高中物理八大解题方法之五：极值法

高中物理解题方法之极值法 江苏省特级教师 戴儒京 高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。 一、 二次函数求极值 二次函数 ，当 时，y有极值 ，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。 例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。 设第一个物体的质量为 ，速度为 。第二个物体的质量为 ，速度为 。碰撞以后的速度分别为 和 。假使这四个速度都在一条直线上。 根据动量守恒定律有：   （1） 如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为 ，即     （2） 现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。 碰撞中动能损失为  ΔEk=(     （3） 转变为数学问题：ΔEk为v的二次函数: 由（1）得：v2ˊ=     （4） 将（4）代入（3）得： Ek= [ ] 二次函数求极值, 当v1ˊ=         （5）  时 Ek有极大值。 回到物理问题,将（5）代入（4）得v2ˊ= 此两式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,m1和m2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔEk)最大。 二、 由公式 得 当 时， 有极小值 ，若 ，此时极小值为2。 同理， 的极大值为 。 例2 求弹性正碰中m1所传递给m2的动能最大或最小的条件。 设一个质量为m1，动能为Ek的物体与一个质量为m2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m1传递给m2动能最大或最小的条件。 设m1原来的速度为V1，碰撞后两物体的速度分别为 和 ，根据弹性正碰中的动量守恒和动能守恒，有方程组： 解此方程得： ，        m1传递给m2动能，即为m2获得的动能： 。 现在求 的极值条件和极值。 当m1= m2时 有极小值2，所以当m1= m2时， 有极大值 ，即m1传递给m2动能最大的条件是二者质量相等。此时m1的全部动能传递给m2，也就是说：碰撞之后 =0， 。这在物理学史上有一段趣闻，在成立不久的英国皇家学会的一次例会上，一位工程师的表演引起了与会者的极大兴趣：两个质量相同的钢球A和B，分别吊在细绳上，静止时紧靠在一起，使A球偏开一个角度后放开，它回到原来的位置时撞上B球，碰撞后A球静止下来，B球摆到与A求原来高度几乎相等的高度。惠斯通通过对此现象的研究和解释中确定了动能的定义。 此问题可扩大到第二个物体原来不静止的情况。设m2碰前的速度为V2，则方程组变为：    其解为： 则 ，将 的表达式代入此式，并且以Ek1代入 ，以 代入 ，得： ，当m1= m2时，因后项为零，前项取最大值，故 取最大值。此时，m1把原来m2多的那部分动能全部传递给m2。 三、 三角函数求极值： 三角函数 ，当 时， 取最小值0，当 时， 取最大值1，（ 在0到 范围内），同理， 时， 取最大值1， 时， 取最小值0。 例3  在倾角 =300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩擦系数为 ，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？ 设所加的外力F与斜面夹角为 ，物体受力情况如图所示。 N      F f G 由于物体作匀速直线运动，根据共点力的平衡条件，有方程组： 解此方程组，消去N，得： ， 因为 为已知，故分子为定值，分母是变量为 的三角函数，令 其中， ，    即  ， 当 时，即 时， 取最大值 ，F最小值为 ，由于 ，即 ，所以 将 N，                                ， ，代入上式得：当 时，F最小值为 N，约为173N。 四、导数法求极值： 一般的函数 ，求一阶导数 ，令其为零时的 值 ，即为 取极值的条件；再求二阶导数 ，当 时，若 ，则上述极值为极小值；若 ，则为极大值。 例4 在用滑线式电桥测电阻的实验中，触头在滑线中点附近平衡时，实验误差较小。 R        Ig                Rx 证明：设滑线长为 ，触点一边长为 ，则另一边长为 。当电桥平衡时，待测电阻 的计算式是： ，求其全微分为： 两边同除以 ，得： ，这就是待测电阻的相对误差的表达式。 因 与滑线长度的读数误差无关，故此项不再考虑，将 代入，并考虑到 （同一尺上的读数误差），得上式中后两项之和（设为 ）为： ，设 的系数为 ， 求R对 的导数： = ， 当 时，值为0，此时R有极值，再求二阶导数： = 当 时，大于0，故此时R有极小值，即说明滑动触头在中点平衡时，实验误差最小。 除了上述四种基本方法以外，还可以用不等式求极值，也可以根据物理中的临界条件求极值，等等。 从上述例题可以看出：用求极值方法解决物理问题的关键在于：把物理问题转化为数学问题，首先要正确地分析物理过程，建立正确的物理模型或物理图景，恰当地运用物理规律和物理公式，正确地把物理问题转化为数学问题，然后才能用极值方法去解。 五、平抛运动中的极值问题 例1．一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。 已知：山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y= ，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。 （1） 求此人落到坡面时的动能； （2） 此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 【解析】 （1） 平抛运动的分解： ， （注意：此处不能像通常那样写成 ，因为本题是以图中的O点为坐标原点，以向上为正方向。而通常的公式 是以抛出点为原点、以向下为正方向得到的），得平抛运动的轨迹方程 ，此方程与坡面的抛物线方程为y= 的交点为 ， 。 根据机械能守恒， 解得 （2）【解法1：配方法求极值】动能公式可改写为 ，当 时，括号内的值为0，平方项取极小值，这时，动能取极小值 。 【解法2：求导法求极值】求 关于 的导数 并令其等于0，解得当此人水平跳出的速度为 时，他落在坡面时的动能最小，动能的最小值为 。 例2. 在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角 = ，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取重力加速度 ， ， （1） 求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F； （2） 若绳长 =2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力 ，平均阻力 ，求选手落入水中的深度 ； （3） 若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。 【解析】（1）机械能守恒    mg （1－cos ）＝ mv2            ① 圆周运动    F′－mg＝m 解得    F′＝（3－2cos ）mg 根据牛顿第三定律，人对绳的拉力    F＝F′ 则    F＝1080N （2）动能定理  mg（H－ cos ＋d）－（f1＋f2）d＝0 则 解得 (3)选手从最低点开始做平抛运动        x=vt H- = 且有①式 解得    x=2 【解法1】配方法：令 当 = 时，y有最大值    ,即解得 =1.5m时，选手在浮台上的落点距岸边越远为 。 【解法2】求导法：令 ，求导 ,    当 = 时， ，此时y有最大值    ,即解得 =1.5m时，选手在浮台上的落点距岸边越远为 。 因此，两人的看法均不正确.当绳长越接近1.5m时，落点距岸边越远. 例3.如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置。将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变。（重力加速度为g） （1）求小物块下落过程中的加速度大小； （2）求小球从管口抛出时的速度大小； （3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于 【解析】（1）设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律： ， ，且 。解得： （2）【解法1】用牛顿定律和运动学公式解。分两个阶段研究，第一阶段到M落地，设M落地时的速度大小为 ，匀变速直线运动 。第二阶段到m射出管口，设m射出管口时速度大小为 ，M落地后m的加速度大小为 ，根据牛顿第二定律 ， 。解得    （k>2） 【解法2】用动能定理解：在物块M下落过程中，设M落地时的速度大小为 ，根据动能定理 ，将 代入，解得 .在物块M落地后，小物块m上滑到顶端的过程中，设m射出管口时速度大小为 ，根据动能定理： ，解得 。 （3）平抛运动 ， 。解得 因为 ，所以 ，得证。 【注意】第（2）问中要分M落地前和落地后两段计算，因为两段的加速度不相等。 在用动能定理时，也要分两个阶段，有的同学企图毕其功于一役，写出动能定理 ，解得  是错误的，错误的原因在于认为M落地后速度为0，这个速度为0，是M与地面碰撞以后的结果，并不是M下落和m上滑的结果。 【点评】本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律。难度：中等偏难。 例4.水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接（设经过B点前后速度大小不变），起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m．一质量m=50kg的运动员从滑道起点A无初速地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.1．（取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，运动员在运动过程中可视为质点） （1）求运动员沿AB下滑时加速度的大小a； （2）求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小 ； （3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′． 【解析】运动员沿AB下滑时，受力情况如图所示 Ff=μFN=μmgcosθ 根据牛顿第二定律：mgsin -μmgcosθ=ma   得运动员沿AB下滑时加速度的大小为： a=gsinθ-μgcosθ=5.2 m/s2    （2） 运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为： Wf=μmgcosθ +μmgd=μmg [d+（H-h）cotθ]= ×10=500J 由动能定理得：mg（H-h）-Wf= mv2            解得运动员滑到C点时速度的大小  v=10m/s       （3）在从C’点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t， h’= gt2，t= 继续阅读