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高考数学难点41讲难点13 数列的通项与求和.doc

高考数学难点41讲难点13 数列的通项与求和

下个世纪改换男人生娃
2019-05-11 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学难点41讲难点13 数列的通项与求和doc》,可适用于综合领域

难点 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲数列的问题最终归结为对数列通项的研究而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一与数列极限及数学归纳法有着密切的联系是高考对数列问题考查中的热点本点的动态函数观点解决有关问题为其提供行之有效的方法●难点磁场(★★★★★)设{an}是正数组成的数列其前n项和为Sn并且对于所有的自然数nan与的等差中项等于Sn与的等比中项()写出数列{an}的前项()求数列{an}的通项公式(写出推证过程)()令bn=(n∈N*)求(bbb…bn-n)●案例探究[例]已知数列{an}是公差为d的等差数列数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠)的等比数列若函数f(x)=(x-)且a=f(d-)a=f(d)b=f(q)b=f(q-)()求数列{an}和{bn}的通项公式()设数列{cn}的前n项和为Sn对一切n∈N*都有=an成立求命题意图:本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限以及运算能力和综合分析问题的能力属★★★★★级题目知识依托:本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显而()中条件等式的左边可视为某数列前n项和实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口错解分析:本题两问环环相扣()问是基础但解方程求基本量a、b、d、q计算不准易出错()问中对条件的正确认识和转化是关键技巧与方法:本题()问运用函数思想转化为方程问题思路较为自然()问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}运用和与通项的关系求出dn丝丝入扣解:()∵a=f(d-)=(d-)a=f(d)=d∴a-a=d-(d-)=d∵d=∴an=a(n-)d=(n-)又b=f(q)=qb=f(q-)=(q-)∴=q由q∈R且q≠得q=-∴bn=b·qn-=·(-)n-()令=dn则dd…dn=an,(n∈N*),∴dn=an-an=,∴=,即cn=·bn=·(-)n-∴Sn=[-(-)n]∴[例]设An为数列{an}的前n项和An=(an-)数列{bn}的通项公式为bn=n()求数列{an}的通项公式()把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列证明:数列{dn}的通项公式为dn=n()设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项Br为数列{bn}的前r项的和Dn为数列{dn}的前n项和Tn=Br-Dn求命题意图:本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系集合的相关概念数列极限以及逻辑推理能力知识依托:利用项与和的关系求an是本题的先决()问中探寻{an}与{bn}的相通之处须借助于二项式定理而()问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析:待证通项dn=n与an的共同点易被忽视而寸步难行注意不到r与n的关系使Tn中既含有n又含有r会使所求的极限模糊不清技巧与方法:()问中项与和的关系为常规方法()问中把拆解为-再利用二项式定理寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔()问中挖掘出n与r的关系正确表示Br问题便可迎刃而解解:()由An=(an-)可知An=(an-)∴an-an=(an-an)即=而a=A=(a-)得a=所以数列是以为首项公比为的等比数列数列{an}的通项公式an=n()∵n=·n=·(-)n=·[nC·n-(-)…C··(-)(-)n]=n∴n∈{bn}而数n=(-)n=nC·n-·(-)…C··(-)(-)n=(k)∴n{bn}而数列{an}={an}∪{an}∴dn=n()由n=·r可知r=∴Br=●锦囊妙计数列中数的有序性是数列定义的灵魂要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性又要注意数列方法的特殊性数列{an}前n项和Sn与通项an的关系式:an=求通项常用方法①作新数列法作等差数列与等比数列②累差叠加法最基本形式是:an=(an-an-(an-an-)…(a-a)a③归纳、猜想法数列前n项和常用求法①重要公式…n=n(n)…n=n(n)(n)…n=(…n)=n(n)②等差数列中Smn=SmSnmnd等比数列中Smn=SnqnSm=SmqmSn③裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和即an=f(n)-f(n)然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项:④错项相消法⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样要视具体情形选用合适方法●歼灭难点训练一、填空题(★★★★★)设zn=()n(n∈N*)记Sn=|z-z||z-z|…|zn-zn|则Sn=(★★★★★)作边长为a的正三角形的内切圆在这个圆内作新的内接正三角形在新的正三角形内再作内切圆如此继续下去所有这些圆的周长之和及面积之和分别为二、解答题(★★★★)数列{an}满足a=对于任意的n∈N*都有an>,且(n)anan·an-nan=又知数列{bn}的通项为bn=n-()求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn()求数列{bn}的前n项和Tn()猜想Sn与Tn的大小关系并说明理由(★★★★)数列{an}中a=,a=且满足an=an-an,(n∈N*)()求数列{an}的通项公式()设Sn=|a||a|…|an|,求Sn()设bn=(n∈N*),Tn=bb……bn(n∈N*),是否存在最大的整数m使得对任意n∈N*均有Tn>成立?若存在求出m的值若不存在说明理由(★★★★★)设数列{an}的前n项和为Sn且Sn=(m)-man对任意正整数n都成立其中m为常数且m<-()求证:{an}是等比数列()设数列{an}的公比q=f(m)数列{bn}满足:b=a,bn=f(bn-)(n≥,n∈N*)试问当m为何值时成立?(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列b=,bb…b=()求数列{bn}的通项bn()设数列{an}的通项an=loga()(其中a>且a≠),记Sn是数列{an}的前n项和试比较Sn与logabn的大小并证明你的结论(★★★★★)设数列{an}的首项a=前n项和Sn满足关系式:tSn-(t)Sn-=t(t>,n=,,…)()求证:数列{an}是等比数列()设数列{an}的公比为f(t)作数列{bn}使b=,bn=f()(n=,,…)求数列{bn}的通项bn()求和:bb-bbbb-…bn-bn-bnbn参考答案难点磁场解析:()由题意当n=时有S=a∴解得a=当n=时有S=aa将a=代入整理得(a-)=由a>解得a=当n=时有S=aaa将a=a=代入整理得(a-)=由a>解得a=故该数列的前项为()解法一:由()猜想数列{an}有通项公式an=n-下面用数学归纳法证明{an}的通项公式是an=n-(n∈N*)①当n=时因为×-=又在()中已求出a=所以上述结论成立②假设当n=k时结论成立即有ak=k-由题意有将ak=k-代入上式解得k=得Sk=k由题意有Sk=Skak将Sk=k代入得()=(akk)整理得ak-ak-k=由ak>解得ak=k所以ak=k=(k)-即当n=k时上述结论成立根据①②上述结论对所有的自然数n∈N*成立解法二:由题意知(n∈N*)整理得Sn=(an),由此得Sn=(an)∴an=Sn-Sn=[(an)-(an)]整理得(anan)(an-an-)=由题意知anan≠∴an-an=即数列{an}为等差数列其中a=公差d=∴an=a(n-)d=(n-)即通项公式为an=n-解法三:由已知得,(n∈N*)①所以有②由②式得整理得Sn-·-Sn=解得由于数列{an}为正项数列而因而即{Sn}是以为首项以为公差的等差数列所以=(n-)=n,Sn=n故an=即an=n-(n∈N*)()令cn=bn-则cn=歼灭难点训练一、答案:解析:由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}可得an=正三角形的内切圆构成等比数列{rn}可得rn=a,∴这些圆的周长之和c=π(rr…rn)=a面积之和S=π(nr…rn)=a答案:周长之和πa面积之和a二、解:()可解得从而an=n有Sn=nn()Tn=nn-()Tn-Sn=n-n-验证可知n=时T=Sn=时T<Sn=时T<Sn=时T<Sn=时T>Sn=时T>S猜想当n≥时Tn>Sn即n>n可用数学归纳法证明(略)解:()由an=an-anan-an=an-an可知{an}成等差数列d==-,∴an=-n()由an=-n≥可得n≤当n≤时Sn=-nn当n>时Sn=n-n故Sn=()bn=要使Tn>总成立需<T=成立即m<且m∈Z故适合条件的m的最大值为解:()由已知Sn=(m)-man①Sn=(m)-man②,由①-②得an=man-man即(m)an=man对任意正整数n都成立∵m为常数且m<-∴即{}为等比数列()当n=时a=m-ma∴a=从而b=由()知q=f(m)=∴bn=f(bn-)=(n∈N*,且n≥)∴即∴{}为等差数列∴=(n-)=n(n∈N*)解:()设数列{bn}的公差为d由题意得:解得b=,d=,∴bn=n-()由bn=n-,知Sn=loga()loga()…loga()=loga[()()…()]logabn=loga因此要比较Sn与logabn的大小可先比较()()…()与的大小取n=时有()>取n=时有()()>…由此推测()()…()>                ①若①式成立则由对数函数性质可判定:当a>时Sn>logabn                      ②当<a<时Sn<logabn                    ③下面用数学归纳法证明①式(ⅰ)当n=时已验证①式成立(ⅱ)假设当n=k时(k≥)①式成立即:那么当n=k时这就是说①式当n=k时也成立由(ⅰ)(ⅱ)可知①式对任何正整数n都成立由此证得:当a>时Sn>logabn当<a<时Sn<logabn解:()由S=a=,S=a得t(a)-(t)=t∴a=又tSn-(t)Sn-=t                        ①tSn--(t)Sn-=t                          ②①-②得tan-(t)an-=∴,n=,,…,所以{an}是一个首项为公比为的等比数列()由f(t)==,得bn=f()=bn-可见{bn}是一个首项为公差为的等差数列于是bn=(n-)=()由bn=,可知{bn-}和{bn}是首项分别为和公差均为的等差数列于是bn=,∴bb-bbbb-bb…bn-bn-bnbn=b(b-b)b(b-b)…bn(bn--bn)=-(bb…bn)=-·n()=-(nn)

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