对数换底公式的探究及应用（修改稿）
云南会泽一中 郭兴甫 邮编：654200
课本66页中给出探究问题，你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
你推导了吗？这里给出一种证明，供你参考比较。
证明：设
故
成立。
由对数的性质，利用换底公式易得探究变式：
变式1.
证明：
变式2.
由变式1可证这里略。
变式3.
证明：由换底公式，可得
变式4.
证明：左边=
=右边。
变式5.
证明可仿变式4.这里略。
举例：
例1已知
的值。
分析
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：由于已知的对数和所求的对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，寻找已知和未知之间的关系，可将真数都化成质数的形式，方便计算。
解：由
评注：应用换底公式时一般换成以10为底或以其中一个底数相同的对数的形式，也可根据实际需要换成相应的底。
例2.计算
分析：因对数式中底数都不相同，故不能直接利用对数的运算性质计算。利用变式2化简每一个对数式。
解：原式=
=
评注：正确利用换底公式是快速，准确求解对数问题的有效途径之一。
例3.设
的值。
分析：已知条件可转化为对数式，在利用换底公式将底数化为同底的对数式。
解：
评注：利用对数的底数与真数互换，对数值互为倒数，可把两对数的底数化为相同，进而可利用对数的性质运算。
例4.计算
分析：本题是求几个对数值的积的问题，由于底数不同，可利用变式4改变真数的位置，再把真数化为质数幂的形式。
解：原式=
=2
=8
评注：本题的解答过程实际是把对数换底，再约分。
例5已知
的最大值和最小值。
分析：由条件知
的范围，将所求函数式化为用
表
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示的形式，再用函数在闭区间上的最值问题求解。
解：
=
时，
故函数的最大值为2，最小值为－
。
评注：解决本题的关键是正确利用换底公式
把对数式转化为
的形式，提示也是解决本题的一个难点。
附注：本文适合第6期4版自主探究、方法技巧等栏目。笔者在教学中发现学生能灵活应用换底公式，对解决对数方面的问题十分有益。希望本文能给同学们一点帮助与启示！
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