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理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案

理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案

ruanbingdu
2008-02-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案doc》,可适用于高等教育领域

理论力学思考题习题参考答案周衍柏第二版朊病毒整理仅供参考多思考勤练习目录第一章质点力学第一章思考题第一章思考题解答第一章习题第一章习题解答第二章质点组力学第二章思考题第二章思考题解答第二章习题第二章习题解答第三章刚体力学第三章思考题第三章思考题解答第三章习题第三章习题解答第四章转动参考系第四章思考题第四章思考题解答第四章习题第四章习题解答第五章分析力学第五章思考题第五章思考题解答第五章习题第五章习题解答第一章质点力学第一章思考题平均速度与瞬时速度有何不同?在上面情况下它们一致?在极坐标系中为什么而非?为什么而非?你能说出中的和中另一个出现的原因和它们的物理意义吗?在内禀方程中是怎样产生的?为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向?当质点沿空间运动时副法线方向的加速度等于零而作用力在副法线方向的分量一般不等于零这是不是违背了牛顿运动定律呢?在怎样的运动中只有而无?在怎样的运动中又只有而无?在怎样的运动中既有而无?与有无不同?与有无不同?试就直线运动与曲线运动分别加以讨论人以速度向篮球网前进则当其投篮时应用什么角度投出?跟静止时投篮有何不同?雨点以匀速度落下在一有加速度的火车中看它走什么路经?某人以一定的功率划船逆流而上当船经过一桥时船上的渔竿不慎落入河中两分钟后此人才发现立即返棹追赶追到渔竿之处是在桥的下游米的地方问河水的流速是多大?物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致?为什么?在那些条件下物体可以作直线运动?如果初速度的方向和力的方向一致则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动?试用一具体实例加以说明质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑达到任一点时的速度只和什么有关?为什么是这样?假如不是光滑的将如何?为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时约束力不作功?我们利用动能定理或能量积分能否求出约束力?如不能应当怎样去求?质点的质量是千克它运动时的速度是式中、、是沿、、轴上的单位矢量。求此质点的动量和动能的量值。在上题中当质点以上述速度运动到()点时它对原点及轴的动量矩各是多少?动量矩守恒是否就意味着动量也守恒?已知质点受有心力作用而运动时动量矩是守恒的问它的动量是否也守恒?如则在三维直角坐标系中仍有▽的关系存在吗?试验之。在平方反比引力问题中势能曲线应具有什么样的形状?我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为.比苏联及美国第一次发射的都要大。我们说交角越大技术要求越高这是为什么?又交角大的优点是什么?卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗?为什么?第一章思考题解答答:平均速度是运动质点在某一时间间隔内位矢大小和方向改变的平均快慢速度其方向沿位移的方向即沿对应的轨迹割线方向瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在的极限情况二者一致在匀速直线运动中二者也一致的。答:质点运动时径向速度和横向速度的大小、方向都改变而中的只反映了本身大小的改变中的只是本身大小的改变。事实上横向速度方向的改变会引起径向速度大小大改变就是反映这种改变的加速度分量经向速度的方向改变也引起的大小改变另一个即为反映这种改变的加速度分量故。这表示质点的径向与横向运动在相互影响它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况答:内禀方程中是由于速度方向的改变产生的在空间曲线中由于恒位于密切面内速度总是沿轨迹的切线方向而垂直于指向曲线凹陷一方故总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力还受到被动的约反作用力二者在副法线方向的分量成平衡力故符合牛顿运动率。有人会问:约束反作用力靠谁施加当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问:某时刻若大小不等就不为零了?当然是这样但此时刻质点受合力的方向与原来不同质点的位置也在改变副法线在空间中方位也不再是原来所在的方位又有了新的副法线在新的副法线上仍满足。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。答:质点在直线运动中只有质点的匀速曲线运动中只有质点作变速运动时即有。答:即反应位矢大小的改变又反映其方向的改变是质点运动某时刻的速度矢量而只表示大小的改变。如在极坐标系中而。在直线运动中规定了直线的正方向后。且的正负可表示的指向二者都可表示质点的运动速度在曲线运动中且也表示不了的指向二者完全不同。表示质点运动速度的大小方向的改变是加速度矢量而只是质点运动速度大小的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后二者都可表示质点运动的加速度在曲线运动中二者不同。答:不论人是静止投篮还是运动投篮球对地的方向总应指向篮筐其速度合成如题图所示故人以速度向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出(事实上要稍高一点使球的运动有一定弧度便于投篮)。答:火车中的人看雨点的运动是雨点的匀速下落运动及向右以加速度的匀速水平直线运动的合成运动如题图所示是固定于车的坐标系雨点相对车的加速度其相对运动方程消去的轨迹如题图有人会问:车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢?因加速度总是在曲线凹向的内侧垂直于方向的分量在改变着的方向该轨迹上凹。答:设人发觉干落水时船已上行上行时船的绝对速度则①船反向追赶竿的速度设从反船到追上竿共用时间则②又竿与水同速则③①③=②得答:不一定一致因为是改变物体运动速度的外因而不是产生速度的原因加速度的方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致只是在加速度直线运动二者的方向一致。答:当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致物体沿出速度的方向减速运动以后各时刻既可沿初速度方向运动也可沿力的方向运动如以一定初速度上抛的物体开始时及上升过程中初速度的方向运动到达最高点下落过程中沿力的方向运动。在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致物体初时刻速度沿初速度的反方向但以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动外力不断改变物体的运动方向各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一致重力的方向决定了轨道的形状开口下凹初速度的方向决定了射高和射程。答:质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关因重力是保守力而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功因此有此结论假如曲线不是光滑的质点还受到摩擦力的作用摩擦力是非保守力摩擦力的功不仅与初末位置有关还与路径有关故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关还与曲线形状有关。答:质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时约束力的方向总是垂直于质点的运动方向故约束力不做功动能定理或能量积分中不含约束力故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度从而得出有牛顿运动方程便可求出即为约束力答:动量动能答:故答:动量矩守恒意味着外力矩为零但并不意味着外力也为零故动量矩守恒并不意味着动量也守恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心力对力心的矩为零但这质点受的力并不为零故动量不守恒速度的大小和方向每时每刻都在改变。答:若,在球坐标系中有由于坐标系的选取只是数学手段的不同它不影响力场的物理性质故在三维直角坐标系中仍有的关系。在直角坐标系中故事实上据“”算符的性质上述证明完全可以简写为这表明有心力场是无旋场记保守立场答平方反比力场中系统的势能其势能曲线如题图图所示由。若其势能曲线对应于近日点和远日点之间的一段。近日点处即为进入轨道需要的初动能若则质点的运动无界对应于双曲线轨道的运动若位于有界和无界之间对应于抛物线轨道的运动这两种轨道的运动都没有近日点即对大的质点的运动是无界的当很大时还是选无限远为零势点的缘故从图中可知做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小由得即速度的大小就决定了轨道的形状图中对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的故有一极小值既相互作用的二质点不可能无限接近对于人造卫星的发射其为地球半径。为地面上发射时所需的初动能图示分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。答:地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用此力的方位线平行于赤道平面指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大运动中受的影响也越大对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大对地球的直接探测面积越大其科学使用价值越高。答:对库仑引力场有轨道是双曲线的一点与斥力情况相同卢瑟福公式也适用不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷方位内侧若轨道椭圆或抛物线卢瑟福公式不适用仿照课本上的推证方法在入射速度的情况下即可得卢瑟福公式。近代物理学的正负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。第一章习题沿水平方向前进的枪弹通过某一距离s的时间为t而通过下一等距离s的时间为试证明枪弹的减速度(假定是常数)为某船向东航行速率为每小时km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行在下午时分经过此灯塔。问在什么时候两船的距离最近?最近的距离是多少?曲柄以匀角速绕定点O转动。此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线运动。求连杆上点的轨道方程及速度。设。第题图细杆绕点以角速转动并推动小环C在固定的钢丝上滑动。图中的为已知常数试求小球的速度及加速度的量值。矿山升降机作加速度运动时其变加速度可用下式表示:式中及为常数试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为及式中及是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为试自出发计算及。并由此推出径向加速度及横向加速度。直线在一给定的椭圆平面内以匀角速绕其焦点转动。求此直线与椭圆的焦点的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为式中为椭圆的半长轴为偏心率都是常数。质点作平面运动其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。一质点沿着抛物线运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍。如此质点从正焦弦的一端以速度出发试求其达到正焦弦另一端时的速率。质点沿着半径为的圆周运动其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知出速度为。在上题中试证其速度可表为式中为速度矢量与轴间的夹角且当时。假定一飞机从处向东飞到处而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为而空气相对于地面的速度为。与之间的距离为。飞机相对于空气的速度保持不变。假定即空气相对于地面是静止的试证来回飞行的总时间为假定空气速度为向东(或向西)试证来回飞行的总时间为假定空气的速度为向北(或向南)试证来回飞行的总时间为一飞机在静止空气中每小时的速率为千米。如果飞机沿每边为千米的正方形飞行且风速为每小时千米方向与正方形的某两边平行则飞机绕此正方形飞行一周需时多少?当一轮船在雨中航行时它的雨篷遮着篷的垂直投影后米的甲板篷高米。但当轮船停航时甲板上干湿两部分的分界线却在篷前米。如果雨点的速度为米秒求轮船的速率。宽度为的河流其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处水流速度为零在河流中心处其值为。一小船以相对速度沿垂直于水流的方向行驶求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。小船被水冲走后由一荡桨人以不变的相对速度朝岸上点划回。假定河流速度沿河宽不变且小船可以看成一个质点求船的轨迹。一质点自倾角为的斜面上方点沿一光滑斜槽下降。如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短问斜槽与竖直线所成之角应为何值?将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比即。如上抛时的速度为试证此质点又落至投掷点时的速度为一枪弹以仰角、初速度自倾角为的斜面的下端发射。试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离(沿斜面量取)及此距离的最大值分别为。将一质点以初速抛出与水平线所成之角为。此质点所受到的空气阻力为其速度的倍为质点的质量为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为时所需的时间。如向互相垂直的匀强电磁场、中发射一电子并设电子的初速度与及垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为式中为电场强度为电子所带的电荷为任一瞬时电子运动的速度。在上题中如则电子的轨道为在竖直平面的抛物线如则电子的轨道为半径等于的圆。试证明之。质量为与的两质点为一不可伸长的轻绳所联结绳挂在一光滑的滑轮上。在的下端又用固有长度为、倔强系数为的弹性绳挂上另外一个质量为的质点。在开始时全体保持竖直原来的非弹性绳拉紧而有弹性的绳则处在固有的长度上。由此静止状态释放后求证这运动是简谐的并求出其振动周期及任何时刻两段绳中的张力及。滑轮上系一不可伸长的绳绳上悬一弹簧弹簧另一端挂一重为的物体。当滑轮以匀速转动时物体以匀速下降。如将滑轮突然停住试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受的作用时的静伸长为。一弹性绳上端固定下端悬有及两质点。设为绳的固有长度为加后的伸长为加后的伸长。今将任其脱离而下坠试证质点在任一瞬时离上端的距离为一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处此质点将离开圆柱面?假定圆柱体的半径为。重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长轴的端点开始运动时其初速度为零试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。一质量为的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为式中为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为在上题中如圆滚线不是光滑的且质点自圆滚线的尖端自由下滑达到圆滚线的最低点时停止运动则摩擦系数应满足下式试证明之。假定单摆在有阻力的媒质中振动并假定振幅很小故阻力与成正比且可写为式中是摆锤的质量为摆长为比例系数。试证当<时单摆的振动周期为光滑楔子以匀加速度沿水平面运动。质量为的质点沿楔子的光滑斜面滑下。求质点的相对加速度和质点对楔子的压力。光滑钢丝圆圈的半径为其平面为竖直的。圆圈上套一小环其中为。如钢丝圈以匀加速度沿竖直方向运动求小环的相对速度及圈对小环的反作用力。火车质量为其功率为常数。如果车所受的阻力为常数则时间与速度的关系为:如果和速度成正比则式中为初速度试证明之。质量为的物体为一锤所击。设锤所加的压力是均匀地增减的。当在冲击时间的一半时增至极大值以后又均匀减小至零。求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。检验下列的力是否是保守力。如是则求出其势能。根据汤川核力理论中子与质子之间的引力具有如下形式的势能:<试求中子与质子间的引力表达式并与平方反比定律相比较求质量为的粒子作半径为的圆运动的动量矩及能量。已知作用在质点上的力为式中系数都是常数。问这些应满足什么条件才有势能存在?如这些条件满足试计算其势能。一质点受一与距离次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动求其达到点所需的时间。试导出下面有心力量值的公式:式中为质点的质点为质点到力心的距离常数为力心到轨道切线的垂直距离。试利用上题的结果证明:如质点走一圆周同时力心位于此圆上则力与距离五次方成反比。如一质点走一对数螺线而其质点即力心则力与距离立方成反比。质点所受的有心力如果为式中及都是常数并且<则其轨道方程可写成试证明之。式中(为积分常数)。如及为质点在远日点及近日点处的速率试证明﹕=﹕质点在有心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离的函数而质点的速率则与距离成反比即。如果>求点的轨道方程。设当时。某彗星的轨道为抛物线其近日点距离为地球轨道(假定为圆形)半径的。则此彗星运行时在地球轨道内停留的时间为一年的倍试证明之。试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道(仍假定为圆形)内的最长时间为一年的倍或约为日。试根据§中所给出的我国第一颗人造地球卫星的数据求此卫星在近地点和远地点的速率及以及它绕地球运行的周期(参看页)。在行星绕太阳的椭圆运动中如令式中为周期为半长轴为偏心率为一个新的参量在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程:质量为的质点在有心斥力场中运动式中为质点到力心的距离为常数。当质点离很远时质点的速度为而其渐进性与的垂直距离则为(即瞄准距离)。试求质点与的最近距离。第一章习题解答由题可知示意图如题图:设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为则有:由以上两式得再由此式得证明完毕解由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题图设船经过小时向东经过灯塔,则向北行驶的船经过小时经过灯塔任意时刻船的坐标船坐标则船间距离的平方即对时间求导船相距最近即所以即午后分钟时两船相距最近最近距离km解如题图由题分析可知点的坐标为又由于在中有(正弦定理)所以联立以上各式运用由此可得得得化简整理可得此即为点的轨道方程()要求点的速度分别求导其中又因为对两边分别求导故有所以解如题图所示绕点以匀角速度转动在上滑动因此点有一个垂直杆的速度分量点速度又因为所以点加速度解由题可知变加速度表示为由加速度的微分形式我们可知代入得对等式两边同时积分可得:(为常数)代入初始条件:时故即又因为所以对等式两边同时积分可得:解由题可知质点的位矢速度①沿垂直于位矢速度又因为即即(取位矢方向垂直位矢方向)所以故即沿位矢方向加速度垂直位矢方向加速度对③求导对④求导把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得解由题可知①②对①求导③对③求导④对②求导⑤对⑤求导⑥对于加速度我们有如下关系见题图即⑦⑧对⑦⑧俩式分别作如下处理:⑦⑧即得⑨⑩⑨⑩得⑾把④⑥代入⑾得同理可得解以焦点为坐标原点运动如题图所示则点坐标对两式分别求导故如图所示的椭圆的极坐标表示法为对求导可得(利用)又因为即所以故有即(其中为椭圆的半短轴)证质点作平面运动设速度表达式为令为位矢与轴正向的夹角所以所以又因为速率保持为常数即为常数对等式两边求导所以即速度矢量与加速度矢量正交解由题可知运动轨迹如题图所示则质点切向加速度法向加速度而且有关系式①又因为②所以③④联立①②③④⑤又把两边对时间求导得又因为所以⑥把⑥代入⑤既可化为对等式两边积分所以解由题可知速度和加速度有关系如图所示两式相比得即对等式两边分别积分即此即质点的速度随时间而变化的规律证由题可知质点运动有关系式①②所以联立①②有又因为所以对等式两边分别积分利用初始条件时证()当即空气相对地面上静止的有式中质点相对静止参考系的绝对速度指向点运动参考系的速度指运动参考系相对静止参考系的速度可知飞机相对地面参考系速度:=即飞机在舰作匀速直线运动所以飞机来回飞行的总时间()假定空气速度向东则当飞机向东飞行时速度飞行时间当飞机向西飞行时速度飞行时间故来回飞行时间即同理可证当空气速度向西时来回飞行时间(c)假定空气速度向北由速度矢量关系如题图所以来回飞行的总时间同理可证空气速度向南时来回飞行总时间仍为解正方形如题图。由题可知设风速,,当飞机故飞机沿此边长正方形飞行一周所需总时间解船停止时干湿分界线在蓬前由题画出速度示意图如题图故又因为所以由图可知所以=解以一岸边为轴垂直岸的方向为轴建立如题图所示坐标系所以水流速度又因为河流中心处水流速度为所以。当时即①②得两边积分③联立②③得④同理当时即⑤由④知当时代入⑤得有所以船的轨迹船在对岸的了靠拢地点即时有解以为极点岸为极轴建立极坐标如题图船沿垂直于的方向的速度为船沿径向方向的速度为和沿径向的分量的合成即①②②①得对两积分:设为常数即代入初始条件时设有得解如题图质点沿下滑由受力分析我们可知质点下滑的加速度为设竖直线斜槽易知由正弦定理即①又因为质点沿光滑面下滑即质点做匀速直线运动所以②有①②欲使质点到达点时间最短由可知只需求出的极大值即可令把对求导极大值时故有由于是斜面的夹角即所以解质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段取向上为正各力示意图如题图上升时下降时题图则两个过程的运动方程为:上升①下降:②对上升阶段:即对两边积分所以③即质点到达的高度对下降阶段:即④由③=④可得解作子弹运动示意图如题图所示题图水平方向不受外力作匀速直线运动有①竖直方向作上抛运动有②由①得③代入化简可得因为子弹的运动轨迹与发射时仰角有关即是的函数所以要求的最大值把对求导求出极值点即所以代入的表达式中可得:此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离的最大值解阻力一直与速度方向相反即阻力与速度方向时刻在变化但都在轨道上没点切线所在的直线方向上故用自然坐标比用直角坐标好轨道的切线方向上有:①轨道的法线方向上有:②由于角是在减小的故③由于初末状态由速度与水平方向夹角来确定故我们要想法使①②变成关于的等式由①即④把代入可得⑤用④⑤可得即两边积分得⑥代入初始条件时即可得代入⑥式得⑦又因为所以⑧把⑦代入⑧积分后可得各量方向如题图电子受力则电子的运动微分方程为②③④由②即⑤代入③整理可得⑥对于齐次方程的通解非齐次方程的特解所以非齐次方程的通解代入初始条件:时得时得,故⑦同理把⑦代入⑤可以解出把⑦代入⑤代入初条件时得所以)证(a)在题中时则电子运动受力电子的运动微分方程①②③对②积分④对④再积分又故(为一常数)此即为抛物线方程当时则电子受力则电子的运动微分方程为①②③同题的解法联立①②解之得于是及电子轨道为半径的圆解以竖直向下为正方向建立如题图所示坐标题图题图以①开始所在位置为原点设①②③处物体所处坐标分别为则个物体运动微分方程为:①②③由②于③与、之间是即不可伸长轻绳连接所以有即④之间用倔强系数弹性绳联结故有⑤由①⑤得⑥由②③④得⑦代入①有⑧代入⑥有⑨此即为简谐振动的运动方程角频率所以周期解⑨得以初始时③为原点时所以⑩代入①得联立③④⑧⑩得解选向下为正方向滑轮刚停时物体所在平衡位置为坐标原点建立如题图所示坐标系题图原点的重力势能设为设弹簧最大伸长整个过程中只有重力做功机械能守恒:①②联立①②得弹簧的最大张力即为弹簧伸长最长时的弹力为最大张力即解以绳顶端为坐标原点建立如题图所示坐标系题图设绳的弹性系数为,则有①当脱离下坠前与系统平衡当脱离下坠前在拉力作用下上升之后作简运运动微分方程为②联立①②得③齐次方程通解非齐次方程③的特解所以③的通解代入初始条件:时得故有即为在任一时刻离上端的距离解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图运动的轨迹的切线方向上有:①法线方向上有:②对于①有(为运动路程亦即半圆柱周围弧长)即又因为即③设质点刚离开圆柱面时速度离开点与竖直方向夹角对③式两边积分④刚离开圆柱面时即⑤联立④⑤得即为刚离开圆柱面时与竖直方向夹角解建立如题图所示直角坐标椭圆方程①从滑到最低点只有重力做功机械能守恒即②设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有:③为点的曲率半径的轨迹:得又因为所以故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为方向垂直轨道向下解质点作平面直线运动运动轨迹方程为①②由曲线运动质点的受力分析我们可以得到:③④因为曲线上每点的曲率⑤所以⑥⑦把⑥⑦代入曲率公式⑤中所以⑧由④即又有数学关系可知即所以⑨把⑧⑨代入①证当题所述运动轨迹的曲线不光滑时质点的运动方程为:①②③④⑤由题可知②由数学知识知③把①③④代入②⑤这是一个非齐次二阶微分方程解为当时得即当时即故有证:单摆运动受力分析如图图所示。因为①即所以又单摆摆角很小有=上式即化为:②此即为一个标准的有阻尼振动方程。设为固有频率又由于即阻力很小的情况。方程②的解为所以单摆振动周期结论得证。解:设楔子的倾角为楔子向右作加速度的匀加速运动如图图。我们以楔子为参考系在非惯性系中来分析此题则质点受到一个大小为的非惯性力方向与相反。质点在楔子这个非惯性系中沿斜面下滑沿斜面的受力分析:①垂直斜面受力平衡:②联立①②得此即楔子相对斜面的加速度。对斜面的压力与斜面对的支持力等大反方向。同理可得当楔子向左作加速度为的匀加速运动时质点的和楔子对斜面的压力为综上所述可得解设钢丝圆圈以加速度向上作匀加速运动如题图我们以钢丝圆圈作参考系在圆圈这个非惯性系里来分析此题。圆圈上的小环会受到一个大小为方向与相反的惯性力的作用则圆环运动到圆圈上某点切线方向受力分析:①法线方向受力分析有:②对①两边同乘以即两边同时积分③把③代入②可解得同理可解出当钢丝圆圈以加速度竖直向下运动时小环的相对速度综上所述小环的相对速度圈对小环的反作用力证:()当火车所受阻力为常数时因为功率与牵引力有如下关系:所以即对两边积分()当阻力和速度成正比时设=为常数。同理由()可知即对两边积分解锤的压力是均匀增加的设为常数由题意可知得所以即故两边同时积分得①又因为当增至极大值后又均匀减小到故此时有为常数所以即②由①得③整个过程压力所做功又因为即对上式两边分段积分得.解(a)保守力满足条件对题中所给的力的表达式代入上式即所以此力是保守力其势为(b)同(a)由所以此力是保守力则其势能为解(a)因为质子与中子之间引力势能表达式为故质子与中子之间的引力(b)质量为的粒子作半径为的圆运动。动量矩由(a)知提供粒子作圆周运动的向心力方向是沿着径向故当半径为的圆周运动两式两边同乘以即又因为有做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。所以解要满足势能的存在即力场必须是无旋场亦即力为保守力所以即得为常数满足上式关系才有势能存在。势能为:证质点受一与距离成反比的力的作用。设此力为①又因为即②当质点从无穷远处到达时对②式两边分别积分:当质点从静止出发到达时对②式两边分别积分:得所以质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。解由题可知(因为是引力方向与径向相反所以要有负号)由运动微分方程即①对上式两边积分故又因为与的方向相反故取负号。即证画出有心力场中图示如题图我们采用的是极坐标。所以又由于常数即由图所示关系又有故即由动能定理沿方向得证()依据上题结论我们仍然去极坐标如题图。质点运动轨迹为一圆周则其极坐标方程为①由①②得②即③故即力与距离次方成正比负号表示力的方向与径向相反。()质点走一对数螺旋线极点为力心我们仍采用极坐标。对数螺旋线为常数。有根据题常数有故得证。证由毕耐公式质点所受有心力做双纽线运动故故证由毕耐公式将力带入此式因为所以即令上式化为这是一个二阶常系数废气次方程。解之得微积分常数取故有令所以证由题意可知质点是以太阳为力心的圆锥曲线太阳在焦点上。轨迹方程为在近日点处在远日点处由角动量守恒有所以解因为质点速率所以又由于即又因为所以两边积分即证()设地球轨道半径为。则彗星的近日点距离为。圆锥曲线的极坐标方程为彗星轨道为抛物线即。近日点时。故近日点有即①又因为所以②(彗星在单位时间内矢径扫过的面积)扫过扇形面积的速度③又因为故两边积分④从数学上我们可以得到两轨道交点为地球轨道半径处。即即⑤又因为所以⑥把⑤⑥代入④(⑥式代入时取“”即可)故彗星在地球轨道内停留的时间为⑦设地球绕太阳运动一周的时间为。因为假定地球运动轨道为圆形所以又由于有地球绕太阳运动单位时间内矢径扫过的面积。扫过扇形速度⑧()由证明()知彗星在地球轨道内停留时间对此式求极大值即对求导使即即得验证故为极大值代入⑧式可知解由§给出的条件:人造地球卫星近、远点距离分别为地球半径有椭圆运动中的能量方程可知:①②为卫星运行的椭圆轨道的长轴把代入①②有近地点速率远地点速率运动周期(参见)其中为运动轨道的半长轴所以证由行星绕太阳作椭圆运动的能量方程为为椭圆的半长轴。令又因为上式化为:因为即所以①又因为行星椭圆轨道运动周期即常数故又因为为正焦弦的一半所以②由题意可知即③把②③代入①可得化简可得即两边积分由题设即解质点在有心力场中运动能量和角动量均守恒。无穷远处势能为零。所以①②任意一处由②代入①所以第二章质点组力学第二章思考题一均匀物体假如由几个有规则的物体并合(或剜去)而成你觉得怎样去求它的质心?一均匀物体如果有三个对称面并且此三对称面交于一点则此质点即均匀物体的质心何故?在质点动力学中能否计算每一质点的运动情况?假如质点组不受外力作用每一质点是否都将静止不动或作匀速直线运动?两球相碰撞时如果把此两球当作质点组看待作用的外力为何?其动量的变化如何?如仅考虑任意一球则又如何?水面上浮着一只小船。船上一人如何向船尾走去则船将向前移动。这是不是与质心运动定理相矛盾?试解释之。为什么在碰撞过程中动量守恒而能量不一定守恒?所损失的能量到什么地方去了?又在什么情况下能量才也守恒?选用质心坐标系在动量定理中是否需要计入惯性力?轮船以速度行驶。一人在船上将一质量为的铁球以速度向船首抛去。有人认为:这时人作的功为你觉得这种看法对吗?如不正确错在什么地方?秋千何以能越荡越高?这时能量的增长是从哪里来的?在火箭的燃料全部燃烧完后§()节中的诸公式是否还能应用?为什么?多级火箭和单级火箭比起来有哪些优越的地方?第二章思考题解答答:因均匀物体质量密度处处相等规则形体的几何中心即为质心故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分先假定它存在后以其负质量代入质心公式即可。答:物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性该三平面的交点即为该物体的几何对称中心又该物体是均匀的故此点即为质心的位置。答:对几个质点组成的质点组理论上可以求每一质点的运动情况但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的往往其作用力难以预先知道再者每一质点可列出三个二阶运动微分方程各个质点组有个相互关联的三个二阶微分方程组难以解算。但对于二质点组成的质点组每一质点的运动还是可以解算的。若质点组不受外力作用由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力每一质点的合内力不一定等于零故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明内力不改变质点组整体的运动但可改变组内质点间的运动。答:把碰撞的二球看作质点组由于碰撞内力远大于外力故可以认为外力为零碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用动量发生改变。答:不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零(忽略水对船的阻力)且开船时系统质心的初速度也为零故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时系统的质量分布改变质心位置后移为抵消这种改变船将向前移动这是符合质心运动定理的。答:碰撞过程中不计外力碰撞内力不改变系统的总动量但碰撞内力很大使物体发生形变内力做功使系统的动能转化为相碰物体的形变能(分子间的结合能)故动量守恒能量不一定守恒。只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时即相撞物体的形变可以完全恢复或不发生形变时能量也守恒但这只是理想情况。答:设质心的速度第个质点相对质心的速度则代入质点组动量定理可得这里用到了质心运动定理。故选用质心坐标系在动量定理中要计入惯性力。但质点组相对质心的动量守恒。当外力改变时质心的运动也改变但质点组相对于质心参考系的动量不变即相对于质心参考系的动量不受外力影响这给我们解决问题带来不少方便。值得指出:质点组中任一质点相对质心参考系有对质心参考系动量并不守恒。答不对因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守恒球抛出后船和人的速度不再是。设船和人的质量为球抛出后船和人的速度为则球出手时的速度应是。人做的功应等于系统动能的改变不是只等于小球动能的改变故人做的功应为显然与系统原来的速度无关。答:秋千受绳的拉力和重力的作用在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力此力不做功只有重力做功。重力是保守力故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中人站起来提高系统重心的位置人克服重力做功使系统的势能增加当达到最高点向竖直位置折回过程中人蹲下去内力做功降低重心位置使系统的动能增大这样循环往复系统的总能不断增大秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功消耗人体内能转换而来的。答:火箭里的燃料全部烧完后火箭的质量不再改变然而质量不变是变质量物体运动问题的特例故§()中诸公式还能适用但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。答:由知要提高火箭的速度必须提高喷射速度或增大质量比。由于燃料的效能材料的耐温等一系列技术问题的限制不能过大又由于火箭的外壳及各装置的质量相当大质量比也很难提高故采用多级火箭一级火箭的燃料燃完后外壳自行脱落减小火箭的质量使下一级火箭开始工作后便于提高火箭的速度。若各级火箭的喷射速度都为质量比分别为各级火箭的工作使整体速度增加则火箭的最后速度因每一个都大于故可达到相当大的值。但火箭级数越多整个重量越大制造技术上会带来困难再者级越高质量比越减小级数很多时质量比逐渐减小趋近于速度增加很少。故火箭级数不能过多一般三至四级火箭最为有效。第二章习题求均匀扇形薄片的质心此扇形的半径为,所对的圆心角为并证半圆片的质心离圆心的距离为。如自半径为的球上用一与球心相距为的平面切出一球形帽求此球形冒的质心。重为的人手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去跳的距离增加了多少?质量为的质点沿倾角为的光滑直角劈滑下劈的本身质量为又可在光滑水平面自由滑动。试求质点水平方向的加速度劈的加速度劈对质点的反作用力水平面对劈的反作用力半径为质量为的薄圆片绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动求绕此轴的动量矩。一炮弹的质量为射出时的水平及竖直分速度为及。当炮弹达到最高点时其内部的炸药产生能量使此炸弹分为及两部分。在开始时两者仍沿原方向飞行试求它们落地时相隔的距离不计空气阻力。质量为半径为的光滑半球其低面放在光滑的水平面上。有一质量为的质点沿此半球面滑下。设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为并且起始时此系统是静止的求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为时之值。一光滑球与另一静止的光滑球发生斜碰。如两者均为完全弹性体且两球的质量相等则两球碰撞后的速度互相垂直试证明之。一光滑小球与另一相同的静止小球相碰撞。在碰撞前第一小球运动的方向与碰撞时两球的联心线成角。求碰撞后第一小球偏过的角度以及在各种值下角的最大值。设恢复系数为已知。质量为的光滑球用一不可伸长的绳系于固定点。另一质量为的球以与绳成角的速度与正碰。试求与碰后开始运动的速度及。设恢复系数为已知。在光滑的水平桌面上有质量各为的两个质点用一不可伸长的绳紧直相连绳长为。设其中一质点受到一个为绳正交的冲量的作用求证此后两质点各做圆滚线运动且其能量之比为式中为冲力作用的时间。质量为的球以速度与质量为的静止球正碰。求碰撞后两球相对于质心的速度和又起始时两球相对于质心的动能是多少?恢复系数为已知。长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上其方向与桌边缘垂直此时链条的一半从桌上下垂。起始时整个链条是静止的。试用两种不同的方法求此链条的末端滑到桌子边缘时链条的速度。一柔软、无弹性、质量均匀的绳索竖直地自高处下坠至地板上。如绳索的长度等于每单位长度的质量等于。求当绳索剩在空中的长度等于<时绳索的速度及它对地板的压力。设开始时绳索的速度为零它的下端离地板的高度为。机枪质量为M放在水平地面上装有质量为的子弹。机枪在单位时间内射出的质量为m其相对地面的速度则为如机枪与地面的摩擦系数为试证当全部射出后机枪后退的速度为雨滴落下时其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例求雨滴速度与时间的关系。设用某种液体燃料发动的火箭喷气速度为米秒单位时间内所消耗的燃料为原始火箭总质量的。如重力加速度的值可以认为是常数则利用此种火箭发射人造太阳行星时所携带的燃料的重量至少是空火箭重量的倍。试证明之。原始总质量为的火箭发射时单位时间内消耗的燃料与正比即(为比例常数)并以相对速度喷射。已知火箭本身的质量为M求证只有当时火箭才能上升并证能达到的最大速度为能到的最大高度为试以行星绕太阳的运动为例验证维里定理。计算时可利用中所有的关系和公式即认为太阳是固定不动的。第二章习题解答解均匀扇形薄片取对称轴为轴由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式设均匀扇形薄片密度为任意取一小面元又因为所以对于半圆片的质心即代入有解建立如图图所示的球坐标系把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加(图中阴影部分所示)。设均匀球体的密度为。则由对称性可知此球帽的质心一定在轴上。代入质心计算公式即解建立如题图所示的直角坐标原来与共同作一个斜抛运动。当达到最高点人把物体水皮抛出后人的速度改变设为此人即以的速度作平抛运动。由此可知两次运动过程中在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的(因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动运动的时间也相同)。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动:从最高点运动到落地水平距离①②③第二次运动:在最高点人抛出物体水平方向上不受外力水平方向上动量守恒有可知道水平距离跳的距离增加了=解建立如图图所示的水平坐标。以为系统研究水平方向上系统不受外力动量守恒有①对分析因为②在劈上下滑以为参照物则受到一个惯性力(方向与加速度方向相反)。如图图所示。所以相对下滑。由牛顿第二定律有②所以水平方向的绝对加速度由②可知③④联立①④得⑤把⑤代入①得⑥负号表示方向与轴正方向相反。求劈对质点反作用力。用隔离法。单独考察质点的受力情况。因为质点垂直斜劈运动的加速度为所以⑦把⑥代入⑦得⑧水平面对劈的反作用力。仍用隔离法。因为劈在垂直水皮方向上无加速度所以⑨于是⑩解因为质点组队某一固定点的动量矩所以对于连续物体对某一定点或定轴我们就应该把上式中的取和变为积分。如图图所示薄圆盘任取一微质量元所以圆盘绕此轴的动量矩=解炮弹达到最高点时爆炸由题目已知条件爆炸后两者仍沿原方向飞行知分成的两个部分速度分别变为沿水平方向的并一此速度分别作平抛运动。由前面的知识可知同一高处平抛运动的物体落地时的水平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为求。炮弹在最高点炮炸时水平方向上无外力所以水平方向上的动量守恒:①以质点组作为研究对象爆炸过程中能量守恒:②联立①②解之得所以落地时水平距离之差=解建立如题图所示的直角坐标系。当沿半圆球下滑时将以向所示正方向的反向运动。以、组成系统为研究对象系统水平方向不受外力动量守恒即相对于地固连的坐标系的绝对速度为相对的运动速度②故水平方向③竖直

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