§14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面
?14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面
一、空间曲线的切线和法平面
概念:曲线在某点切线及法平面. 光滑曲线.
x,x(t),
,,y,y(t)推导:已知:曲线(光滑): ,,t,,,
,z,z(t),
Q(x，,x,y，,y,z，,z)P(x,y,z)t,t 取 0000000
x,xy,yz,z000,, 则割线 ,x,y,z
x,xy,yz,z000,, 切线: '''x(t)y(t)z(t)000
,'''T,,,x(t),y(t),z(t),, 曲线在P处的切线向量:
'''法平面: x(t)(x,x)，y(t)(y,y)，z(t)(z,z),000000
32y,t,2例1:求曲线 , , 在点(1) (2)处的切M(4,6,0)z,2t,tx,2tt,1线及法平面方程.
,2 (1) t,1,P(2,,1,1) ,,,,T,2,3t,2,2t,2,3,0Pt,1
x,2y，1,x,2y，1z,1,,,, 切线: 即 (严格表示) ,23230,z,1,0,
,2 (2) M(4,6,0),t,2 ,,,,,,T,2,3t,2,2t,2,12,,2,21,6,,1mt,2
x,4y,6z,, 切线: 16,1
法平面:(x,4)，6(y,6),z,0 即x，6y,z,40,0
222,，，,6xyz,例2:求曲线M(1,,2,1)在点处切线及法平面方程. ,x，y，z,0,
x,x,,,''T,,,1,y(x),z(x),y,y(x)解: 的常数方程 ,
,z,z(x),
222,，，,6xyz将 两边对求导 x,x，y，z,0,
dydzdydz,,2x，2y，2z,0y，z,,x,,dxdxdxdx 即 ,,dydzdydz,,1，，,0，,,1dxdxdxdx,,
dyz,xdzx,y,,代入法成代数法 dxy,zdxy,z
,dydz,, T,,,1,,,1,0,,1,,Mdxdx,,(1,,2,1)
x,1z，2z,1切线: ,, <说明> 10,1
法平面: 即 (x,1),(z,1),0x,z,0解二:见例3后
二、空间曲面的切平面与法线
概念:曲面在P处的切平面及法线
推导:(思路) 具连续偏导
曲面 F(x,y,z),0,
P(x,y,z),t,t 点P 0000
,P,t,t 上过P任一曲线:x,x(t) z,z(t) y,y(t),0
,''',,过P的切线向量 “-” ,,T,x(t),y(t),z(t)000
,,,Fx(t),y(t),z(t),0另代入 ,
t,t对t求导， 0
'''''' F(x,y,z)x(t)，F(x,y,z)y(t)，F(x,y,z)z(t),0t0000y0000z0000
,'''于是，若记n,,,F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)存在且不全为0 x000y000z000
,,
nT 与垂直
,
,,n2，的任意性;与无关 仅与及P有关 ,
,,
,nn故，与上过P的任意曲线的切线垂直是切平面法向量 ,
'''切平面: F(x,y,z)(x,x)，F(x,y,z)(y,y)，F(x,y,z)(z,z),0x0000y0000z0000
,
(曲面法向量: ) n
xxyyzz,,,000法线: ,,'''F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x000y000z000
22z,x，y,1例3:求旋转抛物面在点P(2，1，4)的切平面，法线方程，关
键法向量.
22F(x,y,z),x，y,1,z 设 (隐显) ,
,''',,,,,, n,F,F,F,2x,2y,,1,4,2,,1 xyz(2,1,4)(2,1,4)
切平面: 即 4(x,2)，2(y,1),(z,4),04x，2y,z,6,0
x,2y,1z,4 法线: ,, 42,1
P说明: 例2的解法二 思路 ,例4 65
P作业: 44 45(1) 46 47 79
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