初中
数学
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分类讨论思想在解
题
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中的应用
初中数学分类讨论思想在解题中的应用 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。也是初中数学中的重要思想。
一、正确的分类应当遵循的原则
1.分类应按同一
标准
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进行;
2.分类应当不重复，不遗漏。
例如，把三角形分为斜三角形和等边三角形两大类，不符合原则，其一，等边三角形是斜三角形;其二，这种分类不包括直角三角形，分类标准不统一，故分类错误。
二、正确地分类后，对各个情况逐一进行研究，得出不同情况下的结论，这就是讨论
下面就典型例题对分类讨论思想的应用做一说明，不妥之处，望读者指正。
(一)分类讨论在代数方面的运用
1.数学概念、定义有关的分类讨论
例1:若x=3,?=5,则x+y=___
分析:二次根式?可以化简，转化为y，与绝对值有关的问题，一般要去掉绝对值符号，这就要根据绝对值的概念进行分类讨论研究。
解法一:?,b，x=?,，y=?5
当x,,，y=,时,x+y=8;
当x,,，y=-,时,x+y=,;
当x,-,，y=,时,x+y=,;
当x,-,，y=-,时,x+y=8;
综上所述:x+y,,或8。
上述分类使读者很清晰地看到不重复、不遗漏的分类应用，结论出现两种。
解法二:?,y
当x、y异号时，x+y,x,y,5-3,,
当x、y同号时，x+y,x+y,5+3,8
故应填8或2。
解法二中分类标准与解法一不同，直接讨论x与y同号、异号更简单。
2.待定参数的变化的分类讨论
例2:关于x的方程(m-4)x2,(,m-,)x，m=0，当m为何值时，方程有实数根,
分析:方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次项的系数要分类讨论。
解:(,)当m-4=0时，即m=4时，原方程化为,,x+4,,，此时方程为一元一次方程，有且只有一个这数根x=?;
(,)当m,,?,，即m?,时，原方程为一元二次方程。
当?=-(2m-1)?-4(m-4)?m?0时，即m?-?且m?时，方程有两个实数根，综合(,)(,)，当m?-?时，原方程有实数根。
说明:方程中最高次项的系数是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性，不能看到x2项就简单地认为是一元二次方程。
3.数学运算法则或定理、
公式
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的适用范围的分类讨论
例3:化简:?-?
错解:原式,?,?
,?,?,(?，?)
,,2?
分析:错解的结果是正确的，但解法是欠妥的，造成误解的原因是习惯性地把未知量x，y看作不相等，即忽视了x,y的情况，这种错误易出现，但又难发现，因此必须高度重视。正确的解法是分类讨论:
(,)当x?y时，解法同上，原式,,2?;
(,)当x=y时，原式,,,(?，?),,,?
?原式=,2?
说明:本例也可以应用因式分解法避免讨论。
解法二:原式=?,?
,?,?,(?，?)
,,,?
(二)分类讨论在几何知识方面的应用
1.几何基本概念有关的分类讨论
例4:平面上a、b两点到直线a的距离分别是2,?和2+?，则线段ab的中点c到直线a的距离是_________________。
分析:点a，点b与直线a的位置关系有两种情况:a、b两点在直线a的同侧或异侧。
解:如图1所示，当a、b两点在直线a的同侧时，
?
图1
设am?a于m，bn?a于n，cp?a于p，且am=2,?，,,,2，?。
?c是ab中点，am?cp?bn。
?cp是梯形amnb的中位线。
?;,?(,,，,,),?(2,?，2，?),,。
2.分类讨论在三角形问题中的应用
例5:己知，在,t?abc中，?c=90?，,,,,,，cot,,?点，ad,6，点e是过点d的直线与?abc的另一边的交点，过点d能否作一条直线截原三角形所得的小三角形与原三角形相似,若能，求出de的长，若不能，请说明理由。
解:cot,,?，?c=90?，?cota=?=?,
设ac,,x，,;,,x，则a,,,x，又?a,,,,，?x,,，
? ac,6，bc,8，?ad,6，?bd,4。
分三种情况讨论，如图2所示，
?
图2
(1)过d作de1?ac交bc于e1，
??abc??dbe1
?,?，即,,,,?,?,?
(2)过d作de2?bc交ac于e2，
??ade2??abc，
?,?，即,,,,?,?,?
(3)过d作de3?ab于d，交bc于e3，
??e3bd??abc
?,?，即,,,,?,?,,
综上所述，,,的长为?,?或,。
总之，分类讨论是新课程改革对学生考察的重要思想，教学中应
注重对学生的培养，在此类问题上多下工夫，提升质量。
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