数列通项公式奇数项偶数项分段的类型
例76 数列{an}的首项a1＝1，且对任意n∈N，an与an＋1恰为方程x2－bnx＋2n＝0的两个根.
(Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(Ⅰ)由
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
意n∈N*，an·an＋1＝2n
∴
＝
＝
＝2'(1分)
又∵a1·a2＝2'a1＝1'a2＝2
∴a1，a3，…，a2n－1是前项为a1＝1公比为2的等比数列，
a2，a4，…，a2n是前项为a2＝2公比为2的等比数列
∴a2n－1＝2n－1' a2n＝2n' n∈N*
即an＝
又∵bn＝an＋an＋1
当n为奇数时，bn＝2
＋2
＝3·2
当n为偶数时，bn＝2
＋2
＝2·2
∴bn＝
(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
当n为偶数时，
Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
＝
＋
＝7·2
－7 (
当n为奇数时，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝Sn－1＋bn＝10·2
－7 (
Sn＝
例77 数列
的通项
，其前n项和为
.
(1) 求
;
(2)
求数列｛
｝的前n项和
.
解: (1) 由于
,故
,
故
(
)
(2)
两式相减得
故
例78 数列
(Ⅰ)求
并求数列
的通项公式；
(Ⅱ)设
证明：当
.解:(Ⅰ)因为
所以
一般地，当
时，
＝
，即
所以数列
是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当
时，
所以数列
是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列
的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
①
②
①-②得，
所以
要证明当
时，
成立，只需证明当
时，
成立.
证法一
(1)当n = 6时，
成立.
(2)假设当
时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时，
.即当n≥6时，
证法二
令
，则
所以当
时，
.因此当
时，
于是当
时，
综上所述，当
时，
例79 设
个不全相等的正数
依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若
，且
是公差为
的等差数列，而
是公比为
的等比数列；数列
的前
项和
满足：
，求通项
；
解：因
是公比为d的等比数列，从而
由
，故
解得
或
（舍去）。因此
又
。解得
从而当
时，
当
时，由
是公比为d的等比数列得
因此
例80 已知数列
中，
（1）求证：数列
与
都是等比数列；（2）求数列
前
的和
；
（3）若数列
前
的和为
，不等式
对
恒成立，求
的最大值。
解：（1）∵
，∴
2分
∴数列
是以1为首项，
为公比的等比数列；
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列。 4分
（2）
9分
（3）
当且仅当
时取等号，所以
，即
，∴
的最大值为－48
例82.在单调递增数列
中，
，
，且
成等差数列，
成等比数列，
．
（1）分别计算
，
和
，
的值；
（2）求数列
的通项公式（将
用
表示）；
（3）设数列
的前
项和为
，证明：
，
．
解：（1）由已知，得
，
，
，
．
（2）∵
成等差数列，∴
，
；
∵
成等比数列，∴
，
．
又
，
，
，……；
，
，
，……
∴猜想
，
，
， …
以下用数学归纳法证明之．
①当
时，
，
，猜想成立；
②假设
时，猜想成立，即
，
，
那么
，
．
∴
时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的
，猜想成立．
∴
，
．
∴当
为奇数时，
；
当
为偶数时，
．
即数列
的通项公式为
．
（3）由（2），得
．
显然，
；
当
为偶数时，
；
当
为奇数（
）时，
.
综上所述，
，
．
例83已知等比数列
的公比为
，首项为
，其前
项的和为
．数列
的前
项的和为
， 数列
的前
项的和为
．
（1）若
，
，求
的通项公式；
（2）①当
为奇数时，比较
与
的大小；
②当
为偶数时，若
，问是否存在常数
（与n无关），使得等式
恒成立，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
解: (1) ∵
,
∴
∴
或
∴
，或
.
(2) ∵
常数，
=常数，
∴数列
，
均为等比数列，首项分别为
，
，公比分别为
，
．
①当
为奇数时，
当
时,
，
，
,
∴
.
当
时,
，
，
,
∴
.
当
时, 设
，
，
，
,
∴
．
综上所述，当
为奇数时，
.
②当
为偶数时，
存在常数
，使得等式
恒成立．
∵
，
∴
，
，
．
∴
=
=
．
由题设，
对所有的偶数n恒成立，又
，
∴
．
∴存在常数
，使得等式
恒成立．
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