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求下列微分方程的通解.doc

求下列微分方程的通解

小桥燕飞过
2017-09-05 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《求下列微分方程的通解doc》,可适用于职业岗位领域

习题,,求下列微分方程的通解:dy,x(),y,edx,dxdx,x,x,xx,x,,解,y,e(e,edxC),e(e,edxC),e(xC),,()xy,y,xx,,yy,x解原方程变为,xx,dxdx,,xxy,e(x),edxC,x,(x)xdxC,(xx)dxC,,xxxC,(xxxC),xx,xx,sinx()y,ycosx,e,,cosdxcosxdx,sinx,,解y,e(e,edxC),,sinx,sinxsinx,sinx,,e(e,edxC),e(xC),()y,ytanx,sinx,,tanxdxtanxdx,,解y,e(sinx,edxC),lncosx,lncosx,e(sinx,edxC),,cosx(sinxcosx,dxC),cosx,cosx(,cosxC),Ccosx,cosx,()(x,)y,xy,cosx,,xcosx,yy,解原方程变形为,x,x,xx,dxdx,,cosx,,xxy,e(,edxC),x,cosx,,,(x,)dxC,(sinxC),x,x,x,,d(),,,d,,d,d,,,解,,e(,ed,C),,,,,e(ed,C),,,,,,(),,eeC,Cedy(),xy,xdx,xdxxdx,,解y,e(x,edxC),,xx,e(x,edxC),,xx,x,,e(eC),Ce()ylnydx(x,lny)dy,,dx解原方程变形为x,,dyylnyy,dydy,,lnlnyyyyx,e(,edyC),y,(,lnydyC),lnyyC(lnyC)lny,,,lnylnydy()(x,),y(x,),dxdy,y,(x,)解原方程变形为,dxx,,dxdx,,,,xxy,e(x,),edxC,,(x,)(x,),dxC,x,,(x,)(x,)C,(x,)C(x,),dy(y,x)y,(),dxdx解原方程变形为,,x,,ydyydy,dy,,yyx,e(,y),edyC,,y(,y,dyC),y,y(C),yCy,y,求下列微分方程满足所给初始条件的特解:dy()~y|,,,ytanx,secxx,dxtanxdx,tanxdx,,解y,e(secx,edxC),,,(secx,cosxdxC),(xC),cosxcosx由y|,~得C,~故所求特解为y,xsecx,x,dyysinx,()~y|,,x,,dxxx,dxdxsinx,,xx解y,e(,edxC),xsinx,,(,xdxC),(,cosxC),xxx由y|,~得C,,,~故所求特解为,y,(,,,cosx)x,,xdycosxy|,,()ycotx,e~,,x,dx,cotxdxcotxdxcosx,,解y,e(e,edxC),cosxcosx,,(e,sinxdxC),(,eC),sinxsinxcosxy|,,由~得C,~故所求特解为,y,(,e),x,sinxdyy,()~y|,,x,dx,dxdx,,解y,e(,edxC),,xx,xx,x,()(),eedxC,eeC,Ce,,x由y|,~得~故所求特解为,y,(,e)C,,x,dy,x()~y|,,y,x,dxxxx,,dxdx,,,xx解y,e(,edxC),,,xxxx,,xe(edxC),xe(eC),x,x由y|,~得C,,~故所求特解为,y,x(,e)x,e,求一曲线的方程~这曲线通过原点~并且它在点(x~y)处的切线斜率等于xy,解由题意知y,,xy~并且y|,,x,由通解公式得dx,dxx,x,,y,e(xedxC),e(xedxC),,x,x,xx,e(,xe,eC),Ce,x,,x由y|,~得C,~故所求曲线的方程为y,(e,x,),x,,设有一质量为m的质点作直线运动~从速度等于零的时刻起~有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k)的力作用于它~此外还受一与速度成正比(比例系数为k)的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系,kkdvdv解由牛顿定律F,ma~得~即,m,kt,kvv,tdtmmdt由通解公式得kkkk,dtdt,ttkk,,mmmmv,e(t,edtC),e(t,edtC),,mmkkk,tttkkmmmm,,e(te,eC)kkkmC,由题意~当t,时v,~于是得,因此kkkk,tttkkmkmmmmvetee,(,)kkkkt,kkmm即,v,t,(,e)kk,设有一个由电阻R,,、电感L,h(亨)和电源电压E,sintV(伏)串联组成的电路,开关K合上后~电路中有电源通过,求电流i与时间t的函数关系,解由回路电压定律知didi~即,sint,,i,i,sintdtdt由通解公式得,dtdt,t,,,i,e(sint,edtC),sint,costCe,因为当t,时i,~所以C,,因此,,t,t(A),i,sint,coste,esin(t,),设曲在右半平面(x,)内与路径无关~其中f(x)可导~且yf(x)dxxf(x),xdy,Lf(),~求f(x),解因为当x,时~所给积分与路径无关~所以,,yf(x),xf(x),x~,y,x即f(x),f(x)xf,(x),x~,或,f(x)f(x),x,dxdxC,,xxfxeedxCxdxCx()()()因此,,,,,,,xxf(x),x由f(),可得~故,C,x,求下列伯努利方程的通解:dyy,y(cosx,sinx)(),dx解原方程可变形为,d(y)dy,~即,,cosx,sinx,y,sinx,cosxdxyydxdx,dx,,,y,e(sinx,cosx),edxC,,xxx~,e(cosx,sinx)edxC,Ce,sinx,x,原方程的通解为,Ce,sinxydy(),,xy,xydx解原方程可变形为,dyd(y),,x,x~即,xy,,xdxydxy,xdxxdx,,,y,e(,x),edxC,,xx,e(,xedxC),,xx,x()~,e,eC,Ce,,x原方程的通解为,,Ce,ydy()y,(,x)y,dx解原方程可变形为,dyd(y),,(,x)~即,,y,x,dxdxyydx,dx,,,y,e(x,),edxC,x,xx,e(x,)edxC,,x,Ce~,x原方程的通解为,,Ce,x,ydy(),,y,xydx解原方程可变形为,dyd(y),~即,,,xy,,xdxdxyy,dxdx,,,y,e(,x),edxC,,x,e(,xedxC),,x~,,xCe,x原方程的通解为,,,xCey()xdy,yxy(lnx)dx,,解原方程可变形为,dyd(y),,,,,(lnx)~即,y,,(lnx)dxxdxxyy,dxdx,,,xxy,e,(lnx),edxC,,,(lnx)xdxC,xC~,,xlnx,xxC原方程的通解为,,,xlnx,xyx,验证形如yf(xy)dxxg(xy)dy,的微分方程~可经变量代换v,xy化为可分离变量的方程~并求其通解,解原方程可变形为dy,yf(xy),,dxxg(xy)在代换v,xy下原方程化为dvx,vvf(v)dx,,~xxg(v)g(v)即~du,dxvg(v),f(v)xg(v)积分得~du,lnxC,vg(v),f(v)对上式求出积分后~将v,xy代回~即得通解,,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程~然后求出通解:dy(),,(xy)dx解令u,xy~则原方程化为dudu~即dx,,,,udxu两边积分得x,arctanuC,将u,xy代入上式得原方程的通解x,arctan(xy)C~即y,,xtan(x,C),dy(),,dxx,y解令u,x,y~则原方程化为du~即dx,,udu,,,dxu两边积分得x,,uC,将u,xy代入上式得原方程的通解~即(x,y),,xC(C,C),x,,(x,y)C()xy,y,y(lnxlny),解令u,xy~则原方程化为duuuu~即,x(,),lnudx,duxulnuxdxxxx两边积分得CxlnxlnC,lnlnu~即u,e,将u,xy代入上式得原方程的通解CxCxxy,e~即,y,ex()y,,y(sinx,)ysinx,sinx,cosx,解原方程变形为y,,(ysinx,),cosx,令u,ysinx,~则原方程化为du~即,,cosx,u,cosxdu,dxdxu两边积分得,,,xCu,ysinx,代入上式得原方程的通解将u~即y,,sinx,,,,xCxCysinx,()y(xy)dxx(xyxy)dy,,解原方程变形为dyy(xy),,,dxx(xyxy)令u,xy~则原方程化为u(u)duuduu,,,,~即,xdxxdxxx(uu)x(uu)分离变量得,dx,()duxuuu两边积分得,lnxC,,,lnuuu将u,xy代入上式得原方程的通解~lnxC,,,lnxyxyxy即xylny,xy,,Cxy(C,C),

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