圆锥曲线第二定义解题例说 专题辅导 不分版本
圆锥曲线第二定义解题例说
赵建勋
圆锥曲线的第二定义出现在例题中，教材中没有专门举例说明其应用，有很多同学对其认识不足，为此本文举例说明第二定义的应用。
一、求焦点弦长
2y,4x 例1 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A()、B()，若x，yx，y1122
，求|AB|的长。 x，x,612
x,,1 解:设AB的中点为E，点A、E、B在抛物线准线l:上的射影分别为G、H、M。由第二定义知:
x，x12|AB|,|AF|，|BF|,|AG|，|BM|,2|EH|,2,(,1),8 。 2
二、求离心率
22yx 例2 设椭圆=1(a>b>0)的右焦点为，右准线为l，若过F且垂直于x轴的，F11122ab
弦的长度等于F到准线l的距离，求椭圆的离心率。 11
y
lA1D
xCFO1
B
解:如图，AB是过F垂直于x轴的弦，为F到准线l的距离，AD?l于D，则|FC|11111
1|AF|,|AB||AD|=|FC|，由题意知。 112
由椭圆的第二定义知:
11|AB||AB||AF|1122e,,,, |AD||FC||AB|21
三、求点的坐标
2y2 例3 双曲线的右支上一点P，到左焦点F与到右焦点F的距离之比为2:1，x,,1123
求点P的坐标。
11x,,x, 解:设点P(x，y)(x,0)，双曲线的左准线为l:，右准线为l:，1200022
11d,x，，d,x,则点P到l、l的距离分别为。 12102022
1x，0PFd23211,x 所以，，解得。 ,,,012PFd122x,02
,,15315,, 将其代入原方程，得y。因此，点P的坐标为。 ，,,,0,,222,,
用心 爱心 专心 122号编辑 1
四、求离心率的范围
22yx 例4 已知椭圆，分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，,1(a,b,0)F、F1222ab
?FPF=90?，求椭圆的离心率e的取值范围。 12
2,,a,, 解:设点P()，则由第二定义得，x，y|PF|,ex，,a，ex00100,,c,,
2,,a,,。 |PF|,e,x,a,ex200,,c,,
222|PF|，|PF|,|FF| 因为为直角三角形，所以。 ,PFF121212
2222(a，ex)，(a,ex),(2c),4c 即 00
222c,a2220,x,a 解得，由椭圆方程中x的范围知。 x,002e
222c,a22 ，解得。 ？0,,a,e,122e
五、求最值
22yx 例5 已知点A(,2，3)，设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，，,11612
的最小值，并求此时点M的坐标。 求|MA|，2|MF|
解:如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M。
y
l
NMA
xCOF
1e, ?椭圆的离心率 2
?由第二定义得 2|MF|,|MN|
?的最小值为|AN|的长，且 |AM|，2|MF||AN|,2，8,10
233 ?的最小值为10，此时点M的坐标为(，) |AM|，2|MF|
编辑心语:学习圆锥曲线知识时，要注意掌握它们的两个定义，并且加以灵活运用，有时
会有山重水复疑无路，柳暗花明又一村的感受。
用心 爱心 专心 122号编辑 2
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