分块矩阵[1]

引 言 为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。线形代数以其独特的理论体系和解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 技巧而引人入胜。在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。 第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义 设A是数域K上的 矩阵，B是K上 矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含 个行，又将A的列分割为s段，每段包含 个列。A= 于是A可用小块矩阵表示如下：， 其中 是 矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为 B= 其中 是 的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。 二．分块矩阵加法和乘法运算 设 为同型矩阵（行和列数分别相等）。 若采用相同的分块法。 A= B= 则可以直接相加 乘法:设 ，则C有如下分块形式： C= ， 其中 是 矩阵，且 定义 称数域K上的分块形式的n阶方阵A= 为准对角矩阵，其中 为 阶方阵（ ），其余位置全是小块零矩阵。 2、分块矩阵的一些简单基本性质 命题 阶准对角矩阵有如下性质： （1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中 同为 阶方阵）， A= B= ，有； AB= （2）、 ； （3）、A可逆等价于 可逆，且 。 第二章 利用分块矩阵计算行列式 1　引理  设矩阵 H= 或H= 其中A1,A2,…,As是实矩阵，且均为方阵,则|H|=|A1||A2|…|As| 2　利用分块矩阵计算行列式设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式 = 2·1　矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 命题1　设A、B分别为m与n阶方阵.证明: (1)当A可逆时,有 = (2)当B可逆时,有 = 证　(1)根据分块矩阵的乘法,有 由引理知,两边取行列式即得(1). (2)根据分块矩阵的乘法,有 两边取行列式即得(2). 注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆. 推论1　设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×n矩阵.证明 (1)                       （3） (2) |A-DC|.                        (4) 证明　只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4). 推论2　C,D分别是n×m和m×n矩阵. 证明：         （5） 证明：证明　在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5). 例1　计算下面2n阶行列式 | |= (a≠0) 解　令A= ,B= ，C= ,D= 且都为n阶方阵.由于a≠0,故A为可逆方阵. 又易知　 从而由命题1中(1)得 | |= 例2　计算行列式 (1) ,(ai≠0,i=1,2,…,n); （2） 解　(1)设Q= ，其中A=( ), B= ,　C= , D= 因为ai≠0,i=1,2,…,n,所以B是可逆矩阵. 又易知 从而由命题1中的(2)得 = .= (2)设 其中B=(c),Ｃ= ,Ｄ＝ 由于 CD= = 从而由推论1知, Q= 2.2　矩阵A=B,C=D时行列式|H|的计算 命题2　设A,C是两个n阶方阵.则 证　根据行列式的性质和引理,有 == 例3　计算行列式. D= 解　这道题看似简单,但如果方法选择不佳,做起来并不轻松.这里设 由命题2知 D= = = = (X+Y+Z)(-X+Y-Z) (X+Y-Z)(-X+Y+Z) 2.3　当A与C或者B与C可交换时行列式|H|的计算 命题3　设A,B,C,D都是n阶方阵. (1)如果AC=CA,则= = (2)如果BC=CB,则 = 例4　计算例2所给的2n阶行列式. 解　设A,C如例2,则| = 而AC=CA,由命题3知: = = 注意:①这里并不需要a≠0的条件. ②在利用命题3计算高阶行列式时,如果A和C(或B和C)有一个是n阶单位矩阵或者是n阶数量矩阵时,那么计算方法会更简便. 3　矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时计算行列式|H| 命题4　设A为n阶可逆方阵,α与β均为n维列向量.则 = 证　因为 (7) (8) 由引理,(7)和(8)两边各取行列式,并由于 故由(7)和(8)得 = = 即　 = 注意:在利用这个命题计算n阶行列式时,需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩阵,则其行列式和逆矩阵比较容易求出;另一项是n维列向量α与β组成的乘积 这种分法是利用命题4计算n阶行列式的难点,它需要具有较强的观察能力. 例5　计算下列n阶行列式: ①D= ②D= 解　①令　A= α= 则有 显然有D=|A+ |.  再由于|A|=(-1)·n!,且 =(1,2,…,n) -n 从而由命题4知: D=|A+ |=|A|(1+ ) = ②令A= 则有　 = = 且D=|A+ |  再由于|A|= ,且 = 从而由命题4知: D=|A+ |=|A|(1+ )= 第三章 分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用 引理1 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，两个因子中有一个是可逆的，它们乘积的秩等于另一个因子的秩。 引理2 秩A+秩B≤秩 引理3 秩 =秩 =秩A+秩B 引理4 秩 =秩 引理5 秩(A +B)≤秩A+秩B 性质1秩(A +B)≤秩[A B]≤秩A+秩B。其中A ,B均为m ×n矩阵。 证明 因为 = 于是由引理1得秩(A +B)=秩 秩 =秩[A B] 又因为秩 秩 于是由引理1及3得 秩[A B]=秩 秩A+秩B 综上证明即得 秩(A +B)≤秩[A B]≤秩A+秩B 证毕。 性质2设A为s ×n矩阵，则有，秩( )-秩( )=n-s 证明 因为 = 于是由引理1、3、4得 秩 =秩 =秩( )+n    (1) 又因为 = 同理可得  秩 =秩 =秩( ) +s （2） （1）、（2）式相减即得秩( )-秩( )=n-s  证毕。 性质3设A为m ×n矩阵， 是从A中取s行得到的矩阵，则秩 ≥秩A +s -m 证明 不妨设sA是A的前s行，而后m -s行构成的矩阵为B，则 A = = + 于是由引理5得 秩A≤秩 +秩 =秩 +m-s 证毕。 性质4设A为m ×n矩阵，B是A的一个s ×t矩阵，则秩B≥秩A +s -m 证明  不妨设B位于A的左上角，且设 A= = + 于是由引理5得 秩A≤秩 + =秩 +秩 由性质3秩 秩B+m –s  又因为  秩 n -t 所以，秩A≤秩B +m -s +t -n，即，秩B≥秩A +s +t -m –n 证毕。 性质5  已知，秩(AB)=秩B，试证对任意可右乘矩阵C，有秩(ABC)=秩(BC) 证明 由引理1得，秩(ABC)≤秩(BC)，因为 = 于是由引理1、4得 秩(AB)+秩(BC)≤秩 =秩 =秩 =秩(ABC)+秩B从而有，秩(ABC)≥秩(AB)+秩(BC)-秩B 又已知，秩(AB)=秩B，代入上式得，秩(ABC)≥秩(BC) 所以，秩(ABC)=秩(BC)证毕。 推论  设A为n阶矩阵，证明秩 =秩 =秩 = 证明  因为n=秩E=秩 ≥秩A≥秩 ≥秩 ≥秩 ≥0,于是必有正整数k(0≤k ≤n)使，秩 =秩 ，由性质5得，秩 =秩 =秩 = 性质6  设A, B, C ,D皆为n阶矩阵，AC =CA ,AD =CB,且 0,若 G= 则有，n≤秩G<2n。 证明  因为A≠0,所以秩G ≥n，且 存在，又 = 所以 = = 又因为 =D- CBD- =D-D=0从而G=0，因此，秩G<2n，又A≠0,所以，秩G ≥n，综上得证。 利用分块矩阵证明矩阵秩的性质，一般采用两种方法，一种是用已知矩阵作为元素拼成高阶矩阵来证明，如性质1、2、5、6；另一种方法是将已知矩阵拆成低阶矩阵来证明，如性质3、4。这两种方法在证明矩阵秩的性质时都是很有效的，几乎所有的矩阵秩的性质，都可用分块矩阵来证明。 第四章 分块矩阵的初等变换及其应用 对矩阵进行分块是处理阶数较高的矩阵时常用的方法,我们把大矩阵看成由一些小矩阵组成,在运算中,把这些小矩阵当作数一样处理,从而把高阶矩阵化为低阶矩阵来运算,这样能很快解决问题。分块矩阵的初等变换在线性代数中有非常广泛的应用。下面来讨论分块矩阵的初等变换及在线性代数一些方面应用。 本文中我们主要以2×2分块矩阵为例,来对广义初等矩阵作定义。 定义1　对某个单位矩阵作分块 ,对它进行两行(列)对换;某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵P;一行(列)加上另一行(列)的P(矩阵)倍数,得到的以下五类分块的矩阵,即     称为广义的初等矩阵 定理1　用广义初等矩阵左乘(或右乘)乘某一矩阵,相当于对该矩阵作分块的行(或列)的初等变换。 定理2　广义初等矩阵都是可逆的,且有    =   = ,  =     =   = 定理3  对一个分块矩阵A作一次分块矩阵的初等行(列)变换，相当于用一个相应的分块初等矩阵左(右)乘A。 2、分块矩阵初等变换在线性代数中一些应用 命题1　设A,B为任意两个n阶方阵,证明AB与BA有相同的特征多项式 证明:由分块矩阵乘法知 = 两边取行列式得: =:           (1) = 两边取行列式得: =:       …(2) 比较(1)(2)得|λE-AB|=|λE-BA| 故AB与BA有相同的特征多项式。 命题2　设A是n阶方阵且满足 =A,则rank(A)+rank(A-E)=n 证明 :对以下分块矩阵作广义初等变换得 故rank(A-E)+rank(A)=n 命题3　如果方阵A与B相似,C与D相似,则方阵 与 也相似。 证明:因A与B相似,C与D相似,故存在非奇异矩阵X,Y,使B= , D= 因 = = = 而 = =  故命题得证。 命题4　设n阶矩阵W分块为W= ,则 (1)当A为r阶可逆矩阵时, |W|= =|A| 此时如再有D-CA-1B可逆,则W可逆,且 = = (2)当D为n-r阶可逆矩阵时, 继续阅读