第7讲 离散型随机变量的均值与方差
一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于( )
A. B.
C．3 D.
解析 因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1 ＝.
答案 D
2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )．
A．100 B．200 C．300 D．400
解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200.
答案 B
3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p
则E(ξ)的最大值为 ( )．
A．1 B. C. D．2
解析 由p≥0，－p≥0，则0≤p≤，E(ξ)＝p＋1≤.
答案 B
4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是 ( )．
A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6
解析 由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案 B
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，
即3a＋2b＝2，其中0
D(ξ2)
B．D(ξ1)＝D(ξ2)
C．D(ξ1)D(ξ2)．
答案 A
二、填空题
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6. ①
又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4. ②
由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.
答案 0.4
8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ
1
2
3
P
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
解析 令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
答案 2
9．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.
解析 每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X～B，故D(X)＝8××＝2.
答案 2
10．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.
解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B，
从而有E(ξ)＝np＝4×＝.
答案
三、解答题
11．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
解 (1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(X)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．
12．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0
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