的增大而减小 每一象限内,y随x的增大而增大 渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点. 对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.
2m2m1，,1、点,3～4,在反比例函数的图像上～则此函数还过点, , y,x
A(,2～6, B(,2～-6, C(,4～-3, D(,3～-4,
m2、已知反比例函数的图象经过点和～则的值为 ( (2)m，(23),，
要点诠释:
,1,反比例函数的图象是一条双曲线～它有两个分支～这两个分支分别位于第一、三
象限或第二、四象限,
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k ,2,若点(a,b)在反比例函数y= 的图象上～则点(,a,,b)也在此图象上～故反比x
例函数的图象关于原点对称,
,3,在反比例函数中由于x?0～k?0～所以y?0～函数图象永远不会与x轴、y轴相
交～只是无限靠近两坐标轴(
典例分析:
12,m1、如果反比例函数,m为常数,的图象在第二、四象限内～那么m的取值范围是y,x
, ,
111m,0 A( B( C( D(? mm,m,222
kbk,02、已知一次函数y = kx + b,,的图象经过第一、二、四象限～则函数的图y,x
象有, ,
A(第一、三象限 B(第二、四象限 C(第三、四象限 D(第一、二象限
练习
201、函数的图象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而_________. y,x
302、函数的图象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而_________. y,,x
,3、函数，当x>0时,图象在第________象限，y随x 的增大而_________. y,x
3,ky,4、已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围 x
(1)函数图象位于第一、三象限。 ________(2)在第二象限内，y随x的增大而增大。
________
典例分析:
1,k1. 函数的图象过点P,1～2,～则该函数图象在其所在的每个象限内～y随x的增y,x
加而 (
12,k2(反比例函数～当x,0时～y随x 而增大。 ykx,
2m,23(反比例函数～当x,0时～y随x的增大而增大～则m的值是 ( ymx,,(21)
1y,,4.已知反比例函数的图象上有两点A(x～y)和B(x～y)～且x
y B.y=y C.yy>y D.yy>y B.y>y>y C.y>y>y D.y>y>y123 213 312 321
k8. 反比例函数,k,0,的图象上的三个点,x～-1,,x～2,,x～3,～则下列成立y,123x
的是, ,
A(x,x,x B(x,x,x C(x,x,x D(x,x,x 123213132321
2,,a19(已知函数,a为常数,的图象上有三点,-4～y,,-1～y,,2～y,则函数y,123x
值y～y～y的大小关系是, , 123
A(y,y,y B(y,y,y C(y,y,y D(y,y,y231321123312
10010、若点(,2，y)、(,1，y)、(2，y)在反比例函数y,,的图象上，则( ) 123xA、y>y>y B、y>y>y C、y>y>y D、y>y>y 123213312321
2y,x11. 已知反比例函数～下列结论中～不正确的是, ,
y(12)，xA(图象必经过点 B(随的增大而减少
y,2x,1C(图象在第一、三象限内 D(若～则
,,k3kk,012.在函数(为常数～且)的图象的一支在第四象限. y,x
(1)图象的另一支在第几象限? 你能求出符合题意的k的取值范围吗?
11,,,,(2)图象上有三点(-1,y)、、,你会比较y、y、y的大小吗? ,y,,y112323,,,,24,,,,
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一次例函数 反比例函数
解析式 图像
k,0，b,0 象限
k,0，b,0 象限
k,0， 象限 位置 k,0， 象限
k,0，b,0 象限
k,0，b,0 象限
k,0，y随x的增大而 k,0，在每个象限y随x的增大而 增减性 k,0，y随x的增大而 k,0，在每个象限y随x的增大而
典例分析:
51、反比例函数y= - 的图象大致是( ) x
y y y y
o o o DA: Cx x x B: x o : :
kby,2.已知直线y,kx，b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象在第 象限限( x
ky,3.正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为( ) y,kxxy y y y
o o o o x x x x
A B C D
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k4. 当k,0时，反比例函数和一次函数y,kx，2的图象大致是( )( y,x
(A) (B) (C) (D)
m5(在同一坐标系中，y,(m,1)x与的图象的大致位置不可能的是( )( y,,x
(A) (B) (C) (D)
k6、函数y=kx-k 与 y= 在同一条直角坐标系中的 图象可能是 x
(A) (B) (C) (D)
,ay,7(函数y,,ax，a与(a?0)在同一坐标系中的图象可能是( ) x
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要点诠释:
如图所示～过双曲线上任一点作轴、轴垂线段PM、PN～所得矩形PMON的
面积。
ky, ? ～ x
? 。
kyk,,0 ? ～即反比例函数中的比例系数k的绝对值表示过双曲线上任，，x
意一点～作x轴～y轴的垂线所得的矩形的面积。
kS, 如图所示～过双曲线上一点Q向x轴或y轴引垂线～则所得的三角形的面积～ AOQ2
kyk,,0即反比例函数中的比例系数k的绝对值的一半表示过双曲线上任意一点～作x，，x
轴,或y轴,的垂线～并连接原点～所得的直角三角形的面积。
典例分析:
kk,0y,1.如图～点A、B是函数()图象上的两点～分别过点A、x
B作x轴的垂线～垂足分别是C、D～已知点O是坐标原点～则?AOC、?BOD的面积S、S的大小关系是( ) 12
A.S>S B.S=S C.S
考试题
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中经常出现(不少同学对解答这类题感到困难(以上两例介绍一种简便易行的方法——列表分析法～即通过对所供选择的图象中代表的函数系数的符号列表分析～排除某些结论～进而得到正确答案(
k3.已知反比例函数与一次函数y = 2x + k的图象的一个交点的纵坐标是～则k的y,,4x
值为 (
kyx,,24.如图～反比例函数与直线相交于A、B两点～A点的横坐标为-1～则两函数y,x
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图象另一个交点B的坐标为, ,
m,35.已知一次函数y,3x+m与反比例函数y,的图像有两个交点. x
(1)当m为何值时～有一个交点的纵坐标为6?
(2)在(1)条件下～求两个交点的坐标.
点拨:(1)两个函数图像如果有交点～那么它们的交点坐标就是两个函数解析式联立方程组的解.(2)要求函数图像的交点坐标～解方程组即可.
k，5
x6. 已知一次函数y=2x-k的图象与反比例函数y=的图象相交～其中有一个交点的纵坐标为-4～求这两个函数的解析式(
my,7如图一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点( ykxb,，ABn(21)(1),，，，x
(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;
?AOB(2)求的面积( y
A O
x
B
本节练习
一、选择题(每小题6分，共36分)
m,21. 已知 是反比例函数，则函数的图象在 ( ) ymx,，(1)
A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、四象限 D、三、四象限
ky,2.若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点( ) (12),，x
11,,,,,、 ,、 ,、 ,、 (21),,，(21)，,，2,，2,,,,22,,,,
n，5n3.反比例函数的图象经过点(2，3)，则的值是( ) y,x
A、,2 B、,1 C、0 D、1
k,1kyx4.反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可为( ) y,x
,1A、 B、0 C、1 D、2
1y,PPyy5.如果两点(1，)和(2，)都在反比例函数的图象上，那么( ) 1212x
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A(,,0B(,,0C(,,0 D(,,0 yyyyyyyy 12212211
k6.函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是( ) yk,,(0)ykxk,,xyyyyy
oxoxox xoxO
A B C D
二、填空题(每小题6分，共24分)
kk,0x,07.如果反比例函数y,()的图象经过点(1，,2)，则这个函数的表达式是_________.当x
时，随的增大而 ______ (填“增大”或“减小) yx
ky,8.如图7，双曲线与直线相交于A、B两点，B点坐标为 y,mxx
(,2，,3)，则A点坐标为_________(
k9. 如图8，点A在反比例函数的图象上，AB垂直于x轴，若，那么这个反S,4y,,AOBx
比例函数的解析式为__________.
图8
10.老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质: 甲:第一、三象限有它的图象; 乙:在每个象限内，y随x的增大而减小( 请你写一个满足上述性质的函数______________________ 三、解答题每小题，共40分
my,11. (20分)如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于A(,2，1)、y,kx，bxB(1，n)两点((1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围(
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m12. (20分)如图，已知反比例函数的图象经过点，一次函数ym,,(0)A(21),，1x
的图象经过点与点，且与反比例函数的图象相交于另一点Aykxbk,，,(0)C(03)，2
((1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式;(2)求点的坐标( BB
点拨:这是关于一次函数和反比例函数的综合题～解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾～它既在一次函数图象上～又在反比例函数图象上～从而转化为解二元一次方程组～问题得以解决(
mBn1,1.如图～一次函数A,2,1的图象与反比例函数的图象交于、两ykxb,，y,，，，，x
点.(1)求两个函数的解析式,(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.
my,2. 如图14～已知～是一次函数的图象和反比例函数An(4),，B(24)，,ykxb,，x的图象的两个交点(
(1)求反比例函数和一次函数的解析式
CAOBAB(2)求直线与x轴的交点的坐标及?的面积,
m(3)求方程的解,请直接写出答案,, kx，b,,0x
m(4)求不等式的解集,请直接写出答案,. kx，b,,0x
k1ykx,3.函数与,k～k为非零常数,的图象的如图所示～由图象可知:关于x的不y,122x
13 新航标教育认为:每个学生都有其独特的优点:你的优点是什么,赶快发挥出来吧:
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例 5如图，已知反比例函数 的图象与一次函数
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标 k1等式的解集是, , ,kx2是6。 x12(1)求这个一次函数的解析式 x,2 A(,,,22x B(
(2)求三角形POQ的面积 x,2x,2x,2,,,20xC(或 D(或
y
3m4.已知反比例函数和一次函数的图象都经过点. Pmm,3,ykx,,1y,,，，x
(1)求点P的坐标和两个函数的解析式, x
22(2)若点、是反比例函数图象上的点～请比较y与y. Aay,,1,Bay,,3,12，，，，21
kk,05. 已知一次函数的图象与反比例函数 ()的图象交于第四象限的一yx,,25y,x
点Paa,3,.(1)求这个反比例函数的解析式.(2)当-6
证明
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:不论b取任何不为零的实数～AC•BC为定值,
y2y,,3,延长CO交函数的图象于M点～试判断?CDM的形状. x
C
O AEx MB D
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31、某市的一处道路因受强降雨而造成1200cm的塌方～某部队受命来重新修建好(
2 ,1,重新修好所需的时间t,天,与每天完成的土石方V,m,有怎样的关系,
3 ,2,部队共有官兵60人～每天最多完成土石方300 m～预计部队最快可在几日内完成,
,3,部队连续工作了两天后～天气预报说未来的几天还可能会有强降雨～市里要求次日
完成余下的任务～需要增加多少人才能按时完成,
2、制作一种产品～需先将材料加热达到60?后～再进行操作～设该材料温度为y,?,～从
加热开始计算的时间为,分钟,～据了解～该材料加热时～温度与时间成一次函数xyx
关系,停止加热进行操作时～y与时间x成反比例关系,如图,～已知该材料操作加工前
温度为15?～加热5分钟后温度达到60?(
,1,分别求出将材料加热和停止加热进行操作时～与的函数关系式( yx
,2,根据工艺要求～当材料的温度低于15?时～须停止操作～那么开始加热到停止操作～
共经历了多长时间,
3、为了预防流感～某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。
已知药物释放过程中～室内每立方米空气中含药量y,毫克,与时
ay,间t,小时,成正比,药物释放完毕后～y与t的函数关系为t
a,为常数,。如图所示～据图中提供的信息～解答下列问题:
,1,写出从药物释放开始～y与t之间的两个函数关系式及相
应的自变量取值范围,
,2,据测定～当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时～学生方可进入教室～
那么从药物释放开始～至少需要经过多少小时后～学生才能进入教室,
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