周世勋量子力学习题解答第三章

周世勋量子力学习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解答第三章 第三章习题解答 22,xi,,,t,22(x),e,3.1 一维谐振子处在基态，求： , 122Ux (1)势能的平均值； 2 2p (2)动能的平均值； T2 (3)动量的几率分布函数。 22112222xUxxedx解：(1) 22 ,1,1,111222 ,,,,,,,2,,,,2222,24,,2,2,, ,21135(2n1),,,？,,,2nax,, xedx,n1n,，04a2a 2,p1*2ˆ (2) T,,,(x)p,(x)dx,,,2,2, 1122222,x,x,,,1d,222 ,e(,,)edx2,,,2,dx, 2,22,,,222,x ,,(1,,x)edx ,,,2,, 2,,2222,,2,,x22,,x,,[edx,,xedx] ,,,,,,2,, 2,,,,22 ,[,,],,32,,2,, 222,,,,,,,22 ,, ,,,,,,,,2244,, 1,,, 4 111T,E,U,,,,,,,,, 或 244*c(p),,x(),x(dx) (3) p, i122xPx1,2 eedx 2, i122,xPx,,,1,,2 ,e edx,,,2,,, 21ipp22()x12222,2, edx ,2 2p1ip22()x12222,,2e edx ,2 22pp,12122222,2,,e,e ,,,,2 动量几率分布函数为 2p,1222,, ()()p,cp,e, ,,, # 1,r/a0 3.2.氢原子处在基态，求： (,,)r,e,,,3a,0 (1)r的平均值； 2e, (2)势能的平均值； r (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 ,,,212,ra2/20 解：(1) r,r,(r,,,,)d,,rersin, drd, d,,3,,,000,a0 ,,n4!,naxra2/,30xedx, radr,n1,，3,00aa0 43!3 ,,a0342a0,,2,,,,a0,, 222,,,ee12/,ra20,,,(2)U,(,),,ersin drd d3,,,000rr,a0 2,,2,e2/,ra0,,,,,ersin drd d3,,,000,a0 2, 4e,ra2/0,,er dr3,0a0 224e1e,,,,32aa,,002,,,,a0,, (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 ,,24,2r/a2220 ,erdr,(r)dr,[,(r,,,,)]rsin, drd, d,3,,00a0 4,ra2/20 ,(r),er3a0 ,d(r)42,2r/a0 ,(2,r)re3draa00 d(r),,0， , r,0, r,,, r,a 令 1230dr 当为几率最小位置 r,0, r,,时，,(r),012 2,d(r)484,2r/a20 ,(2,r，r)e232adraa000 2d,(r)8,2,,e,0 23dra0ra,0 ? 是最可几半径。 r,a0 2,1，，,,,,,1112222ˆ,ˆ,,，， (4)Tp ,,,,r()(sin),,222,,,,rr,,,sin,rsin,,2,2,，， 2,,,2,1,ra,ra//2200 T,,e,(e)rsin, drd, d,,,,30002,,a0 2,,,2,11dd,ra,ra//2200 ,,e[r(e)]rsin, drd, d,,,,320002,drdr,ar0 22,,41r,ra/0 ,,(,(2r,)e dr3,0aa2a,000 2222aa,,400 ,,,(2)42442,a2,a00,*,c(p),,(r),(r,,,,)d, (5) p, i,prcos,,,2,11,r/a20,c(p),erdresin, d,d, 3/2,,,0003,(2,),a0 i,prcos,,,2,,ra/20,,redre d(,cos,) ,,003/23,(2,),a0 ,ipr,,cos,,,2,ra/20, ,redre,03/23ipr,a(2,),00 iiprpr,,,,2,!n,,ra/nax0,,,re(e,e)dr, xedx，n,,1003/23ipa,,(2,)a0 ,,211 ,[,]3/23ii11ip22,,(2,)a0,p，p()()a,a,00 14ip , 2331p2,2a,ip0a,(，)022a,044a,40, 222233(ap，,)2a,,a000 3/2(2a,),0 ,2222,(ap，,)0 动量几率分布函数 358a,20 ,(p),c(p),2224,(ap，,)0 # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 J,J,0ere, ,e m2,,J e,n,m, rsin, 证：电子的电流密度为 ,,i,**J,,eJ,,e(,,,,,,,) en,mn,mn,mn,m2, 在球极坐标中为 ,,,,1,1,,,e，e，e r,,,rr,,rsin,,,,,,式中为单位矢量 eeer ,,,,,i,,1,1,*J,,eJ,,e,[(e，e，e,)en,mr,,n,m,2,rr,,rsin,,, ,,,,1,1,* ,(),],e，e，en,mr,,n,m,rr,,rsin,,, ,,ie,,,1,***,,[e,(,,,,)，e,(,rn,mn,mn,mn,m,n,mn,m,2,r,rr,, ,1,1,1,*** ,,)(,,,,)],，e,n,mn,m,n,mn,mn,mn,mr,,rsin,,,rsin,,, 中的r和部分是实数。 ？n,m ,,,,,ieem222J,,(,im,,im,)e,e,, ? en,mn,m,n,m,sin2,rsin,,r, 可见， J,J,0ere, ,em2,,,J e,n,mrsin,, # 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 ,me,, (SI),2,, M,M,,z,me,, (CGS),2,c, 原子磁矩与角动量之比为 e,, (SI),2,M,z ,,eLz,, (CGS),2,c, 这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 Ai （为圆周电流，为圆周所围面积） dM,iA,JdS,Ae, ,em22,,,dS,,(rsin,) n,m,rsin, ,em2,,,rsin,,dS n,m, ,em22,,,rsin,,drd,(dS,rdrd,) n,m, (2)氢原子的磁矩为 ,,,em22M,dM,,,,rsin, drd, n,m,,,00, ,,,em22,,,2,,rsin, drd, n,m,,002, 2,,,,em22,,,rsin, drd,d, n,m,,,0002, e,m(SI) 2 e,mCGSM,,, 在单位制中 2,c 原子磁矩与角动量之比为 MMMeezz # ,,, (SI),, (CGS)LL2L2c,,zzz 2L3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，H2I 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 22 LLZ 22,1d2ˆˆ 哈米顿算符 HLZ22I2Id ˆ 其本征方程为 (无关，属定态问题) H与t 22,d()()E22Id 2()2dIE ()22d, 2IE2m 令 ，则 2, 2d,,()2 ，m,(,),02d, im 取其解为 (可正可负可为零) ()Aem 由波函数的单值性，应有 im(2)im (2)()ee i2m 即 e1 ?m= 0，?1，?2，… 22,mE转子的定态能量为 (m= 0，?1，?2，…) m2I 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 im Aem A为归一化常数，由归一化条件 ,,22*22,d,Ad,A 1,,,,,2mm,,00 1,A,2, ? 转子的归一化波函数为 1im, ,e ,m2, 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 12ˆˆ HL2I ˆ 无关，属定态问题，其本征方程为 Ht 12ˆ LY(,)EY(,) 2I ˆEH (式中Y(,)设为的本征函数，为其本征值) 2ˆ LY(,)2IEY(,) 2 令 ，则有 2IE, 22ˆ LY(,),Y(,) 2ˆL 此即为角动量的本征方程，其本征值为 222 L,,(,1), (,0, 1, 2, ？) mim 其波函数为球谐函数 Y(,)NP(cos)emm,,, ? 转子的定态能量为 2，,(,1),, E ,2I 可见，能量是分立的，且是(2,1)重简并的。 # 3.6 设t=0时，粒子的状态为 21 (x)A[sinkxcoskx]2 求此时粒子的平均动量和平均动能。 2111解： ,(x),A[sinkx，coskx],A[(1,cos2kx)，coskx]222 A[1cos2kxcoskx] 2 Ai2kxi2kxikxikx11[1(ee)(ee)] 222 A2,1i0xi2kxi2kxikxikx1111 eeeee[]222222, 0 2k, ,2k, k, ,k,可见，动量的可能值为 pn 222222222pk,k,k,k,22n 动能的可能值为 0 2,,2,2, 22222AAAAA( ),2,, 对应的几率应为 ,n416161616 111112( ),A,, 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 222AAA1(4)2,2, n4162n ? A1/, p ? 动量的平均值为 pp,,,nnn 2222AAAA,0，2k,，,2,,,2k,，,2,,，k,，,2,,,k,，,2,,,016161616 22ppn T,,,,n,,22n 2222k,k,211 ,0，,，2，，，2828,, 22k,5 8 # ********shangshuyihe******* 3.7 一维运动粒子的状态是 xAxe, x0 (x) 0, x0 0其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 2x222 1(x)dxAxedx0 12A 34 3/2 ?A2 3/22x(x0) (x)2xe (x)0(x0) 11ikx1/23/2(ik)xc(p)e(x)dx()2xe(x)dx 2,2, 321x1/2(ik)x(ik)x()[eedx 02,ikik 332x211/21/2()() 2p2,2,(ik)2(i), 动量几率分布函数为 333212,12 (p)c(p) 22222,p(,p)22()2, d*3xxˆp(x)p(x)dxi,4xe(e)dx (2) dx 32x i,4,x(1x)edx 322x i,4,(xx)edx 113i,4,() 2244 0 # 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数 a (x)Ax(ax) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本 征函数和本征值为 2nsinx, 0xa (x)aa 0, x0, xa 222,n(n1 2 3 ？) En22a 2(E)C 动量的几率分布函数为 n an*C(x)(x)dxsinx(x)dx n0a (x) 先把归一化，由归一化条件， aa2222222 1(x)dxAx(ax)dxAx(a2axx)dx00 a22234 A(ax2axx)dx0 5555aaaa22AA() 32530 30 ?A 5a a230n ? Csinxx(ax)dx n50aaa aa215nn2[axsinxdxxsinxdx] 300aaa 23215ananan2[xcosxsinxxcosx322naanaan a232an2an xsinxcosx]2233aann0 415n [1(1)]33n 2402n2EC ? ()[1(1)] n66n 960n1 3 5 ？66 n 0n2, 4, 6, ？ 2aˆpˆ E(x)H(x)dx(x)(x)dx 02 22a30,d x(xa)[x(xa)]dx 5202adx 2233a,,aa3030 xxadx()()55023aa 25, 2a 3.9.设氢原子处于状态 13 (r,,)R(r)Y(,)R(r)Y(,) 2110211122求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22eessE(n2) 22222,n8, 角动量平方有确定值为 222(,1) L,(,1),2, 角动量Z分量的可能值为 L0L, Z1Z2 其相应的几率分别为 13 ， 44 其平均值为 133L0,, Z444 3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 , ra; U(r)0, ra 求粒子的能级和定态函数。 ra 解：据题意，在的区域，U(r)，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数 ra 0 () ,0 由于在的区域内，U(r)0。只求角动量为零的情况，即，这时在各ra 个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关，是各向同 性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。设为(r)，则粒子的能r量的本征方程为 2,1dd2 (r)E 2rdrdr 2E2U(r)rE, k 令 ，得 2, 2du2ku0 2dr 其通解为 u(r)AcoskrBsinkr AB(r)coskrsinkrrr (0)波函数的有限性条件知， 有限，则 A = 0 B(r)sinkr ? r 由波函数的连续性条件，有 B(a)0 sinka0 a B0kan (n1,2,？) ? ? n k a 22,n2 ? En22a Bn(r)sinr ra 其中B为归一化，由归一化条件得 a221dd(r)rsin dr000 an2224Bsinrdr2 aB0a 1 ? B2 a ? 归一化的波函数 nsinr1a # (r)2 ar 223.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系 (,x),(,p),? 解： p,0 5222p,2 T,k,, 4 ,1222x,Ax[sinkx，coskx]dx,0 ,,,2 ,122222x,Ax[sinkx，coskx]dx,, ,,,2 222222 (,x),(,p),(x,x),(p,p),,3.12.粒子处于状态 2ix11/2 xpx()()exp[]022,24 22式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系 (x)(p)? (x) 解：?先把归一化，由归一化条件，得 2xx2 ()22x1122 1edxed()222222 111/2 ()2222 12 ? / 2 ? 是归一化的 i2(x)exp[pxx] 0,2 ? 动量平均值为 ii22pxxpxx d0i0,2,2p*(i)dxie( p x)edx ,,0dx, 2i xi,( p x)edx 0, 22 x x pedxi ,xedx0 p0 22 ? (x)(p)? 2 x （奇被积函数） x*xdxxedx 2221122 xx xxxedxxeedx 22 1 2 ii2222 pxxpxxd0d0222,, p,* dx,ee dxdxdx 222p2x222x0,()i2,pxedx,xe dx 0, 2p1222220,()0(,)(,p) 0,22 2122()xxx 2 2222222(p)pp(,p)p, 0022 112222(x)(p),, 224 # 11/10 补充 ˆˆˆˆ 1．试以基态氢原子为例证明：的本征函数，而是的本征函TUTU数。 2e 111ra/3/2s0 e()2 ()1002aa,400 22,1112ˆTr[()(sin)]222rr2sinrsin 2esˆUr 2,12100ˆTr()1002rr2r 2,111ra/3/220re ()()2arr2r0 22,,111212ra/3/20e ()()()10022aarar22aa00000 100 ˆ T100 2esˆU 100100r ˆ 可见， U100 22e,1112ra/s3/20ˆˆ ()()()TUe10010022aarra000 222,1,, 10010010022arara000 2,1 10022a0 ˆˆ可见，是的本征函数。 (TU)100 2．证明：的氢原子中的电子，在45 135的方向上被L6,L, 发现的几率最大。 2？W(,)dYd 解： ,m,m 2W(,)Y ? ,m,m ,2, m1 的电子，其 L6,L, 15i？ Y(,)sincos e218 15i Y(,)sincos e218 15152222W(,)Ysincossin2? ,21m83245 135当时 1545135W为最大值。即在方向发现电子的几率最大。 2132 150 在其它方向发现电子的几率密度均在～之间。 32 3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为 的球壳内被发现的几率最大(为第一玻尔轨道半径 )。 a4a9aa0000 1r/a3/20 证：?对1s态， n1, ,0, R()e10a0 12r/a22320W(r)rR(r)()4re1010a0 W122r/a32100()4(2rr)eraa00 W100 令 r0, r, ra1230r 易见 ，当不是最大值。 r0, rW01210 42 为最大值，所以处于1s态的电子在处被发现的几率最大。 raW(a)e0100a0 r1r/2a3/20 ?对2p态的电子 n,Re2, 1, ()21a2a300 41r2r/a2320W(r)rR()re212122a3a00 W1rr/a3210r(4)e5ra24a00 W210 令 r0, r, r4a1230r 易见 ，当r0, rW0为最小值。 122122W18rrr/a2210 r(12)e252ar24aa000 2W182442116a(123216)ee0 0253r24a3a00ra40 ? 为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。 r4ar4a00 21rr/3a3/220 ?对于3d态的电子 n3, ,2, R()()e32aa811500 112r/3a260W(r)rRre323272a8115 W82r2r/3a5320r(6)e27r3a8115a00 W32 令 0 r0, r, r9a1230r 易见 ，当为几率最小位置。 r0, rW01232 256W164r2r2r/3a2320 (15r)e2272ar8115a9a000 22W36a281a1463200(9a)(15)e02272ar8115a9a000ra90 166 e035a0 ? 为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。 r9ar9a00 张 P.74 21 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为 0, x0 () U(x)U, x0 ()0 其中 ，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。 U00 解：设电场强度为，方向沿χ轴负向，则总势能为 V(x)e x (x0) ， VxUe x x0 0 势能曲线如图所示。则透射系数为 x21Dexp[2(Ue xE)dx] 0x2, E式中为电子能量。x0，x由下式确定 12 p2(Ue xE)00 UE0x ? 2e UE20xsin 令 ，则有 e x1UE2x22(Ue xE)dx2(UE)2sin d2000e0 23UEcos 0 22(UE)()0e30 UE20 2(UE)03e UE20Dexp[2(UE)] ?透射系数03,e 27/9 全是补充题： 1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 2nd224x ? ； ? ； ? 2dxK1 2d24x 解：?是线性算符 2dx 222ddd222？ 4x(cucu)4x(cu)4x(cu)11221122222dxdxdx 22dd22 c4xuc4xu112222dxdx 2 ?不是线性算符 22222？ [cucu]cu2ccuucu112211121222 22 c[u]c[u]1122 n ?是线性算符 K1nNNNN cucucucucucu 112211221122KKKKK11111 2．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 2ddd i 4 2dxdxdx dd * dx* * dx-dxdx x00 ddd * dx* dx()* dxdxdxdx d ()* dxdx d dx dd *i dxi* i* dx-dxdx dd i()* dx(i)* dxdxdxdidx ddd*d2 *4 dx4* 4 dxdxdxdxdx-2 d*dd*d*2 4 dx44 dx2dxdxdxdx 22dd 4* dx(4)* dx22dxdx 2d42dx 2d3、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？ 2dx2xsinx3cosxsinxcosx ?， ? ， ?， ?， ? xe 2d2(x)2 解：? 2dx 2d2 ? 不是的本征函数。 x2dx 2dxxee ? 2dx 2dx ? e不是的本征函数，其对应的本征值为1。 2dx 2dd(sinx)(cosx)sinx ? 2dxdx 2dsinx? 可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。 2dx 2dd(3cosx)(3sinx)3cosx(3cosx)? 2dxdx 2d3cosx ? 是的本征函数，其对应的本征值为－1。 2dx 2dd(sinxcosx)(cosxsinxsinxcosx2 ? dxdx (sinxcosx) 2dsinxcosx ? 是的本征函数，其对应的本征值为－1。 2dx dixˆFie的本征函数。 4．试求算符dx ˆF 解：的本征方程为 ˆ FF d ieFixdx dddixixixiFedxd(Fe)d(Fe) dxdx dixlnFelncdxixFeˆ （的本征值） FFce 第二章 薛定格方程 3．如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的 表达式。 a0, x2U(x) 解： a, x2 方程（分区域）： a(x)U(x) ?： ? (x)0 I2 aU(x)(x) ?： ? (x)0 III2 22d,IIE ?： II22dx 2dE2II0 II22dx, 2E2k令 2, 2d2IIk0 II2dx Asin(kx) II aa()()III22 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 条件：aa()()IIIII22 ? Asin(kx)0 A0 ? ? sin(kx)0 aak0取 ， 即 k22 a ? (x)Asink(x) II2 Asinka0 sinka0 kan ? (n1, 2, ？) kn a naaAsin(x), xa22(x) ? 粒子的波函数为 a0, x2 2222,nk2(n1, 2, 3, ？) 粒子的能级为 Ek22a由归一化条件，得 a/2na2221(x)dAsin(x)dx a/2a2 a/212na2A[1cos(x)]dx a/22a2 a/2a2na22AAcos(x)dx a/22a2 a 2aa2na22sin()AAx a222na2 a2 A2 2 ? Aa ? 粒子的归一化波函数为 2naasin(x), xaa22 (x) a0, x2 4．证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为的球壳处的几率最（为第一玻尔轨道半径）。 a4a9aa0000 221s: ()rdrRrdr 证： 1010 12r/a320 ()4erdra0 12r/a320 (r)()4re10a0 d122r/a32100 4()(2rr)edraa00 112r/a30 8()(1r)reaa00 d100令 ，则得 dr r0ra11110 2d12rr2r/a3100 8()[(1r)(1)e]2aaaadr0000 214r2r2r/a30 8()(1)e]2aaa000 2d100 ?为几率最小处。 r0112drr011 2d100 ?为几率最大处。 ra1102drra110 22 2p: (r)drRrdr2121 2r1r/a320 erdr()2a2a300 2r1r/a30 re()()212a2a300 d11r/a3210 (4r)re5dra24a00 22d18rr/a2210 (1rre]252adr24aa000 d210令 ，则得 dr r0r4a21220 2d210 ? 为最大几率位置。 r4a2202 drr4a220 当 时， 0r4a0 2d10r00 ?为几率最小位置。 2dr 2r823a603: ()drRre 3232798415a0 2rd82r3a5320(5)re 7dr3a98415a00 d320令 ，得 dr r0,r9a31320 同理可知 为几率最小处。 r031 为几率最大处。 r9a320 5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 122x2 解： (x)2xe12 322222x()()xxxe 11 322d423x1(xx)e dx 322422x(1x)xe 2322d42244x1(15x2x)e 2dx d10 令 ，得 dx 1, x0， xx12020 2d10 ， ? 为几率最小处。 x012dxx01 21d1xx ， ? 为几率最大处。 02022dx1x22 r1a0(,,)re 6．设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求 a03a0 ?的平均值； r 2e ?势能的平均值。 r 2r21a30 解：? rredrsin dd3000a0 aa1300 321()()4322a0 3 a02 2r2e1a2s0e4redr ? 30ra0 2eaas00 4()()322a0 2es a0 7．粒子在势能为 U, x01 U0, 0xa U, xa2 的场中运动。证明对于能量EUU的状态，其能量由下式决定： 12 ,k,k1 kansin 2U2U12 2Ek （其中） 2, 证：方程 22d,IUE (x0) ?： 1III22dx 22d,II ?：0E (0xA)IIII 22dx 22d,III ?： UE (x0)IIIIII2 22dx 2()2()UEUE2E12令 , , ,k222,,, 则得 2d2I0 ?： I2dx 2d2IIk0 ?： II2dx 2d2III0 ?： III2dx 其通解为 xx CeDeI11 Asin(kx)IIxx CeDeIII22 利用标准条件，由有限性知 x , 0,D0I1 x , 0,C0III2x ? CeI1 Asin(kx)IIx DeIII2 由连续性知 ? (0)(0)CAsinIII1 (0)(0)CkAcos ? III1x ? (a)(a)Asin(kx)DeIIIII2x ? (a)(a)kAcos(kx)DeIIIII2由?、?，得 ktg ? 由?、?，得 ktg(ka) ? tgkatgtg(ka)而 1tgkatg tgkatgk把?、?代入，得 1tgkatg ktg 整理，得 tgkak1tg ktg tg(nka) k1tg ktg令 ktg tg(nka)tg() k1tg nka ? kan tgx 由，得 sinx21tgx kk,k sin22k2Uk221() kk,ksin 22k2Uk211() ,k,k11 ### kansinsin 2U2U12 第三章 力学量的算符表示 1、2（略）。 dd2[()x][x]?(x)sinx 3．设波函数，求 dxdx dddd[()x][()x][x][x] 解： dxdxdxdx dd[()x][sinxxcosx][x][xcosx] dxdx (sinxxx)x(cosxcosxx)x(xx) sinx2xcosx ˆˆAB 4．说明：如果算符和都是厄米的，那么 ˆˆAB (+)也是厄米的 ***ˆˆˆˆABdAdBd() 证： 121212 ˆˆ(A)*d(B)*d 2121 ˆˆ[(AB)]*d 21 ˆˆAB ? +也是厄米的。 5．问下列算符是否是厄米算符： 1ˆˆˆˆˆˆ(xppx) ? ? xpxxx2 **ˆˆˆˆ(xp)dx(p)d 解：? 1x21x2 ˆˆˆˆ x)*pd(px)*d1x2x12 ˆˆˆ 因为 pxpxx ˆˆ ? 不是厄米算符。 xpx 111***ˆˆˆˆˆˆˆˆ[(xppx)]d(xp)d(px)d ? 1xx21x21x222211**ˆˆˆˆ(px)d(xp)d x12x1222 1*ˆˆˆˆ[(xppx))]d xx122 1*ˆˆˆˆ[(pxxp)]d xx122 1ˆˆˆˆ(xppx) ? 是厄米算符。 ## xx2 6 （略） ˆˆˆˆˆˆ 7．如果算符满足关系式，求证 1 22ˆˆˆˆˆ ? 2 332ˆˆˆˆˆ ? 3 2222ˆˆˆˆˆˆˆˆ 证： ? (1) 22ˆˆˆˆˆˆ 22ˆˆˆˆˆˆ (1) ˆ 2 3323ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ? (2) 223ˆˆˆˆˆˆ 2 223ˆˆˆˆˆˆ 2(1) 2ˆ 3 ˆˆˆˆ 8．求 LPPL?xxxx ˆˆˆˆ LPPL?yxxy ˆˆˆˆ LPPL?zxxz ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 解： LPPL(yPzP)PP(yPzP)xxxxzyxxzy ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ yPPzPPPyPPzP)zxyxxzxy ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ yPPzPPyPPzPP)zxyxzxyx = 0 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ LPPL(zPxP)PP(zPxP)yxxyxzxxxz 2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ zPxPPPzPPxP)xzxxzxz 22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ zPxPPzPPxP)xzxxxz ˆˆˆˆˆ (xPPx)Pxxz ˆ i,Pz ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ LPPL(xPyP)PP(xPyP)zxxzyxxxyx 2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ xPPyPPxPPyPyxxxyxx 22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ xPPyPPxPyPxyxxyx ˆˆˆˆˆ (xPPx)Pxxy ˆ i,Py ˆˆˆˆ 9． LxxL?xx ˆˆˆˆ LxxL?yy ˆˆˆˆ LxxL?zz ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 解： LxxL(yPzP)xx(yPzP)xxzyzy ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ yPxzPxxyPxzPzyzy ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ yPxzPxyPxzPxzyzy = 0 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ LxxL(zPxP)xx(zPxP)yyxzxz 2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ zPxxPxxzPxPxzxz ˆˆˆˆˆ z(PxxP)xx ˆi,z ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ LxxL(xPyP)xx(xPyP)zzyxyx 22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ xPyPxxPyxPyxyx ˆˆˆˆˆ y(xPPx)xx ˆ i,y