ch 8 多元函数微分法及其应用

ch 8 多元函数微分法及其应用ch 8 多元函数微分法及其应用第八章多元函数微分法及其应用教学目的: 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念...

ch 8 多元函数微分法及其应用第八章多元函数微分法及其应用教学目的: 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点: 1、二元函数的极限与连续性; 2、函数的偏导数和全微分; 3、方向导数与梯度的概念及其计算; 4、多元复合函数偏导数; 5、隐函数的偏导数 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线; 7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点: 1、二元函数的极限与连续性的概念; 2、全微分形式的不变性; 3、复合函数偏导数的求法; 4、二元函数的二阶泰勒公式; 5、隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数; 6、拉格郎日乘数法; 7、多元函数的最大值和最小值。第 1 页共 45 页 ?8, 1 多元函数的基本概念一、平面点集n维空间 1(平面点集由平面解析几何知道～当在平面上引入了一个直角坐标系后～平面上的点P与有序二元实数组(x～ y)之间就建立了一一对应, 于是～我们常把有序实数组(x～ y)与平面上的点P视作是等同的, 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面, 2二元的序实数组(x～ y)的全体～即R,R，R,{(x～ y)|x～ y,R}就表示坐标平面, 坐标平面上具有某种性质P的点的集合～称为平面点集～记作 E,{(x～ y)| (x～ y)具有性质P}, 例如～平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 222 C,{(x～ y)| x，y,r}, 如果我们以点P表示(x～ y)～以|OP|表示点P到原点O的距离～那么集合C可表成 C,{P| |OP|,r}, 邻域: 设P(x～ y)是xOy平面上的一个点～ ,是某一正数, 与点P(x～ y)距离小于,000000的点P (x～ y)的全体～称为点P的,邻域～记为U (P～ ,，～即 00 22 或U(P,,),{(x, y)| (x,x)，(y,y),, }, U(P,,),{P| |PP|,,}00000 邻域的几何意义: U (P～ ,)表示xOy平面上以点P(x～ y)为中心、, >0为半径0000 的圆的内部的点P (x～ y)的全体, , 点P的去心,邻域～记作～即 U(P, ,)00 , , U(P, ,),{P| 0,|PP|,,}00 注: 如果不需要强调邻域的半径,～则用U (P)表示点P的某个邻域～点P的000 , 去心邻域记作, U(P)0 点与点集之间的关系: 22 任意一点P,R与任意一个点集E,R之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点P的某一邻域U(P)～使得U(P),E～则称P为E的内点, (2)外点: 如果存在点P的某个邻域U(P)～使得U(P),E,,～则称P为E的外点, (3)边界点: 如果点P的任一邻域内既有属于E的点～也有不属于E的点～则称P点为E的边点, E的边界点的全体～称为E的边界～记作,E, 第 2 页共 45 页 E的内点必属于E, E的外点必定不属于E, 而E的边界点可能属于E～也可能不属于E , 聚点: , 如果对于任意给定的,,0～点P的去心邻域内总有E中的点～则称P是U(P,,) E的聚点, 由聚点的定义可知～点集E的聚点P本身～可以属于E～也可能不属于E , 例如～设平面点集 22 E,{(x～ y)|1,x，y,2}, 2222满足1,x，y,2的一切点(x～ y)都是E的内点, 满足x，y,1的一切点(x～ y)都是E的 22边界点～它们都不属于E, 满足x，y,2的一切点(x～ y)也是E的边界点～它们都属于E, 点集E以及它的界边,E上的一切点都是E的聚点, 开集: 如果点集E 的点都是内点～则称E为开集, c 闭集: 如果点集的余集E为开集～则称E为闭集, 22 开集的例子: E,{(x～ y)|10～ h>0}内取定一对值(r ～ h)时～ V对应的值就随之确定, 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系第 4 页共 45 页 RT ～ p,V 其中R为常数, 这里～当V、T在集合{(V ～T) | V>0～ T>0}内取定一对值(V～ T)时～ p的对应值就随之确定, 例3 设R 是电阻R、R并联后的总电阻～由电学知道～它们之间具有关系 12 RR12 R,, R，R12 这里～当R、R在集合{( R～ R) | R>0～ R>0}内取定一对值( R ～ R)时～ R的对应值12121212就随之确定, 2 定义1 设D是R的一个非空子集～称映射f : D,R为定义在D上的二元函数～通常记为 z,f(x～ y)～ (x～ y),D (或z,f(P)～ P,D) 其中点集D称为该函数的定义域～ x～ y称为自变量～ z称为因变量, 上述定义中～与自变量x、y的一对值(x～ y)相对应的因变量z的值～也称为f在点(x～ y)处的函数值～记作f(x～ y)～即z,f(x～ y), 值域: f(D),{z| z,f(x～ y)～ (x～ y),D}, 函数的其它符号: z,z(x～ y)～ z,g(x～ y)等, 类似地可定义三元函数u,f(x～ y～ z)～ (x～ y～ z),D以及三元以上的函数, n 一般地～把定义1中的平面点集D换成n维空间R内的点集D～映射f : D,R就称为定义在D上的n元函数～通常记为 u,f(x～ x～ , , , ～ x)～ (x～ x～ , , , ～ x),D～ 12n12n 或简记为 u,f(x)～ x,(x～ x～ , , , ～ x),D～ 12n 也可记为 u,f(P)～ P(x～ x～ , , , ～ x),D , 12n 关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u,f(x)时～就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域, 因而～对这类函数～它的定义域不再特别标出, 例如～函数z,ln(x，y)的定义域为{(x～ y)|x，y>0}(无界开区域), 2222 函数z,arcsin(x，y)的定义域为{(x～ y)|x，y,1}(有界闭区域), 二元函数的图形: 点集{(x～ y～ z)|z,f(x～ y)～ (x～ y),D}称为二元函数z,f(x～ y)的图形～二元函数的图形是一张曲面, 22 例如 z,ax，by，c是一张平面～而函数z=x+y的图形是旋转抛物面, 第 5 页共 45 页三, 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似～如果在P(x～ y),P(x～ y)的过程中～对应的函数000值f(x～ y)无限接近于一个确定的常数A～则称A是函数f(x～ y)当(x～ y),(x～ y)时的极00 限, 定义2 设二元函数f(P),f(x～ y)的定义域为D～ P(x～ y)是D的聚点, 如果存在常数A～ 000 ,对于任意给定的正数,总存在正数,～使得当时～都有 P(x,y),D,U(P,,)0 |f(P),A|,|f(x～ y),A|,, 成立～则称常数A为函数f(x～ y)当(x～ y),(x～ y)时的极限～记为 00 ～或f(x～ y),A ((x～ y),(x～ y))～ limf(x,y),A00(x,y),(x,y)00 也记作或f(P),A(P,P), limf(P),A0P,P0 上述定义的极限也称为二重极限, 122 例4. 设～求证, limf(x,y),0f(x,y),(x，y)sin22(x,y),(0,0)x，y 证因为 11222222 ～ |f(x,y),0|,|(x，y)sin,0| ,|x，y|,|sin| ,x，y2222x，yx，y可见,, >0～取～则当 ,,, 22～ 0,(x,0)，(y,0),, , 即时～总有 P(x,y),D,U(O,,) |f(x～ y),0|,,～因此limf(x,y),0, (x,y),(0,0) 必须注意: (1)二重极限存在～是指P以任何方式趋于P时～函数都无限接近于A, 0 (2)如果当P以两种不同方式趋于P时～函数趋于不同的值～则函数的极限不0 存在, 讨论: 第 6 页共 45 页 xy,22xy ，,0,22 函数在点(0～ 0)有无极限, fxy(,),xy，,22,0 x，y,0, 提示: 当点P(x～ y)沿x轴趋于点(0～ 0)时～ , limf(x,y),limf(x, 0),lim0,0(x,y),(0,0)x,0x,0 当点P(x～ y)沿y轴趋于点(0～ 0)时～ , limf(x,y),limf(0, y),lim0,0(x,y),(0,0)y,0y,0 当点P (x～ y)沿直线y,kx有 2xykxk , lim,lim,222222xy,x,(,)(0,0)0x，yx，kx1，ky,kx 因此～函数f(x～ y)在(0～ 0)处无极限, 极限概念的推广: 多元函数的极限, 多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似, xysin() 例5 求, limx(x,y),(0,2) sin(xy)xyxysin()sin() 解: ,1，2,2, ,,y,lim,limylimlim(x,y),(0,2)(x,y),(0,2)(x,y),(0,2)(x,y),(0,2)xxyxy 四, 多元函数的连续性定义3 设二元函数f(P),f (x～ y)的定义域为D～ P(x～ y)为D的聚点～且P,D , 0000 如果 limf(x,y),f(x,y)～ 00xy,xy(,)(,)00 则称函数f (x～ y)在点P(x～ y)连续, 000 如果函数f (x～ y)在D的每一点都连续～那么就称函数f (x～ y)在D上连续～或者称f (x～ y)是D上的连续函数, 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去, 2 例6设f(x,y),sin x～证明f(x～ y)是R上的连续函数, 2 证设P(x～ y), R, ,,,0～由于sin x在x处连续～故，,,0～当|x,x|,,时～有 00000 |sin x,sin x|,,, 0 第 7 页共 45 页以上述,作P的,邻域U(P～ ,)～则当P(x～ y),U(P～ ,)时～显然 000 |f(x～ y),f(x～ y)|,|sin x,sin x|,,～ 000 即f(x～ y),sin x在点P(x～ y) 连续, 由P的任意性知～ sin x作为x～ y的二元函数在00002R上连续, 2 证对于任意的P(x～ y),R, 因为 000 ～ limf(x,y),limsinx,sinx,f(x,y)000xy,xyxy,xy(,)(,)(,)(,)0000 所以函数f(x,y),sin x在点P(x～ y)连续, 由P的任意性知～ sin x作为x～ y的二元函00002数在R上连续, 类似的讨论可知～一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时～它们在各自的定义域内都是连续的, 定义4设函数f(x～ y)的定义域为D～ P(x～ y)是D的聚点, 如果函数f(x～ y)在点000 P(x～ y)不连续～则称P(x～ y)为函数f(x～ y)的间断点, 000000 例如 xy,22xy ，,0,22 函数～ fxy(,),x，y,22,0 x，y,0, 2其定义域D,R～ O(0～ 0)是D的聚点, f(x～ y)当(x～ y),(0～ 0)时的极限不存在～所以点O(0～ 0)是该函数的一个间断点, 122z,sin 又如～函数～其定义域为D,{(x～ y)|x，y,1}～圆周C,{(x～ 22x，y,1 22y)|x，y,1}上的点都是D的聚点～而f(x～ y)在C上没有定义～当然f(x～ y)在C上各点都不连续～所以圆周C上各点都是该函数的间断点, 注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点, 可以证明～多元连续函数的和、差、积仍为连续函数, 连续函数的商在分母不为零处仍连续, 多元连续函数的复合函数也是连续函数, 多元初等函数: 与一元初等函数类似～多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数～这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的, 22x，x,y222x，y，z 例如～ sin(x，y)～都是多元初等函数, e21，y 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的, 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域, 由多元连续函数的连续性～如果要求多元连续函数f(P)在点P处的极限～而该0点又在此函数的定义区域内～则第 8 页共 45 页 , limf(P),f(P)0p,p0 xy，例7 求, limxy(x,y),(1,2) x，y 解: 函数f(x,y),是初等函数～它的定义域为 xy D,{(x～ y)|x,0～ y,0}, P(1～ 2)为D的内点～故存在P的某一邻域U(P),D～而任何邻域都是区域～所以000 U(P)是f(x～ y)的一个定义区域～因此 0 3lim(,)(1,2) , fxy,f,2(x,y),(1,2) 一般地～求时～如果f(P)是初等函数～且P是f(P)的定义域的内点～ limf(P)0P,P0 则f(P)在点P处连续～于是 0 , limf(P),f(P)0P,P0 xy，1,1 例8 求, limxy(x,y),(0, 0) xy，1,1(xy，1,1)(xy，1，1)11 解: lim,lim, lim,,xy2(x,y),(0, 0)(x,y),(0, 0)(x,y),(0, 0)xy(xy，1，1)xy11，，多元连续函数的性质: 性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数～必定在D上有界～且能取得它的最大值和最小值, 性质1就是说～若f(P)在有界闭区域D上连续～则必定存在常数M,0～使得对一切P,D～有|f(P)|,M, 且存在P、P ,D～使得 12 f(P),max{f(P)|P,D}～ f(P),min{f(P)|P,D}～ 1 2 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值, 第 9 页共 45 页 ?8, 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z,f(x～ y)～如果只有自变量x 变化～而自变量y固定～这时它就是x的一元函数～这函数对x的导数～就称为二元函数z,f(x～ y)对于x的偏导数, 定义设函数z,f(x～ y)在点(x～ y)的某一邻域内有定义～当y固定在y而x在000x处有增量,x时～相应地函数有增量 0 f(x，,x～ y),f(x～ y), 0000 如果极限 fx，,xy,fxy(,)(,)0000 lim,x,,x0 存在～则称此极限为函数z,f(x～ y)在点(x～ y)处对x的偏导数～记作 00 ,f,z～～～或, f(x,y)zx,xx,xx,x0xx0000,x,xy,yy,yy,y000 例如 fx，,xy,fxy(,)(,)0000fxy,, (,)limx00,x,,x0 类似地～函数z,f(x～ y)在点(x～ y)处对y 的偏导数定义为 00 fxy，,y,fxy(,)(,)0000～ lim,y,y,0 ,f,z记作～～～或f(x～ y), zy00x,xx,xx,xy000,y,yy,yy,yy,y000 偏导函数: 如果函数z,f(x～ y)在区域D内每一点(x～ y)处对x的偏导数都存在～那么这个偏导数就是x、y的函数～它就称为函数z,f(x～ y)对自变量的偏导函数～记x作 ,f,z～～～或, zf(x,y)xx,x,x fx，,xy,fxy(,)(,)fxy,偏导函数的定义式: , (,)limx,x,x,0 类似地～可定义函数z,f(x～ y)对y的偏导函数～记为 ,f,z ～～ z～或f(x,y), y y,y,y 第 10 页共 45 页 fxy，,y,fxy(,)(,)偏导函数的定义式: fxy,, (,)limy,y,y,0 ,f,f求时～只要把y暂时看作常量而对x求导数, 求时～只要把x暂时看作,y,x 常量而对y求导数, 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确, ,, ～ , xxxxf(x,y),f(x,y)f(x,y),f(x,y)00x00xy00y,,yyyy00 dd ～ , f(x,y),[f(x,y)]f(x,y),[f(x,y)]y000x000,yy,xx00dydx 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数, 例如三元函数u,f(x～ y～ z)在点(x～ y～ z)处对x的偏导数定义为 fx，,xyz,fxyz(,,)(,,)fxyz, ～ (,,)limx,x,x,0 其中(x～ y～ z)是函数u,f(x～ y～ z)的定义域的内点, 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题, 22 例1 求z,x，3xy，y在点(1～ 2)处的偏导数, zz,z,z,, 解～ , ～ , ,3x，2y,2x，3y,2,1，3,2,8,3,1，2,2,7x,1x,1xy,y,,,xy,2y,2 2 例2 求z,xsin 2y的偏导数, ,z,z2 解～ , ,2xcos2y,2xsin2y,y,x x,z1,zy 例3 设～求证: , ，,2zz,x(x,0,x,1)y,xlnx,y ,z,zyy,1 证～ ,xlnx, ,yx,y,x x,z1,zx1y,1yyy ，,yx，xlnx,x，x,2z, y,xlnx,yylnx 222 例4 求r,x，y，z的偏导数, yy,rxx,r,,,, 解 , , 222222,xr,yrx，y，zx，y，z 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)～第 11 页共 45 页 ,p,V,T求证: , ,,,,1,V,T,p ,pRTRT 证因为～ , ,,p,2V,VV ,VRRT ～ , ,V,p,Tp pV,TV ～ , T,,R,pR ,p,V,TRTRVRT所以, ,,,,,,,,,,12,V,T,ppRpVV 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号～不能看作分子分母之商, 二元函数z,f(x～ y)在点(x～ y)的偏导数的几何意义: 00 f(x～ y),[f(x～ y)],是截线z,f(x～ y)在点M处切线T对x轴的斜率, x000x00x f(x～ y) ,[f(x～ y)],是截线z,f(x～ y)在点M处切线T对y轴的斜率, y000y00y 偏导数与连续性: 对于多元函数来说～即使各偏导数在某点都存在～也不能保证函数在该点连续, 例如 xy,22xy ，,0,22 fxy (,),xy，,22,0 x，y,0, 在点(0～ 0)有～ f(0～ 0),0～ f(0～ 0),0～但函数在点(0～ 0)并不连续, xy 提示: ～ , f(x, 0),0f(0, y),0 dd ～ f(0, 0),[f(0, y)],0, f(0, 0),[f(x, 0)],0yxdydx 当点P(x～ y)沿x轴趋于点(0～ 0)时～有 limf(x,y),limf(x, 0),lim0,0, (x,y),(0,0)x,0x,0 当点P(x～ y)沿直线y,kx趋于点(0～ 0)时～有 2xykxk lim,lim,, 222222xy,x,(,)(0,0)0x，yx，kx1，ky,kx 第 12 页共 45 页因此～不存在～故函数f(x～ y)在(0～ 0)处不连续, limf(x,y)(x,y),(0,0) 类似地～可定义函数z,f(x～ y)对y的偏导函数～记为 ,f,z ～～ z～或, f(x,y)y y,y,y fxy，,y,fxy(,)(,)偏导函数的定义式: fxy,, (,)limy,y,y,0 二, 高阶偏导数设函数z,f(x～ y)在区域D内具有偏导数 ,z,z～～ ,f(x,y),f(x,y)yx,y,x 那么在D内f(x～ y)、f(x～ y)都是x～ y 的函数, 如果这两个函数的偏导数也存在～则xy 称它们是函数z,f(x～ y)的二偏导数, 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z,f(x～ y)在区域D内的偏导数f(x～ y)、f(x～ y)也具有偏导数～ xy则它们的偏导数称为函数z,f(x～ y)的二阶偏导数, 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 22,,z,z,,z,z ～～ (),,f(x,y)(),,f(x,y)xxxy2,y,x,x,y,x,x,x 22,,z,z,,z,z(),,f(x,y) ～ , (),,f(x,y)yyyx2,y,y,x,y,y,x,y 22,,z,z,,z,z其中～称为混合偏导数, (),,f(x,y)(),,f(x,y)xyyx,y,x,x,y,x,y,y,x 2222,,z,z,,z,z,,z,z,,z,z,,(),～～～ , ()()(),22,y,x,x,y,x,y,y,x,y,y,x,x,y,x 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数, 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数, 2223,z,z,z,z323 例6 设z,xy,3xy,xy，1～求、、和, 23,y,x,x,y,x,x 第 13 页共 45 页 ,z,z32223 解～ , ,2xy,9xy,x,3xy,3y,y,y,x 23,z,z22 ～ , ,6xy,6y32,x,x 22,z,z2222 ～ , ,6xy,9y,1,6xy,9y,1,x,y,y,x 22,z,z由例6观察到的问题: ,,y,x,x,y 22,z,z 定理如果函数z,f(x～ y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续～ ,y,x,x,y 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等, 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数, 22,z,z22，,0 例7 验证函数满足方程, z,lnx，y22,x,y 12222 证因为～所以 z,lnx，y,ln(x，y)2 y,zx,z,, ～～ 2222,x,yx，yx，y 22222(x，y),x,2xy,x,z,, ～ 2222222,x(x，y)(x，y) 22222(x，y),y,2yx,y,z,, , 2222222,y(x，y)(x，y) 222222x,yy,x,z,z，,，,0因此 , 22222222,x,y(x，y)(x，y) 222,u,u,u1u,，，,0 例8(证明函数满足方程～ 222r,x,y,z 第 14 页共 45 页 222其中, r,x，y，z ,u1,r1xx 证: ～ ,,,,,,,,223,x,xrrrr 22,u13x,r13x , ,,，,,,，23435,x,xrrrr 22223y,u1,u13z同理～ , ,,，,,，235235,yrr,zrr 222222y3,u,u,uxz13113，，,,，，,，，,，因此 ()()()222353535,x,y,zrrrrrr 22223(x，y，z)333r , ,,，,,，,03535rrrr ,,r3332r,x,(r)r,x,3r2,u,x,x,x提示: , ,(,),,,,2366,x,xrrr 第 15 页共 45 页 ?8, 3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系～有偏增量与偏微分: f(x，,x～ y),f(x～ y),f(x～ y),x～ x f(x，,x～ y),f(x～ y)为函数对x的偏增量～ f(x～ y),x为函数对x的偏微分, x f(x～ y，,y),f(x～ y),f(x～ y),y～ y f(x～ y，,y),f(x～ y)为函数)对y的偏增量～ f(x～ y),y为函数对y的偏微分, y 全增量: ,z, f(x，,x～ y，,y),f(x～ y), 计算全增量比较复杂～我们希望用,x、,y的线性函数来近似代替之, 定义如果函数z,f(x～ y)在点(x～ y)的全增量 ,z, f(x，,x～ y，,y),f(x～ y) 可表示为 22 ～ ,z,A,x，B,y，o(,) (,,(,x)，(,y) )其中A、B不依赖于,x、,y 而仅与x、y 有关～则称函数z,f(x～ y)在点(x～ y)可微分～而称A,x，B,y为函数z,f(x～ y)在点(x～ y)的全微分～记作dz～即 dz,A,x，B,y, 如果函数在区域D内各点处都可微分～那么称这函数在D内可微分, 可微与连续: 可微必连续～但偏导数存在不一定连续, 这是因为～如果z,f(x～ y)在点(x～ y)可微～则 ,z, f(x，,x～ y，,y),f(x～ y),A,x，B,y，o(,)～于是～ lim,z,0,,0 从而 limf(x，,x,y，,y),lim[f(x,y)，,z],f(x,y), (,x,,y),(0,0),,0 因此函数z,f(x～ y)在点(x～ y)处连续, 可微条件: 定理1(必要条件) ,z,z 如果函数z,f(x～ y)在点(x～ y)可微分～则函数在该点的偏导数、必定存在～ ,x,y ,z,z且函数z,f(x～ y)在点(x～ y)的全微分为 , dz,,x，,y,x,y 证设函数z,f(x～ y)在点P(x～ y)可微分, 于是～对于点P的某个邻域内的任意一点P ,(x，,x～ y，,y)～有,z,A,x，B,y，o(,), 特别当,y,0时有第 16 页共 45 页 f (x，,x～ y),f(x～ y),A,x，o(|,x|), 上式两边各除以,x～再令,x,0而取极限～就得 fx，,xy,fxy(,)(,) ～ ,Alim,x,0,x ,z,z,z,z从而偏导数存在～且, 同理可证偏导数存在～且, 所以 ,A,B,x,y,x,y ,z,z , dz,,x，,y,x,y 简要证明: 设函数z,f(x～ y)在点(x～ y)可微分, 于是有,z,A,x，B,y，o(,), 特别当 ,y,0时有 f (x，,x～ y),f(x～ y),A,x，o(|,x|), 上式两边各除以,x～再令,x,0而取极限～就得 f(x，,x,y),f(x,y)o(|,x|) ～ lim,lim[A，],A,x,0,x,0,x,x ,z,z,z,z,z,z从而存在～且, 同理存在～且, 所以, ,A,Bdz,,x，,y,x,y,x,y,x,y ,z,z 偏导数、存在是可微分的必要条件～但不是充分条件, ,x,y 例如～ xy,22xy ，,0,22 函数fxy在点(0～ 0)处虽然有f(0～ 0),0及f(0～ 0),0～ (,),xy， x y, 22,xy0 ，,0, 但函数在(0～ 0)不可微分～即,z,[f(0～ 0),x，f(0～ 0),y]不是较,高阶的无穷小, xy 这是因为当(,x～ ,y)沿直线y,x趋于(0～ 0)时～ ,z,[f(0, 0),,x，f(0, 0),,y],x,,yxy,x,,x1 ,,,,0, 2222,2(,x)，(,y)(,x)，(,x) 定理2(充分条件) ,z,z 如果函数z,f(x～ y)的偏导数、在点(x～ y)连续～则函数在该点可微分, ,x,y 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数, 按着习惯～ ,x、,y分别记作dx、dy～并分别称为自变量的微分～则函数z,f(x～ y) 的全微分可写作 ,z,z , dz,dx，dy,x,y 第 17 页共 45 页二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理, 叠加原理也适用于二元以上的函数～例如函数u,f (x～ y～ z) 的全微分为 ,u,u,u , du,dx，dy，dz,x,y,z 22 例1 计算函数z,xy ，y的全微分, ,z,z2 解因为～～ ,2xy,x，2y,x,y 2所以dz,2xydx，(x，2y)dy , xy 例2 计算函数z,e在点(2～ 1)处的全微分, ,z,zxyxy解因为～～ ,ye,xe,x,y ,z,z22 ～～ ,e,2ex,2x,2,x,yy,1y,1 22所以 dz,edx，2edy , yyz 例3 计算函数的全微分, u,x，sin，e2 y,u1,u,uyzyz 解因为～ ,cos，ze～ ,ye～ ,1,x,y22,z y1yzyz所以 , du,dx，(cos，ze)dy，yedz22 *二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z,f (x～ y)在点P (x～ y)的两个偏导数f (x～ y) ～ f(x～ y)连续～并且|,x|～ x y |,y|都较小时～有近似等式 ,z ,dz, f (x～ y),x，f(x～ y),y ～ x y 即 f (x，,x～ y，,y) , f(x～ y)，f (x～ y),x，f(x～ y),y , x y 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算, 例4 有一圆柱体～受压后发生形变～它的半径由20cm增大到20, 05cm～高度由100cu减少到99cm, 求此圆柱体体积变化的近似值, 解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V～则有 2 V, rh , , 已知r,20～ h,100～ ,r,0, 05～ ,h,,1, 根据近似公式～有 2 ,V,dV,V,r，V,h,2,rh,r，,r,h rh23 ,2,，20，100，0, 05，,，20，(,1),,200, (cm), 3即此圆柱体在受压后体积约减少了200, cm, 第 18 页共 45 页 )2 02 例5 计算(1, 04,的近似值, y 解设函数f (x～ y),x, 显然～要计算的值就是函数在x,1,04～ y,2,02时的函数值f(1,04～ 2,02), 取x,1～ y,2～ ,x,0,04～ ,y,0,02, 由于 f (x，,x～ y，,y), f(x～ y)，f(x～ y),x，f(x～ y),y x y yy,1 y ,x，yx,x，xln x ,y ～所以 2 0222,12(1,04),,1，2，1，0,04，1，ln1，0,02,1,08, 24,l 例6 利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是, ,g2T现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=100?0.1cm、T=2?0.004s. 问由于测定l与 T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少, 解如果把测量l与T所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产 24,l生的误差就是二元函数的全增量的绝对值|Δg|. 由于|Δl|～ |ΔT|都很小～因此,g2T 我们可以用dg来近似地代替Δg, 这样就得到g的误差为 ,g,g |,g|,|dg|,|,l，,T|,l,T gg,, ,||,,，||,,lTlT,, l122 ～ ,4,(,，,)lT23TT 其中,与,为l与T的绝对误差, 把l=100～ T=2, ,=0.1, δ=0.004代入上式～得g的lTlT绝对误差约为 0.12，1002 ,,4,(，，0.004)g2322 22 . ,0.5,,4.93(cm/s) 2,,g0.50 ,,0.5, 02g,4，100 22 从上面的例子可以看到～对于一般的二元函数z=f(x, y), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为,、,, 即|Δx |,,, |Δy |,,, xyxy ,z,z则z的误差 |,z|,|dz|,|,x，,y| ,x,y 第 19 页共 45 页 ,z,z ,||,|,x|，||,|,y|,x,y zz,, , ,||,,，||,,xyxy,,从而得到z的绝对误差约为 zz,, , ,,||,,，||,,zxyxy,,z的相对误差约为 z,z, ,y,x,z , ,,,，xyzzz|| 第 20 页共 45 页 ?8, 4 多元复合函数的求导法则 dz 设z,f(u～ v)～而u,(t)～ v,(t)～如何求, ,,dt ,z,z 设z,f(u～ v)～而u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～如何求和, ,y,x 1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有 dz,zdu,zdv ,,，,, dt,udt,vdt 简要证明1: 因为z,f(u～ v)具有连续的偏导数～所以它是可微的～即有 ,z,z , dz,du，dv,u,v 又因为u,,(t)及v,,(t)都可导～因而可微～即有 dudv du,dt～ dv,dt～ dtdt 代入上式得 ,zdu,zdv,zdu,zdv dz,,dt，,dt,(,，,)dt～ ,udt,vdt,udt,vdt dz,zdu,zdv,,，,从而 , dt,udt,vdt 简要证明2: 当t取得增量,t时～ u、v及z相应地也取得增量,u、,v及,z , 由z,f(u～ v)、u,,(t)及v,,(t)的可微性～有 ,zdu,zdv,z,z ,z,,u，,v，o(,),[,t，o(,t)]，[,t，o(,t)]，o(,) ,u,v,udt,vdt ,zdu,zdv,z,z,(,，,),t，(，)o(,t)，o(,) ～ ,udt,vdt,u,v o(,t)o(),,z,zdu,zdv,z,z,,，,，(，)，～ ,t,udt,vdt,u,v,t,t 令,t,0～上式两边取极限～即得 dz,zdu,zdv,,，, , dt,udt,vdt 22uv(,)，(,),,oo()()dudv22注:, lim,lim,,0,()，(),0t,tdtdt,t,,t,,,00 推广: 设z,f (u～ v～ w)～ u,,(t)～ v,,(t)～ w,,(t)～则z,f[,(t)～ ,(t)～ ,(t)]对t 的导数为: 第 21 页共 45 页 dz,zdu,zdv,zdw ,，，, dt,udt,vdt,wdt dz上述称为全导数, dt 2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～ ,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有 ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，, ,,，,～ , ,y,u,y,v,y,x,u,x,v,x 推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则 ,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，, ,,，,，,～ , ,y,u,y,v,y,w,y,x,u,x,v,x,w,x 讨论: ,z,z (1)设z,f(u～ v)～ u,,(x～ y)～ v,,(y)～则,, ,,,y,x ,z,z,u,zdv,z,z,u,,，,,, 提示: ～ , ,y,u,y,vdy,x,u,x ,z,z (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,,y,x ,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y ,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看作不变而对x的,x,x,x ,f,f,z偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导数, 与也朋类似,x,y,y的区别, 3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形定理3 如果函数u,,(x～ y)在点(x～ y)具有对x及对y的偏导数～函数v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(x～ y)～ ,(y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有 ,z,z,u,zdv,z,z,u,,，,,, ～ , ,y,u,y,vdy,x,u,x ,z,zu 例1 设z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,y,x 第 22 页共 45 页 ,z,z,u,z,v 解 ,,，,,x,u,x,v,x uu ,esin v,y，ecos v,1 x y ,e[y sin(x，y)，cos(x，y)]～ ,z,z,u,z,v,,，, ,y,u,y,v,y uu ,esin v,x，ecos v,1 xy ,e[x sin(x，y)，cos(x，y)], 222,u,ux，y，z2 例2 设～而, 求和, u,f(x,y,z),ez,xsiny,y,x ,f,f,u,z 解 ,，, ,x,x,z,x 222222x，y，zx，y，z ,2xe，2ze,2xsiny 224222x，y，xsiny , ,2x，(1，2xsiny)e ,f,f,u,z,，, ,y,y,z,y 222222x，y，zx，y，z2 ,2ye，2ze,xcosy 22424x，y，xsiny , ,2(y，xsinycosy)e dzt 例3 设z,uv，sin t ～而u,e～ v,cos t, 求全导数, dtdz,zdu,zdv,z,,，,，解 dt,udt,vdt,t t ,v,e，u,(,sin t)，cos t t t ,ecos t,esin t，cos t t ,e(cos t,sin t)，cos t , 2,w,w 例4 设w,f(x，y，z～ xyz)～ f具有二阶连续偏导数～求及, ,x,x,z 解令u,x，y，z～ v,xyz ～则w,f(u～ v), ,f(u,v),f(u,v),,,,,,,f,f, 引入记号: ～ , 同理有～～等, fff22112211,u,u,v ,f,f,w,u,v,, ～ ,,，,,f，yzf12,x,u,x,v,x 第 23 页共 45 页 2,,,f,f,w,12,,, ,f，yzf,，yf，yz()122,x,z,z,z,z 2,,,,,,,,, ,f，xyf，yf，yzf，xyzf111222122 2,,,,,,, , ,f，y(x，z)f，yf，xyzf1112222 ,,,,,,,f,f,f,f,f,f,u,v,u,v111222,,,,,,,, 注: ～ , ,,，,,f，xyf,,，,,f，xyf11122122,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z 例5 设u,f(x～ y)的所有二阶偏导数连续～把下列表达式转换成极坐标系中的形式: 22,u,u,u,u22(1), (2)，, ()，()22,x,y,x,y 解由直角坐标与极坐标间的关系式得 u,f(x～ y),f(,cosθ～ ,sinθ),F(,～ θ)～ y22其中x,,cosθ～ y,,sinθ～～ ,arctan, ,,x，y,x应用复合函数求导法则～得 ,,,yysin,u,u,u,,,ux,u,u,u,,，～ ,,,cos,2,x,,x,,x,,,,,,,,,,,,, ,,y,,u,u,u,,,u,ux,u,ucos,,， , ,，,sin，2,y,,y,,y,,,,,,,,,,,,, 两式平方后相加～得 ,u,u,u,u12222，,，, ()()()()2,x,y,,,,, 再求二阶偏导数～得 2,,,u,,u,,u,,,,，, ()()2,,x,x,,x,x,x,, ,,,,,u,usin,,u,usinsin, ,(cos,,),cos, ,(cos,),,,,,,,,,,,,,,,, 22222,,,,,,,u,u,usincossin,u2sincos,usin2,,,， , ，，cos22222,,,,,,,,,,,,,,,, 同理可得第 24 页共 45 页 222222,,,,,,,u,u,u,usincoscos,u2sincos,ucos2,,，， , ,，sin222222,,,,,,,,,,,y,,,,,,两式相加～得 22222,u,u,u,u,,u,u111,,,，,，，,， , [()]2222222,,,,,,x,y,,,,,,,, 全微分形式不变性: 设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分 ,z,z , dz,du，dv,u,v 如果z,f(u～ v)具有连续偏导数～而u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)也具有连续偏导数～则 ,z,z dz,dx，dy,x,y ,z,u,z,v,z,u,z,v ,(，)dx，(，)dy,u,x,v,x,u,y,v,y ,z,u,u,z,v,v ,(dx，dy)，(dx，dy),u,x,y,v,x,y ,z,z , ,du，dv,u,v 由此可见～无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微分形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性, u 例6 设z,esin v～ u,x y～ v,x，y～利用全微分形式不变性求全微分, ,z,z u u 解 , esin vdu， ecos v dv dz,du，dv,u,v u u , esin v(y dx，x dy )， ecos v(dx，dy) u u u u ,( yesin v， ecos v)dx，(xesin v， ecos v )dy xy xy ,e [y sin(x，y)，cos(x，y)]dx， e [x sin(x，y)，cos(x，y)]dy , 第 25 页共 45 页 ?8, 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F(x～ y)在点P(x～ y)的某一邻域内具有连续偏导数～ F(x～ y),0～ F(x～ 0000y0y),0～则方程F(x～ y),0在点(x～ y)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连000 续导数的函数y,f(x)～它满足条件y,f(x)～并有 00 Fdyx , ,,dxFy 求导公式证明: 将y,f(x)代入F(x～ y),0～得恒等式 F(x～ f(x)),0～ dy,F,F等式两边对x求导得～，,,0,x,ydx 由于F连续～且F(x～ y),0～所以存在(x～ y)的一个邻域～在这个邻域同F ,0～于 yy0000y Fdyx是得 , ,,dxFy 22 例1 验证方程x，y,1,0在点(0～ 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x,0时y,1的隐函数y,f(x)～并求这函数的一阶与二阶导数在x,0的值, 22 解设F(x～ y),x，y,1～则F,2x～ F,2y～ F(0～ 1),0～ F(0～ 1),2,0, 因此由定理1xyy22可知～方程x，y,1,0在点(0～ 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x,0时y,1的隐函数y,f(x), Fdydyxx ～ , ,,,,,0dxFydxyx,0 xy,x(,)2222,dydyy,xyyy，x1 ; , ,,,,,,,,,,1222332dxdxyyyyx,0 隐函数存在定理还可以推广到多元函数, 一个二元方程F(x～ y),0可以确定一个一元隐函数～一个三元方程F(x～ y～ z),0可以确定一个二元隐函数, 隐函数存在定理2 设函数F(x～ y～ z)在点P(x～ y～ z)的某一邻域内具有连续的偏导数～且F(x～ y～ 00000z),0～ F(x～ y～ z),0 ～则方程F(x～ y～ z),0在点(x～ y～ z)的某一邻域内恒能唯一确定0z000000 一个连续且具有连续偏导数的函数z,f(x～ y)～它满足条件z,f(x～ y)～并有 000 第 26 页共 45 页 FFy,z,zx ～ , ,,,,,xF,yFzz 公式的证明: 将z,f(x～ y)代入F(x～ y～ z),0～得F(x～ y～ f(x～ y)),0～将上式两端分别对x和y求导～得 ,z,z ～ , F，F,,0F，F,,0 yzxz,y,x 因为F连续且F(x～ y～ z),0～所以存在点(x～ y～ z)的一个邻域～使F,0～于是得 z z000000 z FFy,z,zx ,,～ , ,,,xF,yFzz 2222,z 例2. 设x，y，z,4z,0～求, 2,x222 解设F(x～ y～ z), x，y，z,4z～则F,2x～ F,2z,4～ xy F,z2xxx,,,,, ～ ,xF2z,42,zz ,zx(2,x)，x(2,x)，x()222(2,x)，x,z,x2,z ,,,, 2223,x(2,z)(2,z)(2,z) 二、方程组的情形在一定条件下～由个方程组F(x～ y～ u～ v),0～ G(x～ y～ u～ v),0可以确定一对二元函数u,u(x～ y)～ v,v(x～ y)～例如方程xu,yv,0和yu，xv,1可以确定两个二元函数 yxu,v,～ , 2222x，yx，y yxxu, 事实上～ xu,yv,0 ,v,u,yu，x,u,1,～ 22yyx，y yxxv,,,, 2222yx，yx，y 如何根据原方程组求u～ v的偏导数, 隐函数存在定理3 设F(x～ y～ u～ v)、G(x～ y～ u～ v)在点P(x～ y～ u～ v)的某一邻域内具有对各个变量的0000 连续偏导数～又F(x～ y～ u～ v),0～ G(x～ y～ u～ v),0～且偏导数所组成的函数行列00000000 第 27 页共 45 页 ,F,F ,(F,G),u,v式: J,,,G,G,(u,v) ,u,v 在点P(x～ y～ u～ v)不等于零～则方程组F(x～ y～ u～ v),0～ G(x～ y～ u～ v),0在点P(x～ y～ 000000u～ v)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u,u(x～ y)～ 00 v,v(x～ y)～它们满足条件u,u(x～ y)～ v,v(x～ y)～并有 000000 FFFFxvux GGGG,(F,G),(F,G),u1,v1xvux ～～ ,,,,,,,,,xJ,(x,v),xJ,(u,x)FFFFuvuv GGGGuvuv FFFFyvuy GGGGyvuy,(F,G),(F,G),u1,v1 ～ , ,,,,,,,,,yJ,(y,v),yJ,(u,y)FFFFuvuv GGGGuvuv 隐函数的偏导数: 设方程组F(x～ y～ u～ v),0～ G(x～ y～ u～ v),0确定一对具有连续偏导数的二元函数u,u(x～ y)～ v,v(x～ y)～则 ,u,v,F，F，F,0,xuv,,u,v,x,x 偏导数～由方程组确定, ,,u,v,x,xG，G，G,0.,xuv,x,x, ,u,v,F，F，F,0,yuv,,y,y,u,v 偏导数～由方程组确定, ,,u,v,y,yG，G，G,0.,yuv,y,y, ,u,v,u,v 例3 设xu,yv,0～ yu，xv,1～求～～和, ,y,y,x,x ,u,v 解两个方程两边分别对x 求偏导～得关于和的方程组 ,x,x ,u,v,u，x,y,0,,x,x～ ,,u,vy，v，x,0,,x,x, 第 28 页共 45 页 yu,xvxu，yv,v,u22当x，y ,0时～解之得～ , ,,,2222,x,xx，yx，y ,u,v 两个方程两边分别对x 求偏导～得关于和的方程组 ,y,y ,u,v,x,v,y,0,,y,y～ ,,u,vu，y，x,0,,y,y, xv,yuxu，yv,u,v22当x，y ,0时～解之得～ , ,,,2222,y,yx，yx，y 另解将两个方程的两边微分得 udx，xdu,vdy,ydv,0xdu,ydv,vdy,udx,, ～即, ,,udy，ydu，vdx，xdv,0ydu，xdv,,udy,vdx,, ，,xuyvxvyu,,，解之得～ dudxdy2222，，xyxy ,，yuxvxuyv,, , dvdxdy2222，，xyxy xu，yvxv,yu,u,u于是 ,,～～ ,2222,x,yx，yx，y yu,xvxu，yv,v,v,,, ～ , 2222,x,yx，yx，y 例, 设函数x,x(u～ v)～ y,y(u～ v)在点(u～ v)的某一领域内连续且有连续偏导数～ ,(x,y)又 , ,0,(u,v) x,x(u,v), (1)证明方程组 ,y,y(u,v), 在点(x～ y～ u～ v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数 u,u(x～ y)～ v,v(x～ y), 第 29 页共 45 页 (2)求反函数u,u(x～ y)～ v,v(x～ y)对x～ y的偏导数, 解 (1)将方程组改写成下面的形式 F(x,y,u,v),x,x(u,v),0, ～ ,G(x,y,u,v),y,y(u,v),0, ,(F,G),(x,y)则按假设 J,,,0.,(u,v),(u,v)由隐函数存在定理3～即得所要证的结论, (2)将方程组(7)所确定的反函数u,u(x～ y)～v,v(x～ y)代入(7)～即得 x,x[u(x,y),v(x,y)], ～ ,y,y[u(x,y),v(x,y)], 将上述恒等式两边分别对x求偏导数～得 ,x,u,x,v,1,,，,,,u,x,v,x , ,,y,y,u,v,0,,，,,u,x,v,x, 由于J,0～故可解得 ,y,y,v1,u1 ～ ,,, ,,xJ,v,xJ,u 同理～可得 ,u1,x,v1,x,,, ～ , ,yJ,v,yJ,u 第 30 页共 45 页 ?8, 6 多元函数微分学的几何应用一, 空间曲线的切线与法平面设空间曲线,的参数方程为 x,,(t)～ y,,(t)～ z,,(t) 这里假定,(t)～ ,(t)～ ,(t)都在[,～ ,]上可导, 在曲线,上取对应于t,t的一点M(x～ y～ z)及对应于t,t，,t的邻近一点000000M(x+,x～ y+,y～ z+,z), 作曲线的割线MM～其方程为 0000 x,xy,yz,z000 ,,～ ,x,y,z 当点M沿着,趋于点M时割线MM的极限位置就是曲线在点M处的切线, 考虑 000 x,xy,yz,z000,, ～ ,x,y,z ,t,t,t 当M,M～即,t,0时～得曲线在点M处的切线方程为 00 xxyyzz,,,000,, , ,,,,(t),(t),(t)000 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量, 向量 T,(,,(t)～ ,,(t)～ ,,(t)) 000 就是曲线,在点M处的一个切向量, 0 法平面: 通过点M而与切线垂直的平面称为曲线,在点M 处的法平面～ 00其法平面方程为 ,(t)(x,x)，,(t)(y,y)，,(t)(z,z),0, ,,,00000023 例1 求曲线x,t～ y,t～ z,t在点(1～ 1～ 1)处的切线及法平面方程, 2 解因为x,,1～ y,,2t～ z,,3t～而点(1～ 1～ 1)所对应的参数t,1～所以 ttt T ,(1～ 2～ 3), 于是～切线方程为 y,1x,1z,1,, ～ 123 法平面方程为 (x,1)，2(y,1)，3(z,1),0～即x，2y，3z,6, 讨论: 1, 若曲线,的方程为 y,,(x)～ z,,(x), 问其切线和法平面方程是什么形式, 第 31 页共 45 页提示: 曲线方程可看作参数方程: x,x～ y,,(x)～ z,,(x)～切向量为T,(1～ ,,(x)～ ,,(x)), 2, 若曲线,的方程为 F(x～ y～ z),0～ G(x～ y～ z),0, 问其切线和法平面方程又是什么形式, 提示: 两方程确定了两个隐函数: y,,(x)～ z,,(x)～曲线的参数方程为 x,x～ y,,(x)～ z,,(x)～ dy,dzF，F，F,0xyz,dydzdxdx由方程组可解得和, ,dydxdxdz,G，G，G,0xyzdxdx, dydz切向量为, T,(1, , )dxdx 222 例2 求曲线x，y，z,6～ x，y，z,0在点(1～ ,2～ 1)处的切线及法平面方程, dy,dz2x，2y，2z,0,dxdx 解为求切向量～将所给方程的两边对x求导数～得～ ,dydz,1，，,0dxdx, dyx,yz,xdz解方程组得,～ ,, dxy,zdxy,z dydz在点(1～ ,2～ 1)处～～ , ,,1,0dxdx 从而T ,(1～ 0～ ,1), 所求切线方程为 y，2x,1z,1 ,,～ 10,1 法平面方程为 (x,1)，0,(y，2),(z,1),0～即x,z,0, 二, 曲面的切平面与法线设曲面,的方程为 F(x～ y～ z),0～ M(x～ y～ z)是曲面,上的一点～并设函数F(x～ y～ z)的偏导数在该点连续且不同时0000 为零, 在曲面,上～通过点M任意引一条曲线,～假定曲线,的参数方程式为 0 x,,(t)～ y,,(t)～ z,,(t) ～第 32 页共 45 页 t,t对应于点M(x～ y～ z)～且,,(t)～ ,,(t)～ ,,(t)不全为零, 曲线在点的切向量为 00000000 T ,(,,(t)～ ,,(t)～ ,,(t)), 000 考虑曲面方程F (x～ y～ z),0两端在t,t的全导数: 0 F(x～ y～ z),,(t)，F(x～ y～ z),,(t)，F(x～ y～ z),,(t),0, x0000y0000z0000引入向量 n,(F(x～ y～ z)～ F(x～ y～ z)～ F(x～ y～ z))～ x000y000z000易见T与n是垂直的, 因为曲线,是曲面,上通过点M的任意一条曲线～它们在点0 M的切线都与同一向量n垂直～所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线000都在同一个平面上, 这个平面称为曲面,在点M的切平面, 这切平面的方程式是 0 F(x～ y～ z)(x,x)，F(x～ y～ z)(y,y)，F(x～ y～ z)(z,z),0, x0000y0000z0000 曲面的法线: 通过点M(x～ y～ z)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法0000 线, 法线方程为 xxyyzz,,,000 , ,,F(x, y, z)F(x, y, z)F(x, y, z)x000y000z000 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量, 向量 n,(F(x～ y～ z)～ F(x～ y～ z)～ F(x～ y～ z)) x000y000z000就是曲面,在点M处的一个法向量, 0222 例3 求球面x，y，z,14在点(1～ 2～ 3)处的切平面及法线方程式, 222 解 F(x～ y～ z), x，y，z,14～ F,2x～ F,2y ～ F,2z ～ xyz F(1～ 2～ 3),2～ F(1～ 2～ 3),4～ F(1～ 2～ 3),6, xyz 法向量为n,(2～ 4～ 6)～或n,(1～ 2～ 3), 所求切平面方程为 2(x,1)，4(y,2)，6(z,3),0～即x，2y，3z,14,0, y,2x,1z,3,,法线方程为, 123 讨论: 若曲面方程为z,f(x～ y) ～问曲面的切平面及法线方程式是什么形式, 提示: 此时F(x～ y～ z),f(x～ y),z , n,(f(x～ y)～ f(x～ y)～ ,1) x00y0022 例4 求旋转抛物面z,x，y,1在点(2～ 1～ 4)处的切平面及法线方程, 22 解 f (x～ y),x，y,1～ n,(f～ f～ ,1),(2x～ 2y～ ,1)～ xy n|,(4～ 2～ ,1), (2～ 1～ 4) 所以在点(2～ 1～ 4)处的切平面方程为 4(x,2)，2(y,1),(z,4),0～即4x，2y,z,6,0, y,1x,2z,4,,法线方程为 , 42,1 第 33 页共 45 页 ?8, 7 方向导数与梯度一、方向导数现在我们来讨论函数z,f(x～ y)在一点P沿某一方向的变化率问题, 设l是xOy平面上以P(x～ y)为始点的一条射线～ e,(cos ,～ cos ,)是与l同方向000l的单位向量, 射线l的参数方程为 x,x，t cos ,～ y,y，t cos , (t,0), 00 设函数z,f(x～ y)在点P(x～ y)的某一邻域U(P)内有定义～ P(x，t cos ,～ y，t cos 000000,)为l上另一点～且P,U(P), 如果函数增量f(x，t cos ,～ y，t cos ,),f(x～ y)与P到00000P的距离|PP|,t的比值 00 f(xtcos, ytcos)f(x,y)，，,,,0000 t，当P沿着l趋于P(即t,t)时的极限存在～则称此极限为函数f(x～ y)在点P沿方000 ,f向l的方向导数～记作～即 ,l(x,y)00 fxtytfxy(，cos, ，cos),(,),,,f0000 , ,lim，,ltt,0(x,y)00 ,f 从方向导数的定义可知～方向导数就是函数f(x～ y)在点P(x～ y)处沿000,l(x,y)00 方向l的变化率, 方向导数的计算: 定理如果函数z,f(x～ y)在点P(x～ y)可微分～那么函数在该点沿任一方向l 000 的方向导数都存在～且有 ,f ,f(x,y)cos,，f(x,y)cos,～ x00y00,l(x,y)00 其中cos ,～ cos ,是方向l 的方向余弦, 简要证明: 设,x,t cos ,～ ,y,t cos ,～则 f(x，tcos～ y，tcos),f(x～ y),f(x～ y)tcos，f(x～ y)tcos，o(t), ,,,,0000 x00 y00所以 fxtytfxy(，cos, ，cos),(,),,0000,f(x,y)cos,，f(x,y)sin, , limx00y00，tt,0 这就证明了方向导数的存在～且其值为第 34 页共 45 页 ,f , ,f(x,y)cos,，f(x,y)cos,x00y00,l(x,y)00 22: , 提示,f(x,y),x，f(x,y),y，o((,x)，(,y))f(x，,x,y，,y),f(x,y)xy00000000 22,x,t cos ～ ,y,t cos ～ , ,,(,x)，(,y),t 讨论: 函数z,f (x～ y)在点P 沿x轴正向和负向～沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示: ,f,f 沿x轴正向时～ cos,,,～ cos,,0～ , ,,l,x ,f,f 沿x轴负向时～ cos,,,1～ cos,,0～ , ,,,l,x 2y 例1 求函数z,xe在点P(1～ 0)沿从点P(1～ 0)到点Q(2～ ,1)的方向的方向导数, , 解这里方向l即向量的方向～与l同向的单位向量为 PQ,(1, ,1) 11, e,(, ,)l22 ,z,z22yy 因为函数可微分～且～～ ,e,1,2xe,2(1,0)(1,0)(1,0)(1,0),x,y 所以所求方向导数为 112,z , 12(),,，,,,,(1,0)2,l22 对于三元函数f(x～ y～ z)来说～它在空间一点P(x～ y～ z)沿e,(cos , ～ cos , ～ cos 0000l,)的方向导数为 fxtytztfxyz(，cos, ，cos,，cos),(,,),,,,f000000 , ,lim，,ltt,0(x,y,z)000 如果函数f(x～ y～ z)在点(x～ y～ z)可微分～则函数在该点沿着方向e,(cos , ～ cos 000l, ～ cos ,，的方向导数为 ,f ,f(x～ y～ z)cos,，f(x～ y～ z)cos,，f(x～ y～ z)cos,, x000y000z000,l(x,y,z)000 例2求f(x～ y～ z),xy，yz，zx在点(1～ 1～ 2)沿方向l的方向导数～其中l的方向角分第 35 页共 45 页别为60:～ 45:～ 60:, 解与l同向的单位向量为 121 e,(cos60:～ cos 45:～ cos60:，, ,(, , )l222 因为函数可微分～且 f(1～ 1～ 2),(y，z)|,3～ x(1～ 1～ 2) f(1～ 1～ 2),(x，z)|,3～ y(1～ 1～ 2) f(1～ 1～ 2),(y，x)|,2～ z(1～ 1～ 2) 所以 ,f1211 , ,3,，3,，2,,(5，32),l2222(1,1,2) 二, 梯度设函数z,f(x～ y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数～则对于每一点P(x～ 00y),D～都可确定一个向量 0 f(x～ y)i，f(x～ y)j～ x00y00 这向量称为函数f(x～ y)在点P(x～ y)的梯度～记作grad f(x～ y)～即 00000 grad f(x～ y), f(x～ y)i，f(x～ y)j, 00x00y00 梯度与方向导数: 如果函数f(x～ y)在点P(x～ y)可微分～ e,(cos , ～ cos , )是与方向l同方向的单000l 位向量～则 ,f ～ ,f(x,y)cos,，f(x,y)cos,x00y00,l(x,y)00 , grad f(x～ y),e00l ^ ,| grad f(x～ y)|,cos(grad f(x～ y)～e), 0000l 这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系, 特 ,f别～当向量e与grad f(x～ y)的夹角,,0～即沿梯度方向时～方向导数取得l00,l(x,y)00最大值～这个最大值就是梯度的模|grad f(x～ y)|, 这就是说: 函数在一点的梯度是00 个向量～它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向～它的模就等于方向导数的最大值, ,f 讨论: 的最大值, ,l 结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量～它的方向与取得最大方向导数的第 36 页共 45 页方向一致～而它的模为方向导数的最大值, 我们知道～一般说来二元函数z,f(x～ y)在几何上表示一个曲面～这曲面被平面z,c(c是常数)所截得的曲线L的方程为 z,f(x,y), , ,z,c, 这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L*～它在xOy平面上的方程为 f(x～ y),c, 对于曲线L*上的一切点～已给函数的函数值都是c～所以我们称平面曲线L*为函数z,f (x～ y)的等值线, 若f～ f不同时为零～则等值线f(x～ y),c上任一点P(x～ y)处的一个单位法向量 x y000 为 1n, , (f(x,y),f(x,y))x00y0022，f(x,y)f(x,y)x00y00 这表明梯度grad f(x～ y)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同～而沿这个方00 ,f向的方向导数就等于|grad f(x～ y)|～于是 00,n ,f , gradf(x,y),n00,n 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系, 这说是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同～它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线～梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数, 梯度概念可以推广到三元函数的情形, 设函数f(x～ y～ z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数～则对于每一点P(x～ y～ z),G～都可定出一个向量 0000 f(x～ y～ z)i，f(x～ y～ z)j，f(x～ y～ z)k～ x000y000z000 这向量称为函数f(x～ y～ z)在点P(x～ y～ z)的梯度～记为grad f(x～ y～ z)～即 0000000 grad f(x～ y～ z),f(x～ y～ z)i，f(x～ y～ z)j，f(x～ y～ z)k, 000x000y000z000 结论: 三元函数的梯度也是这样一个向量～它的方向与取得最大方向导数的方向一致～而它的模为方向导数的最大值, 如果引进曲面 f(x～ y～ z),c 为函数的等量面的概念～则可得函数f(x～ y～ z)在点P(x～ y～ z)的梯度的方向与过点0000 P的等量面 f(x～ y～ z),c在这点的法线的一个方向相同～且从数值较低的等量面指0 向数值较高的等量面～而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数, 第 37 页共 45 页 1 例3 求, grad 22x，y 1 解这里, f(x,y),22x，y ,f,f2y2x,,,, 因为～～ 222222,x,y(x，y)(x，y) 2y2x1,,,所以 , ijgrad 22222222(x，y)(x，y)x，y 222 例4 设f(x～ y～ z),x，y，z～求grad f(1～ ,1～ 2), 解 grad f,(f～ f～ f),(2x～ 2y～ 2z)～ xyz 于是 grad f(1～ ,1～ 2),(2～ ,2～ 4), 数量场与向量场: 如果对于空间区域G内的任一点M～都有一个确定的数量f(M)～则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等), 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定～如果与点M相对应的是一个向量F(M)～则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等), 一个向量场可用一个,向量函数(M)来确定～而 F F (M),P(M)i，Q(M)j，R(M)k～其中P(M)～ Q(M)～ R(M)是点M的数量函数, 利用场的概念～我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场～它是由数量场f(M)产生的, 通常称函数f(M)为这个向量场的势～而这个向量场又称为势场, 必须注意～任意一个向量场不一定是势场～因为它不一定是某个数量函数的梯度场, m 例5 试求数量场所产生的梯度场～其中常数m>0～ r 222r,x，y，z为原点O与点M(x～ y～ z)间的距离, ,mm,rmx 解～ (),,,,23,xr,xrr my,m,mmz同理～ , (),,(),,33,yr,zrrr ymmxz从而 , grad,,(i，j，k)2rrrrr ,ymmxze记～它是与同方向的单位向量～则, e,i，j，kgrad,,OMrr2rrrrr 第 38 页共 45 页上式右端在力学上可解释为～位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力, 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距 m平方成反比～这引力的方向由点M指向原点, 因此数量场的势场即梯度场r mm称为引力场～而函数称为引力势, gradrr 第 39 页共 45 页 ?8,8 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z,f(x～ y)在点(x～ y)的某个邻域内有定义～如果对于该邻域内任00 何异于(x～ y)的点(x～ y)～都有 00 f(x～ y)f(x～ y))～ 0000 则称函数在点(x～ y)有极大值(或极小值)f(x～ y), 0000 极大值、极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点, 22 例1 函数z,3x，4y在点(0～ 0)处有极小值, 当(x～ y),(0～ 0)时～ z,0～而当(x～ y),(0～ 0)时～ z,0, 因此z,0是函数的极小值, 22 例2 函数在点(0～ 0)处有极大值, z,,x，y 当(x～ y),(0～ 0)时～ z,0～而当(x～ y),(0～ 0)时～ z,0, 因此z,0是函数的极大值, 例3 函数z,xy在点(0～ 0)处既不取得极大值也不取得极小值, 因为在点(0～ 0)处的函数值为零～而在点(0～ 0)的任一邻域内～总有使函数值为正的点～也有使函数值为负的点, 以上关于二元函数的极值概念～可推广到n元函数, 设n元函数u,f(P)在点P的某一邻域内有定义～如果对于该邻域内任何异于P的点P～都有 00 f(P)f(P))～ 0 0 则称函数f(P)在点P有极大值(或极小值)f(P), 00 定理1(必要条件) 设函数z,f(x～ y)在点(x～ y)具有偏导数～且在点(x～ y)处有极0000值～则有 f(x～ y),0～ f(x～ y),0, x00y00 证明不妨设z,f(x～ y)在点(x～ y)处有极大值, 依极大值的定义～对于点(x～ y)0000的某邻域内异于(x～ y)的点(x～ y)～都有不等式 00 f(x～ y)0时具有极值～且当A<0时有极大值～当A>0时有极小值, 2 (2) AC,B<0时没有极值, 2 (3) AC,B,0时可能有极值～也可能没有极值, 2 在函数f(x～ y)的驻点处如果 f, f,f>0～则函数具有极值～且当f<0时有极xxyyxyxx大值～当f>0时有极小值, xx 极值的求法: 第一步解方程组 f(x～ y),0～ f(x～ y),0～ xy 求得一切实数解～即可得一切驻点, 第二步对于每一个驻点(x～ y)～求出二阶偏导数的值A、B和C, 002 第三步定出AC,B的符号～按定理2的结论判定f(x～ y)是否是极值、是极大00值还是极小值, 3322 例4 求函数f(x～ y),x,y，3x，3y,9x 的极值, 2,(,),3，6,9,0fxyxxx 解解方程组～ ,2(,),,3，6,0fxyyyy, 求得x,1～ ,3, y,0～ 2, 于是得驻点为(1～ 0)、(1～ 2)、(,3～ 0)、(,3～ 2), 再求出二阶偏导数 f(x～ y),6x，6～ f(x～ y),0～ f(x～ y),,6y，6, xxxyyy2 在点(1～ 0)处～ AC,B,12,6>0～又A>0～所以函数在(1～ 0)处有极小值f(1～ 0),,5, 2 在点(1～ 2)处～ AC,B,12,(,6)<0～所以f(1～ 2)不是极值, 2 在点(,3～ 0)处～ AC,B,,12,6<0～所以f(,3～ 0)不是极值, 2在点(,3～ 2)处～ AC,B,,12,(,6)>0～又A<0～所以函数的(,3～ 2)处有极大值第 41 页共 45 页 f(,3～ 2),31, 应注意的问题: 不是驻点也可能是极值点～例如～ 22 函数在点(0～ 0)处有极大值～但(0～ 0)不是函数的驻点, 因此～在考z,,x，y 虑函数的极值问题时～除了考虑函数的驻点外～如果有偏导数不存在的点～那么对这些点也应当考虑, 最大值和最小值问题: 如果f(x～ y)在有界闭区域D上连续～则f(x～ y)在D上必定能取得最大值和最小值, 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部～也可能在D的边界上, 我们假定～函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点～这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值)～那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值), 因此～求最大值和最小值的一般方法是: 将函数f(x～ y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较～其中最大的就是最大值～最小的就是最小值, 在通常遇到的实际问题中～如果根据问题的性质～知道函数f(x～ y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得～而函数在D内只有一个驻点～那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x～ y)在D上的最大值(最小值), 3 例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m的有盖长方体水箱, 问当长、宽、高各取多少时～才能使用料最省, 8 解设水箱的长为xm～宽为ym～则其高应为m, 此水箱所用材料的面积为 xy 8888, A,2(xy，y,，x,),2(xy，，) (x,0, y,0)xyxyxy 88令～ A,2(x,),0～得x,2～ y,2, A,2(y,),0yx22yx 根据题意可知～水箱所用材料面积的最小值一定存在～并在开区域D,{(x～ y)|x>0～ y>0}内取得, 因为函数A在D内只有一个驻点～所以此驻点一定是A的最 8小值点～即当水箱的长为2m、宽为2m、高为m时～水箱所用的材料最省, ,22,2 因此A在D内的唯一驻点(2～ 2)处取得最小值～ 8即长为2m、宽为2m、高为m时～所用材料最省, ,22,2 从这个例子还可看出～在体积一定的长方体中～以立方体的表面积为最小, 第 42 页共 45 页例6 有一宽为24cm的长方形铁板～把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面的面积最大, 解设折起来的边长为xcm～倾角为,～那末梯形断面的下底长为24,2x～上底长为24,2x,cos,～高为x,sin,～所以断面面积 1 ～ A,(24,2x，2xcos,，24,2x),xsin,2 22 即A,24x,sin,,2xsin,，xsin, cos, (0

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