电场及磁场的对称性分析
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第 卷 第 期 天 津 职 业 技 术 师 范 大 学 学 报 . 年 月
电场及磁场的对称性分析
李凤敏
天津职业技术师范大学理学院,天津
摘要:利用对称性的概念和矢量场的对称性分析计算方法,讨论了某些具有对称性的带电体场及载流体场的计算,
特别是对其中的重点和难点问题进行了详细的分析和论证。对称性方法可以使具有对称性的场的计算问题的物理
图像清晰,简化计算,易于理解。
关键词:对称性;极矢量;轴矢量;长直螺线管;感生电场;轴对称载流体
中图分类号: . 文献标识码: 文章编号: ?? ? ?? , , , : ? ,, . , , ,.: ; ; ; ;;对称性又称不变性,在自然界普遍存在。对称性
是指体系在某种操作下变成与原状态相同或等价的 关于场矢量
状态。对称性分析在经典物理及理论物理中都有着广
泛的应用。在大学物理电磁学教学中常见的对称操作 在电磁学部分,我们遇到的场矢量无非是电场及
有平移、转动及镜像反射等。根据大学物理教学大纲 磁场。但由于电场强
度 与磁感应强度 在镜像反射
的基本要求,用高斯定理及安培环路定理进行场的计 下具有不同的变换性质,这导致了电场与磁场许多不
算是学生必须掌握的
内容
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,而这往往又是教学的难 同的性质。如图 所示,电场强度 是极矢量,即在镜
点。比如各类教材中都会有这样的例子:长直螺线管 像反射变换下,与镜面垂直的分量反向,平行分量不
磁场变化时产生的感生电场的计算、电动势的计算、 变;而磁感应强度 为轴矢量,即在镜像反射变换下,
轴对称载流体的磁场分布,轴对称带电体的场强分布
等。在以往的教材及教学过程中,对此类问题的处理
往往都是根据对称性的特点,定性地解释电场及磁场
的大小与方向的分布情况。这种处理问题的方法显然
『
缺乏说服力,因此如果能用比较简单的数学方法来证
明,这样不仅使教学内容逻辑性更强,同时也会使学
图 电场强度及磁感应强度镜像反射变化
生对所学内容理解更深,概念更清楚。
收稿日期: ?
作者简介:李凤敏 一 ,女,副教授,硕士,研究方向为物理教学法天 津 职 业 技 术 师 范 大 学 学 报 第 卷
与镜面垂直的分量不变,平行分量反向嘲。正是由于电 最 轴与 司向
场强度 和磁感应强度 的这一特性,使得在分析具 如图 所示,由于长直螺
线管内的磁场具有轴对
有某种对称性的带电体场或载流体场时会带来很大 称性且沿 轴的平移不变性,以该轴为轴线做一闭合 的方便。 圆柱面,由磁场分布的对称性可知,在闭合圆柱面、两个圆面上,
对应位置的感生电场的大小、方向均
相同,对该闭合面,感生电场的通量为零: 利用对称性分析具体实例
. 长直螺线管磁场变化引起的感生电场 《 在电磁学教学内容中,通常涉及长直螺线管磁场 变化时产生的感生电场的计算,比如大部分教材中都 即:』
有这样一个例题:通有时变电流的无限长直螺线管内 ?
的磁场曰随时间变化,如图 所示。已知 的数值,求它在管内、外激发的感生
电场的分布。
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图 以螺线管轴线为轴取闭合面
由于只有 及 ,分量对该闭合面的通量有贡 一
般大学物理教材中给出的解通常如下吲: 献,因此上式积分结果为:
由磁场分布的轴对称性可知,感生电场的分布也 ? :
具有轴对称性。即以长直螺线管轴线上任意点为中心 其中, 为 、 圆面面积。
的同一闭合回路上各处感生电场的大小相等,方向沿 故 即感生电场的径向分量为零。
回路的切线方向。
如图 所示,做一闭合回路,则感生电场沿该回
因此沿该回路的感生电场的环量由下式求得: 路的环量由式 给出:
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对这样的分析过程并不存在异议,但问题是学生 并不清楚为什么在这种情况下产生的感生电场呈上 图 取一闭合回路
述分布,而其他方向上却不存在。对这一问题的处理, 由于感生电场在螺线管内、外垂直于轴的方向上 可以从磁场的对称性分布人手得到解答。 的数值并不相等,因此由 计算可得:
设长直螺线管内的磁场变化时产生的感生电场岛,由于 ? ,且
为 ,以螺线管轴线上任意点为坐标原点,建立柱坐 所以 岛 其中 、 分男为螺线管内外
标系,则空间任意点的感生电场为:
的感生电场