[中学]排列与组合.版块四.排列数组合数的计算与证明.学生版

[中学]排列与组合.版块四.排列数组合数的计算与证明.学生版 排列数组合数的计算与证明 知识内容 1(基本计数原理 ?加法原理 分类计数原理:做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，在第nm1 二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法(那么完成这件事共有nmm2n 种不同的方法(又称加法原理( Nmmm,，，，？12n ?乘法原理 分步计数原理:做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，nm1做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法(那么完成这件事nmm2n 共有种不同的方法(又称乘法原理( Nmmm,，，，？12n ?加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的～那么计算完成这件事的方法数时～使用分类计数原理(如果完成一件事的各个步骤是相互联系的～即各个步骤都必须完成～这件事才告完成～那么计算完成这件事的方法数时～使用分步计数原理( 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础～也是求解排列、组合问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的基本思想方法～这两个原理十分重要必须认真学好～并正确地灵活加以应用( 2( 排列与组合 ?排列:一般地～从个不同的元素中任取mmn()?个元素～按照一定的顺序排成一列～n 叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列(,其中被取的对象叫做元素,nm 排列数:从mmn()?个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数～叫做从个不同nn m元素中取出个元素的排列数～用符号表示( mAnmmn?排列数公式:～～并且(A(1)(2)(1),,,,，nnnnm？mn，,N，n 全排列:一般地～n个不同元素全部取出的一个排列～叫做n个不同元素的一个全排列( n!0!1,n的阶乘:正整数由到n的连乘积～叫作n的阶乘～用表示(规定:(1 ()mn??组合:一般地～从n个不同元素中～任意取出m个元素并成一组～叫做从n个 m元素中任取个元素的一个组合( ()mn?nmn组合数:从个不同元素中～任意取出个元素的所有组合的个数～叫做从个 mmC不同元素中～任意取出个元素的组合数～用符号表示( n nnnnmn(1)(2)(1)!,,,，？mC,,mn?组合数公式:mn,,N～～并且(n，mmnm!!()!, mnm,mmm,10CC,CCC,，C1,组合数的两个性质:性质1:,性质2:(,规定,nnnnnn，1 ?排列组合综合问题 解排列组合问题～首先要用好两个计数原理和排列组合的定义～即首先弄清是分类还是分步～是排列还是组合～同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1(特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求～再考虑其他元素, 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求～再考虑其他位置, 2(分类分步法:对于较复杂的排列组合问题～常需要分类讨论或分步计算～一定要做到分类明确～层次清楚～不重不漏( 3(排除法～从总体中排除不符合条件的方法数～这是一种间接解题的方法( 4(捆绑法:某些元素必相邻的排列～可以先将相邻的元素“捆成一个”元素～与其它元素进行排列～然后再给那“一捆元素”内部排列( 5(插空法:某些元素不相邻的排列～可以先排其它元素～再让不相邻的元素插空( 6(插板法:个相同元素～分成组～每组至少一个的分组问题——把个元mmn()?nn m,1n,1m,1素排成一排～从个空中选个空～各插一个隔板～有(Cn,1 7(分组、分配法:分组问题,分成几堆～无序,(有等分、不等分、部分等分之别(一般地平均分成堆,组,～必须除以:～如果有堆,组,元素个数相等～必须除以:nnmm 8(错位法:编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里～每个盒子放一个nnnn n,2小球～要求小球与盒子的编号都不同～这种排列称为错位排列～特别当～3～4～5时的错位数各为1～2～9～44(关于5、6、7个元素的错位排列的计算～可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题( 1(排列与组合应用题～主要考查有附加条件的应用问题～解决此类问题通常有三种途径: ?元素分析法:以元素为主～应先满足特殊元素的要求～再考虑其他元素, ?位置分析法:以位置为主考虑～即先满足特殊位置的要求～再考虑其他位置, ?间接法:先不考虑附加条件～计算出排列或组合数～再减去不符合要求的排列数或组合数( 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题,再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理,然后分析题目条件～避免“选取”时重复和遗漏,最后列出式子计算作答( 2(具体的解题策略有: ?对特殊元素进行优先安排, ?理解题意后进行合理和准确分类～分类后要验证是否不重不漏, ?对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排～以防出现重复, ?对于元素相邻的条件～采取捆绑法,对于元素间隔排列的问题～采取插空法或隔板法, ?顺序固定的问题用除法处理,分几排的问题可以转化为直排问题处理, ?对于正面考虑太复杂的问题～可以考虑反面( ?对于一些排列数与组合数的问题～需要构造模型( 典例分析 排列数组合数的简单计算 n?13【例1】 对于满足的正整数，( )nnn,,,,56...12n，，，，，， 77812A( B( C( D(AAAAn,12n,n,n,555 3【例2】 计算______( Α,7 36【例3】 计算，; AA106 25【例4】 计算______，_______( C,C,77 36【例5】 计算，; CC108 3434823【例6】 计算，，，，( AACCCC，7105071919 43【例7】 已知ΑΑ,140，求n的值( nn，21 xx,2AA,6【例8】 解不等式 88 9878【例9】 证明:( A9A8AA,，,9878 32【例10】 解方程( A100A,xx2 xx,2【例11】 解不等式( A6A,88 32【例12】 解方程: 11C24C,xx，1 mm,1】 【例13解不等式:( C3C,88 5，，,,1n,N[]x[2]2,【例14】 设表示不超过的最大整数(如，)，对于给定的，定义x,,4，， nnnx(1)(1),,，？3,,，,xxx,，3x,，,1，，，则当时，函数C的值域是C,，,,8n,2xxxx(1)(1),,，？，,,, ( ) 1616，，，,,28,56A( B( ,,,,33，，，, 281628,,,，,，4,:4,,28:28,56C( D( ，,,,,,,,333,,,，,， r【例15】 组合数恒等于( ) nrnr,,?，、1ZC，，n r，1nr,1r,1r,1r,1A( B( C( D(nr，，11CnrCCC，，，，n,1n,1n,1n,1rn，1 mmm，，12【例16】 已知，求、的值( C:C:C3:5:5,mnnnn，，，222 排列数组合数公式的应用 nnnn,,,3221n【例17】 已知，求的值( CCCCC，,,,C212020212221 262nn，，【例18】 若，则_______ CC,(),,nNn,2020 mmm,，11【例19】 若，则 CCC345????,nm,,nnn kkk，1nkkC(1)CC,，，【例20】 证明: nnn nn11，1ii,【例21】 证明:( CC,,，1nnin，，11,,00ii mmm,,,112【例22】 求证: ( AA(1)A,，,mnnn,,11 nkn,1kCn,,2【例23】 证明:( ,nk,0 n12301nn【例24】 证明:( 23()CCCnCCCC，，，，,，，，？？nnnnnnn2 nnnnn，1【例25】 求证:; CCCCC，，，，,？nnnnmnm，，，，，121 230129CC，CCCC，，，，？【例26】 计算:， 999945613 011220kkkkk,,【例27】 证明:((其中)kmn?，min{}CCCCCCCCC，，，，,？mnmnmnmnnm， 3xxx,,122【例28】 解方程 ,，，ΑCCCxxxx，，，，53334 3【例29】 确定函数的单调区间( Ax m0mx,R【例30】 规定，其中，为正整数，且，这是排列数A(1)(1),,,，xxxm？mA1,Axnx mn?(是正整数，且)的一种推广( nm, 3?求A的值; ,15mm,1mmm,1?排列数的两个性质:?AA,n，?AAA，,m(其中是正整mn,nn,1nnn，1mx,RAm数)(是否都能推广到(，是正整数)的情形?若能推广，写出推广的x 形式并给予证明;若不能，则说明理由(