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线性代数的学习方法和心得体会

危险人物Liny
2017-10-14 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《线性代数的学习方法和心得体会doc》,可适用于综合领域

线性代数的学习方法和心得体会线性代数的学习方法和心得体会一、学习方法今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的基本上不抄书可能有错误的地方希望能够被指出。但我希望做到直觉也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。首先说说空间(space)这个概念是现代数学的命根子之一从拓扑空间开始一步步往上加定义可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的如果在里面定义了范数就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性就成了巴那赫空间赋范线性空间中定义角度就有了内积空间内积空间再满足完备性就得到希尔伯特空间。总之空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义大致都是“存在一个集合在这个集合上定义某某概念然后满足某些性质”就可以被称为空间。这未免有点奇怪为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢,大家将会看到其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间毫无疑问就是我们生活在其中的(按照牛顿的绝对时空观)的三维空间从数学上说这是一个三维的欧几里德空间我们先不管那么多先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道这个三维的空间:由很多(实际上是无穷多个)位置点组成这些点之间存在相对的关系可以在空间中定义长度、角度这个空间可以容纳运动这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动(变换)而不是微积分意义上的“连续”性的运动认识到了这些我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上不管是什么空间都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动(变换)。你会发现在某种空间中往往会存在一种相对应的变换比如拓扑空间中有拓扑变换线性空间中有线性变换仿射空间中有仿射变换其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道“空间”是容纳运动的一个对象集合而变换则规定了对应空间的运动。下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有但是既然我们承认线性空间是个空间那么有两个最基本的问题必须首先得到解决那就是:空间是一个对象集合线性空间也是空间所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合,或者说线性空间中的对象有什么共同点吗,线性空间中的运动如何表述的,也就是线性变换是如何表示的,我们先来回答第一个问题回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象通过选取基和坐标的办法都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了举两个不那么平凡的例子:L最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间也就是说这n个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x,x,,x为基那其中的每一个分量a么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n维向量i(i)其实就是多项式中x项的系数。值得说明的是基的选取有多种办法只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了所以这里先不说提一下而已。下面来回答第二个问题这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。线性空间中的运动被称为线性变换。也就是说你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点都可以通过一个线性变化来完成。那么线性变换如何表示呢,很有意思在线性空间中当你选定一组基之后不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动(变换)。而使某个对象发生对应运动的方法就是用代表那个运动的矩阵乘以代表那个对象的向量。简而言之在线性空间中选定基之后向量刻画对象矩阵刻画对象的运动用矩阵与向量的乘法施加运动。是的矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么那么你就可以响亮地告诉他矩阵的本质是运动的描述。(chensh说你呢~)可是多么有意思啊向量本身不是也可以看成是nx矩阵吗,这实在是很奇妙一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗,如果是巧合的话那可真是幸运的巧合~可以说线性代数中大多数奇妙的性质均与这个巧合有直接的关系。接着理解矩阵、、、我们说“矩阵是运动的描述”到现在为止好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候总会有人照本宣科地告诉你初等数学是研究常量的数学是研究静态的数学高等数学是变量的数学是研究运动的数学。大家口口相传差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人好像也不多。简而言之在我们人类的经验里运动是一个连续过程从A点到B点就算走得最快的光也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径这就带来了连续性的概念。而连续这个事情如果不定义极限的概念根本就解释不了。古希腊人的数学非常强但就是缺乏极限观念所以解释不了运动被芝诺的那些著名悖论(飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论)搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。可是这样说又太物理也就是说太具体而不够数学也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语变换来描述这个事情。这样一说大家就应该明白了所谓变换其实就是空间里从一个点(元素对象)到另一个点(元素对象)的跃迁。比如说拓扑变换就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说仿射变换就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道尽管描述一个三维对象只需要三维向量但所有的计算机图形学变换矩阵都是x的。说其原因很多书上都写着“为了使用中方便”这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因是因为在计算机图形学里应用的图形变换实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是x的。又扯远了有兴趣的读者可以去看《计算机图形学几何工具算法详解》。一旦我们理解了“变换”这个概念矩阵的定义就变成:“矩阵是线性空间里的变换的描述。”到这里为止我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的在一个线性空间V里的一个线性变换T当选定一组基之后就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换什么是基什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的设有一种变换T使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y以及任意实数a和b有:T(axby)=aT(x)bT(y)那么就称T为线性变换。接着往下说什么是基呢,这个问题在后面还要大讲一番这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系不是坐标值这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。好最后我们把矩阵的定义完善如下:“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中只要我们选定一组基那么对于任何一个线性变换都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”同样的对于一个线性变换只要你选定一组基那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述但又都不是线性变换本身。但是这样的话问题就来了如果你给我两张猪的照片我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢,同样的你给我两个矩阵我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢,如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述那就是本家兄弟了见面不认识岂不成了笑话。好在我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质那就是:若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述(之所以会不同是因为选定了不同的基也就是选定了不同的坐标系)则一定能找到一个非奇异矩阵P使得A、B之间满足这样的关系:A=PBP线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来这就是相似矩阵的定义。没错所谓相似矩阵就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点不过能让人明白。而在上面式子里那个矩阵P其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论可以用一种非常直觉的方法来证明(而不是一般教科书上那种形式上的证明)如果有时间的话我以后在blog里补充这个证明。这样一来矩阵作为线性变换描述的一面基本上说清楚了。但是事情没有那么简单或者说线性代数还有比这更奇妙的性质那就是矩阵不仅可以作为线性变换的描述而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去而且也能够把线性空间中的一个坐标系(基)表换到另一个坐标系(基)去。而且变换点与变换坐标系具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙就蕴含在其中。理解了这些内容线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。二、学习心得线性代数是一门对理工科学生极其重要数学学科。线性代数主要处理的是线性关系的问题随着数学的发展线性代数的含义也不断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中而且在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。同时该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。线代课本的前言上就说:“在现代社会除了算术以外线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少课本上涉及最多的只能算解线性方程组了但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。没有应用到的内容很容易忘就像现代一样我现在高数还基本记得。因为高数在很多课程中都有广泛的应用比如在开设的大学物理课中。所以如果有时间的话要尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面的应用。如:《线性代数》(居余马等编清华大学出版社)上就有线性代数在“人口模型”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面的应用。也可以试着用线性代数的方法和知识证明以前学过的定理或高数中的定理如老的高中解析几何课本上的转轴公式它就可以用线性代数中的过渡矩阵来证明。线性代数被不少同学称为“天书”足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中很多同学遇到了上课听不懂一上课就想睡觉公式定理理解不了知道了知识但不会做题记不住等问题。我认为每门课程都是有章可循的线性代也不例外只要有正确的方法再加上自己的努力就可以学好它。一定要重视上课听讲不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响那为什么不利用好这一小时四十分钟呢,上课时老师的一句话就可能使你豁然开朗就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”即使老师讲的某个题自己会做也要听一下老师的思路。上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题不会时看书后或做完后看书。这样作业可以帮你回忆老师讲的内容重要的是这些内容是自己回忆起来的这样能记得更牢而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以问别人或参考同学的解答但一定要真正理解别人的思路绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。数学上的方法是相通的。比如考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起解线性方程组时先解对应的齐次方程组这些都是先考虑特殊情况。高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程这用的也是这种思路。方法真的很难讲而方法包含许多细节的内容很难讲出来甚至我都意识不到但它们会对学习起很大的作用。我感觉“做完题要总结”“上课想到老师前面”“注重知识之间的联系”很重要。以上就是我学习线性代数的心得。

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