差分方程

差分方程 差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。 目录 [隐藏] , 1 基本概念 , 2 线性差分方程 , 3 通解和特解 , 4 经济学中的应用 差分方程-基本概念 一、差分的概念 设函数yt=f(t)在t=„，-2，-1，0，1，2，„处有定义,对应的函数值为„，y-2，y-1，y0，y1，y2，„，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。 依此定义类推，有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)， Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，„„„„„„ 一阶差分的性质 (1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0; (2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt; (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。 函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即 D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt( 依此定义类推，有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，„„„„„„ 类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt， D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1， „„„„„„ 一般地,k阶差分(k为正整数)定义为 差分方程 这里 差分方程 二、 差分方程 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，„的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，Dyt，„， Dnyt)=0， 其中F是t，yt, Dyt，„， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，„的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，yt+1，„，yt+n)=0, 其中F为t，yt，yt+1，„，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。 三、 差分方程的解 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t，yt，yt+1，„，yt+n)=0，使其对t=„，-2，-1，0，1，2，„成为恒等式，则称yt=j(t)为方程的解。含有n个任意(独立)常数C1，C2，„，Cn的解 yt=(t，C1，C2，„，Cn) 称为n阶差分方程的通解。在通解中给任意常数C1，C2，„，Cn以确定的值所得的解，称为n阶差分方程的特解。 差分方程-线性差分方程 形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+„+an-1(t)yt，1+an(t)yt=f(t) 的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程。其中a1(t)，a2(t)，„，an-1(t)，an(t)和f(t)都是t的已知函数，且an(t)?0，f(t)?0。而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+„，an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程。其中ai(t)(i=1，2，„，n)为t的已知函数，且an(t)?0。 如果ai(t)=ai(i=1，2，„，n)均为常数(an?0)，则有 yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+„+an-1yt+1+anyt=f(t)， yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+„+an-1yt+1+anyt=0。 分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程。 定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理) 若y1(t)，y2(t)，„，ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+„ +an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m?2)，则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+„+Amym(t)也是方程 的解，其中A1，A2，„，Am为任意常数。 定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +„+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。 定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如果y1(t)，y2(t)，„，yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +„+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解，则方程 的通解为: yA(t),A1y1(t)+A2y2(t)+„+Anyn(t)， 其中A1，A2，„，An为n个任意(独立)常数。 定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理) 如果 (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +„+an-1(t)yt，1+an(t)yt=f(t)的一个特解，yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +„+an-1yt+1+anyt=0的通解，那么，非齐次线性差分方程的通解为: y(t)=yA(t)+ (t) 即 y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+„+Anyn(t)+ (t)， 这里A1，A2，„，An为n个任意(独立)常数。 差分方程-通解和特解 一、 齐次差分方程的通解 将方程yt+1+ayt=0改写为:yt+1=-ayt，t=0，1，2，„。假定在初始时刻(即t=0)时，函数yt取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得 y1=-ay0=-aA，y2=-ay1=(-a)2A，„„„„„„ 方程的通解为yt =A(-a)t ，t=0，1，2，„。 如果给定初始条件t=0时yt=y0，则A=y0，此时特解为:yt =y0(-a)t 。 二、 非齐次方程的通解与特解 迭代法求通解 将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t)， t=0，1，2，„。 逐步迭代，则有 y1=(-a)y0+f(0)，y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1)， y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2)，„„„„„„ 由数学归纳法，可得 差分方程 其中 差分方程 为方程的特解。yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。 差分方程-经济学中的应用 一、 存款模型 设St为t期存款总额，i为存款利率，则St与i有如下关系式: St+1=St+iSt=(1+i)Si， t=0，1，2，„， 其中S0为初始存款总额。 二、 动态供需均衡模型(蛛网定理) 设Dt表示t期的需求量，St表示t期的供给量，Pt表示商品t期价格，则传统的动态供需 均衡模型为: 差分方程 其中a，b，a1 ，b1均为已知常数。 (1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格; (2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格。 (3)式为供需均衡条件。 若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即 Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格 差分方程 需求曲线与供给曲线的交点(Pe ，Qe)即为该种商品的静态均衡点。 动态供需均衡模型的等价差分方程 差分方程 方程的一个特解 差分方程 方程的通解为 差分方程 若初始价格P0已知时,将其代入通解，可求得任意常数A=P0-Pe ，此时，通解改写为 差分方程 如果初始价格P0=Pe ，那么Pt=Pe ，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Pe上，即静态均衡。如果初始价格P0?Pe ，那么价格Pt将随t的变化而变化。 差分方程 <1时， 差分方程 动态价格Pt随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Pe 。 差分方程 三、 凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型 设Yt表示t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，DI0为自发(固定)I为周期固定投资增量。凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为: 差分方程 (1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和;(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a(?0)为基本消费水平，b为边际消费倾向(0,b,1);(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资。 在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一阶常系数非齐次线性差分方程: Yt-bYt-1=a+I0+DI 方程的一个特解 差分方程 方程的通解为 差分方程 其中A为任意常数。称系数 差分方程 为凯恩斯乘数。 四、 哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型 设St为t期储蓄，Yt为t期国民收入，It为t期投资，s称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0,s,1，k为加速系数。哈罗德宏观经济增长模型为: 差分方程 其中s，k为已知常数。 (1)式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入;(2)式表示t期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k为常数;(3)式为均衡条件。 经整理后得齐次差分方程 差分方程 其通解为 差分方程 其中A为任意常数， 差分方程 ，哈罗德称之为“保证增长率” 其经济意义就是:如果国民收入Yt按保证增长率 差分方程 增长，那么就能保证t期储蓄与t期投资达到动态均衡，即It=St ， t=0，1，2，„。 五、 萨缪尔森(Samuelson P.A)乘数加速数模型 设Yt为t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，G为政府支出(各期均相同)。萨缪尔森将乘数和加速数两个 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数-加速数模型): 差分方程 其中G,0为常数，b称为边际消费倾向(常数)，k为加速数。 将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得:Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2,G(其特解 差分方程 其经济意义为:国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数 差分方程 与政府支出自发投资G的乘积。 对应的齐次方程为 Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0， 其特征方程为 A2-b(1+k)A+bk=0，特征方程的判别式 差分方程 当 差分方程 时，特征方程有两相异实根 差分方程 齐次方程的通解为: 差分方程 。 当 差分方程 时，特征方程有一对相等实特征根 差分方程 。 齐次方程的通解为: 差分方程 。 当 差分方程 时，特征方程有一对共轭复根: 差分方程 齐次方程的通解为: 差分方程 附图 拉普拉斯变换-正文 为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法)，以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。 用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s,σ， 2j&owega;的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数,j,-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定: 。 如果对于实部σ ,σ的所有s值上述积分均存在，而对σ ?σ时积分不存在，便称 σccc为()的收敛系数。对给定的实变量函数 ()，只有当σ为有限值时，其拉普拉斯变换ftftc F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s),L【f(t)】;称f(t)为F(s)的 -1原函数,记为ft,L【F(s)】。 函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换具有可逆性。由复数表达式()来定出实数表达式Fs f(t)的运算称为反变换。拉普拉斯反变换的定义积分式是 。 直接计算这个积分是困难的。但是对于大多数工程问题，F(s)往往是s的一个严格真有理分式 可采用简单步骤来完成反变换运算。对应于F(s)的分母多项式为零的根是两两不相等的情况，在定出它们的值λ、λ、„、λ以后,由部分分式展开并结合查表1,可定出反变换函12n 数为 式中。如果F(s)的分母多项式为零的根中包含有重根，那么反变换的结果和计算过程都要复杂一些。 应用 从数学的观点来说，拉普拉斯变换主要为求解线性微分方程提供了一种简便的运算方法。在给定微分方程后，运用表1的变换关系和表2的运算性质，就可把问题化成为求解象函数的代数方程，它的解经反变换后的结果就是微分方程的解。 参考书目 钟士模、郑大钟著:《过渡过程分析》，清华大学出版社，北京，1986。