锐角三角函数值的定义[教育]

锐角三角函数值的定义[教育] 銳角三角函數值的定義 陳譽偉 相似三角形的性質中,一直角三角形某兩邊的比值,以及另一個相似直角三角形之ㄧ對應邊的邊長,即可求得另對應邊的長 直角三角形ABC(其中?C為直角),相畨兩邊的比值有下列六個: B c(斜邊) a(?A的對邊) A C b(?A的鄰邊) 為了便於稱呼及書寫,我們將這六個比值分別用數學符號 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示如下: 當?A的度數為θ時,我們常用sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ與cscθ分別表示sinA、cosA、tanA、cotA、secA、cscA。 如此一來,給定一個θ的值(0?，θ，90?),則sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ與cscθ的值都隨之定,因此,它們都是θ的函數,依序稱為正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、正割函數與餘割函數,這六個函數統稱為三角函數。 BCCAAB若三角形ABC中,?C=90?,?A的度數為θ,以 =a,=b與 =c就有 BC對邊asinA,,,斜邊c稱之為，A的正弦AB,。 AC鄰邊bcosA,,,斜邊c稱之為，A的餘弦AB,。 BC對邊atanA,,,鄰邊b稱之為，A的正切AC,。 AC鄰邊bcotA,,,對邊a稱之為，A的餘切BC,。 AB斜邊csecA,,,鄰邊b稱之為，A的正割AC,。 AB斜邊ccscA,,,對邊a稱之為，A的餘割BC,。 三角函數的基本關係 倒數、商數、平方關係 由上一節的討論,我們不難發現,這六個三角函數並非毫不相干的,他們彼此 相互關聯 ,,sin，csc,1 ,,cos，sec,1 tan,，cot,,1 我們稱此為倒數關係 ,sin,tan,cos, ,cos,cot,sin, 我們稱此為商數關係 此外我們還可由畧氏定理得出下述平方關係: 22,,,1sincos+ 22,,,,1sectan 平方關係 22,,,,1csccot proof`: 22222，22ababc,，,,，,,,1sincos2222cccc 22222,22cacab,,,,,,,,1sectan2222bbbb 22222,22cbcba,,,,,,,,1csccot2222aaaa 餘角關係 sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ及cscθ這六個三角函數之間除了有上述倒數關係、商數關係以及平方關係之外, 尚有下面的餘角關係:設?ABC中,?C=90?,?A=θ。因?A+?B=90?,所以?B=90?-θ, 又因?B的對邊是?A的鄰邊,?B的鄰邊是?A的對邊, ，B的對邊長，A的鄰邊長sinB,,,cosA斜邊長斜邊長所以有,故有sin(90?-θ)=cosθ。 同理可推得下述餘角關係: :sin(,,),cos,90 :cos(,,),sin,90 :tan(,,),cot,90 :cot(,,),tan,90 :sec(,,),csc,90 :csc(,,),sec,90 若0?，θ?45?,則45??90?-θ，90?。 因此我們只要知道介於0?與45?之間之ㄧ銳角θ的三角函數值,即可求出它的餘 角90?-θ的三角函數值。 同界角 同界角有相同的三角函數值 ,sin(n，，,),sin,360 ,cos(n，，,),cos,360 ,tan(n，，,),tan,360 ,cot(n，，,),cot,360 ,sec(n，，,),sec,360 ,csc(n，，,),csc,360 三角函數在四個象限之正負關係, 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin,csc,, , , , , cos,csc,, , , , , tan,cot,, , , , , 三角函數的圖形 在這一節裡,我們將引進角的另一種度量單位,以便把三角函數看作實數間的對應關係,並在座標平面上描繪其圖型,研究這些函數的特性。 弧度 讓我們先來回顧一下,我們是怎麼量出?ABC是多少度的, 由於角的大小完全由其兩邊張開的程度來決定,與其兩邊的長度是無關的。 以任意長γ為半徑畫一圓O,將其圓周等分為360格,那麼每一格的弧所對的圓心角就是1?,一個圓周角就是360?。 BCAB如果我們將?ABC的頂點B放在圓心O上,並設其兩邊與(或其延長線)分別與圓O交於P與Q點,那麼?ABC的度數及等於?POQ的度數, PQPOQ的弧長的度數，PQ的弧長，:360=圓的周長O圓的周長O360:且,因此?ABC=?POQ= PQ360的弧長:，2r,,r2(1)由於圓O的周長為,故?ABC=?POQ= 。在上式中, 360:360: 2,2,2,為一常數,我們規定此常數為一弧度。亦即360?= 弧度。 2, 360:因此,1?= 弧度,故有 3602,1=:,3602 ()?=1弧度,弧度 由(1)式可得 PQ的弧長 圓的半徑OPOQ= (2) ?弧度 根據(2)式可得 ?POQ=1弧度的意思即PQ的弧長=圓O的半徑 扇形的弧長與面積 由以上討論,我們知道:若圓O的半徑為r,P與Q為圓周上兩點,則?POQ= PQ的弧長 r弧度。 由此可知: 若圓心角?POQ=θ弧度,則PQ的弧長=rθ 設?POQ=θ弧度,則PQ的弧長為rθ,因此PQ的弧長為圓O周長之比,,r=2r2,,, ,,12r,2222r,,故扇形POQ面積= ×圓O的面積= π= 因此我們有 12r,2若?POQ=θ弧度,則扇形POQ面積= 要特別注意:當我們用弧度為單位表示依角的大小時,習慣上常把〝弧度〞兩字省略不寫。 要注意:sinπ?不可簡記為sinπ,因為根據習慣表示法,sinπ的意思是sin(π弧度),亦即為sin180?,而非sinπ?。 三角函數的圖形及其特性 正弦函數的圖形及其特性 ,描繪函數圖形最直接的方法就是描點法:先求出某些特殊的值,並列表如下: ,,,… 0 … ,,,, 466432- - 1sin,1… 0 … 123 222- 22 2- 在依此標出其上的一些點,然後依次用平滑曲線將這些點連起來。 函數的週期 ，，y,fx一個函數的圖形若每隔一固定單位長都一樣,亦即可找到固定的正數a, ，，，，fa，x,fxx使得對於其定義域中每一元素,恆有, 我們就稱這個函數為一週期函數。如果又可找到滿足上述性質的最小 aa正數,我們就說這個週期函數的週期為。 ，，sin2,，x,sinx2,x由於對於任意實數,我們恆有,而且又滿足這個 y,sinx性質的最小正數,所以正弦函數是一週期函數,他的週期為2,。 正弦函數的特性 y,sinxR(1)正弦函數的定義域為 y,,,y,1y,sinx(2)正弦函數的值域為,-1 2,(3)正弦函數的週期為 餘弦函數的圖形及其特性 y,cosxx我們同樣可以用描點法描繪的圖形,因為對於任意實數,恆 ,,,sin，x,cosx,,2,,有, , y,cosxy,sinx2所以將正弦函數的圖形向右平移單位,即可畫出的圖形。 餘弦函數的特性 y,sinxR(1)餘弦函數的定義域為 y,cosxy,,,y,1(2)餘弦函數的值域為,-1 2,(3)餘弦函數的週期為 正切函數的圖形與特性 y,tanx使用描點法描繪正切函數的圖形時,因為對於任意實數x,恆 tan(,，x),tanx有, ,,-y,tanx22所以我們只要描繪區間，x，上正切函數的圖形,然後逐 y,tanx次向右或向左平移π單位,即可得出的全部圖形。 ,,x,-,tanx22(注意:時,是無意義的) 正切函數的特性 35,,,x,,,,,,tanxtanx222(1)只有當…時,無意義;對於其他的實數x, y,tanx,x,R且x的值都可確定,因此正切函數的定義域為x?? ,k，,,2k,Z,。 y,tanx(2) 正切函數的值域為R ,(3)正切函數的週期為 餘切函數的圖形與特性 ,,,cotx,-tanx，,,2k,,,x因為對於任意實數?,恆有, , y,tanx2所以我們只要將正切函數的圖形向左平移單位,再將所得的 x圖形對軸鏡射, y,cotx即得餘切函數的全部圖形: 餘切函數的特性 y,cotxx,,,,2,cotx(1)只有當,…時,無意義,因此餘切函數的定 ,,x,R且xk,k,Z義域為x??,。 y,cotx(2) 餘切函數的值域為R ,(3)餘切函數的週期為 正割函數的圖形與特性 1secx,cosxcosx由倒數關係知道:當?0時,。 因此由餘弦函數的圖形,約略可得到正割函數的圖形。 正割函數的特性 ,k，,y,secx,,x,R且x2k,Z(1)正割函數的定義域為x??,。 2,(2) 正割函數的週期為 ,,yy,1或y,-1(3)正割函數的值域為? 餘割函數的圖形與特性 ,,,cscx,secx-,,2k,,,k,zxx因為對於任意實數,?,,恆有, , 2所以只要將正割函數的圖形向右平移單位,即得餘割函數的全部圖形。 餘割函數的特性 y,cscx,,x,R且xk,k,Z(1)餘割函數的定義域為x??,。 y,cscx2,(2)餘割函數的週期為 ,,yy,1y,-1(3)餘割函數的值域為?或 三角形面積 ABCBCAD任意畫一三角形,並自其中一頂點作對邊的垂線,設垂足為點。 90:，B,ADABBD:注意:當時,點與點重合,=。:如下圖所示: AAA CCBCB{ D }DBD b，Cac，A，B為方便起見,我們仍以,和分別表示,和的對邊長,則AD,csinB。 1，底，高,ABC,ABC2因為的面積=,所以就有的面積 1111,BC,AD,,acsinB,ABC的面積,absinC,bcsinA2222=,同理可得, 把這些結果綜合起來,就有三角形面積公式: 111,ABC的面積,absinC,bcsinA,casinB222 由三角形面積公式,我們可以推得正弦定理: abc,,sinAsinBsinC abc,,sinAsinBsinCk由正弦定理知=,這個比值到底是多少呢, AA CBCOOB C' ,ABC我們先做出的外接圓。由於圓內等弧所對的圓周角恆相等,我們讓三個頂點之一, ,,,CCCOOACAC例如點,在圓周上移動,當點移動到點,通過圓心時,=圓的 ,,AC，ABC90:直徑,弧長恰為半圓,故=, ,AC圓O的直徑,,圓O的直徑,,,ABCsin，ABCsin90:因此就有,但在中, ,ABAC,,,,，ACB,，Csin，ACBsin，ABC,而, AB,圓O的直徑sinC因此就有。 固正弦定理可進一步寫成: abc,,,2R(其中R:外接圓半徑)sinAsinBsinC 餘弦定理 222,，-2bc,cosAabc 222,，-2ac,cosBbca 222,，-2ab,cosCcab 222,，-2accosBbca餘弦定理中的可以用下面方法導得: AA cbbc CBDDaCaB BC，BD:1:當為銳角時,自A點作的垂線,設垂足為點,則AD,csinBBD,ccosB, , 222,，DC,a-ccosBADCACCDAD 故,在直角三角形中,我們有, 所以 2222,B，，，a-ccosBbcsin= 2222222B，-2accosB，B,，-2accosBcsinaccosca BC，BAD:2:當為鈍角時,同樣自點作的垂線,設垂足為點, ，，，，AD,csin180:-，B,sinBBD,ccos180:-，B,-ccosB 則,,故 DC,BD，BC,a-ccosB, 222,，ADCACCDAD 在直角三角形中,我們有,所 222222,B，，，a-ccosB，-2accosBbcsinca= 222,，cosB,0，Bbac:3:當為直角,由畧氏定理知,但因,所222,，-2accosBbac以 也成立。 222222,，-2bccosA,，-2abcosCabccab 同理可證得:, ，，cos,-,,12, ,,90:12 我們先考慮>>的情形: ，POQ,,，ROQ,,OPORAA12作,,然後在邊上任取一點,再自點作邊的 B垂線,設垂足為。 OBcos，，-,,,12，AOB,,-,OA12 因,所以。 OQCCOBAD另我們自點作的垂線,設垂足為,再自點作的垂線,設垂足為,OD,OCcos,,OAcos,cos,121則。 ,,OB,OD，DBODOADB12因,故我們來看看是否也能像一樣可以用與,的三角函數值來表示。 DCAAEDBDB,AEE自點作的垂線,設垂足為,則因四邊形為一矩形,所以,，ACE,，BOC,,1又:同角的餘角相等:, DB,AE,ACsin,,OAsin,sin,121故, OB,cos,cos,，sin,sin,2121，，OB,OAcoscos，sinsin,,,,OA2121因此由之得, OBcos，，-,,,12OA, ，，cos,-,,cos,cos,，sin,sin,121212 故 ，，cos,，,,12 , ,,12對於任意角與, ，，,,，，，，，，cos,，,,cos,--,,cos-,cos,，sin-,sin,,12211212 ,cos,cos,-sin,sin,1212 ，，sin,-,,12 , ,,,sin,,cos-,,,,,2,,,12因對於任意角,恆有,所以我們知道對於任意角與, ，，sin,-,,12 ,,,,，，，，,,,,,,，，cos-,,-,cos-,，,,cos-,cos,-sin-,sin,,,,,,,,12121212,,,,2222，，,,,,,,，， sin,cos,-cos,sin,1212 ，，sin,，,,12 , ，，，，sin-,,-sin,cos-,,cos,,又因對於任意角,,, ，，,,，，sin,，,,sin,--,sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,1212121212可得所以由 ，，tan,,,,12, 由正弦、餘弦函數的和角公式,可導出正切函數的和角公式: ,,tan,tan12 1,tan,tan,，，tan,,,,1212 和角公式 sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,sin(,-,),sin,cos,-cos,sin,121212121212 ,,tan,tan12,,tan(,),121,tan,tan,12 cos(,，,),cos,cos,-sin,sin,cos(,-,),cos,cos,，sin,sin,121212121212 ,,cotcot,112,,cot(,),12cot,,cot,12 ,,12由和角公式,我們知道:對於任意角與, ，，cos,，,,cos,cos,-sin,sin,121212。 22,-,，，,,cos2,,11112cossin因此,當=時,我們就有。由於22,，,,112sincos, 2222cos2,,,-,,2,-1,1-2,11111cossincossin所以。同樣利用正弦、正切函數的和角公式,可進一步推得: 二倍角公式 ,2tan,tan2,21-,sin2,,2sin,cos,tan 2,-1cot2222,cot2,cos2,,,-,,2,-1,1-2,2cot,cossincossin , cos,sin2,cos2,tan2, 知道的值,利用二倍角公式可求得,以及的值。 ,,,sincostancos,222知道的值,利用二倍角公式亦可求得,以及的值。 ,,2,,,,1-cos2cos2，,1-2,,,sinsin22cos,,,22由於=,所以,因此 1-cos,,,sin,22。 ,,2,,,，,1cos2cos,cos2，,2-1,,,,coscos22,,22另一方面,,所以,因此 1cos，,,,cos,22。 ,,1-cos,,tan,,sincos21，cos,,22n,n由,,當?:為任意奇數時:, 綜合上述討論: 半角公式 ,,1-cos1-cos,,tan,,sin,,2221，cos, 1cos,，,,cos,,所在象限決定222, (取法視) 讓我們回顧一下所介紹的和角公式,根據正弦、餘弦函數的和角公式與差角公 ,,12式:對於任意角與, sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,121212 1. sin(,-,),sin,cos,-cos,sin,121212 2. cos(,，,),cos,cos,-sin,sin,121212 3. cos(,-,),cos,cos,，sin,sin,121212 4. 由1.+2.得 ，，，，2sin,cos,,sin,，,，sin,-,121212, 由1.-2.得 ，，，，2cos,sin,,sin,，,-sin,-,121212, 由3.+4.得 ，，，，2cos,cos,,cos,，,，cos,-,121212, 由3.-4.得 ，，，，-2sin,sin,,cos,，,-cos,-,121212, 故有: 積化和差公式 2sin,cos,,sin(,，,)，sin(,-,)121212 2cos,sin,,sin(,，,)-sin(,-,)121212 2cos,cos,,cos(,，,)，cos(,-,)121212 2sin,sin,,-cos(,，,)，cos(,-,)121212 為了便於由兩正弦函數:或兩餘弦函數:的積求其和或差,我們在上述積化和差 ,,,，,,,,-,1212,, 的公式中,令 ,,,,，-,,,,1222則,。那麼前述積化和差的公式就可寫成: 和差化積公式 -,，,,,sinsin2sincos，,,,22 -,，,,,sin-sin2cossin,,,22 -,，,,,coscos2coscos，,,,22 -,，,,,cos-cos-2sinsin,,,22