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函数的定义域与值域知识点与题型归纳.doc

函数的定义域与值域知识点与题型归纳

liang中峰
2017-09-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《函数的定义域与值域知识点与题型归纳doc》,可适用于高等教育领域

函数的定义域与值域知识点与题型归纳高考明方向了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域备考知考情定义域是函数的灵魂高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现难度不大有时也在解答题的某一小问当中进行考查值域是定义域与对应法则的必然产物值域的考查往往与最值联系在一起三种题型都有难度中等一、知识梳理《名师一号》P知识点一常见基本初等函数的定义域注意:、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则~~~、定义域必须写成集合或区间的形式~~~()分式函数中分母不等于零()偶次根式函数被开方式大于或等于()一次函数、二次函数的定义域均为Rx()y,a(a,且a)y,sinxy,cosx的定义域均为R()y,logx(a,且a)的定义域为()a()函数f(x),x的定义域为{x|x}()实际问题中的函数定义域除了使函数的解析式有意义外还要考虑实际问题对函数自变量的制约(补充)三角函数中的正切函数y,tanx定义域为,{|,,}xxRxkkZ,,,,如果函数是由几个部分的数学式子构成的那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(知识点二基本初等函数的值域注意:值域必须写成集合或区间的形式~~~()y,kxb(k)的值域是R()y,axbxc(a)的值域是:ac,b当a,时值域为{y|y}aac,b当a,时值域为{y|y}ak()y,(k)的值域是{y|y}xx()y,a(a,且a)的值域是{y|y,}()y,logx(a,且a)的值域是Ra(补充)三角函数中,,正弦函数y,sinx余弦函数y,cosx的值域均为,,R正切函数y,tanx值域为《名师一号》P知识点二函数的最值注意:《名师一号》P问题探究问题函数最值与函数值域有何关系,函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素任何一个函数其值域必定存在但其最值不一定存在(、温故知新P知识辨析()x,,,,y,函数的值域为(),,,,,:,,,,x,,,,答案:正确、温故知新P第题x,,,,x,,,,,,函数的值域为()y,,,x,,,,,,x,,,,,,B,,,D,,C,,,,A,,,,,,,,,,,,答案:D注意:牢记基本函数的值域、温故知新P第题函数yfx,的值域是,则函数Fxfx,,,,的值域是()A,,,B,,C,,,D,,,,,,,,,答案:A注意:图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析:(一)函数的定义域(据解析式求定义域例()《名师一号》P对点自测(山东)函数的定义域fx,logx,为(),,,,AB((),,,,,,,,,C()D),,,解析要使函数有意义应有(logx)>且x>即logx>或logx<,解得x>或<x<,,,,()(所以函数f(x)的定义域为,,例()《名师一号》P高频考点例()x函数f(x),,的定义域为()xA((,,B((,,C((,,)(,,D((,,)(,,x,,解析:由题意得,解得,<xx>,注意:《名师一号》P高频考点例规律方法()求函数的定义域其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则列出不等式或不等式组然后求出它们的解集(函数的定义域一定要用集合或区间表示例(补充)若函数R的定义域为fxaxx()lg(),则实数的取值范围是a答案:,,变式:fxaxax()lg(),练习:(补充)kxR若函数的定义域为fx(),kxkx则实数的取值范围是k,,答案:,,,(求复合函数的定义域例()《名师一号》P高频考点例()(北京模拟)已知函数y,f(x)的定义域为,则函数y,f(x),ln(x,)的定义域为()A(,B((,C(,D((,解析:由已知函数y,f(x)的定义域为,(则使函数y,f(x),ln(x,)有意义需,x,解得<x所以定义域为(,(x,>,例()《名师一号》P对点自测已知函数f(x),则函数f(f(x))的定义域是()xA({x|x,}B({x|x,}C({x|x,且x,}D({x|x,或x,}x,,,解析,解得x,且x,,x,注意:《名师一号》P高频考点例规律方法()(P问题探究问题类型二)已知f(x)的定义域是ab求fg(x)的定义域是指满足ag(x)b的x的取值范围而已知fg(x)的定义域是ab指的是xab(例((补充)已知的定义域是求,fx()fx(),,的定义域。答案:,,,注意:《名师一号》P问题探究问题类型三fgxab,fx()若已知的定义域为求的,,xab,,gx定义域相当于当时求的值域,,(即的定义域)fx()练习:(补充)已知的定义域是求函数的定fx(),gxfx()(),,,义域。已知的定义域是求函数的,,fx()gxfx()(),,,定义域。如:的定义域是,,fxxx(),,,,gxfxxx()(),,,的定义域,,,,练习:(补充)x、设函数fx()ln,,xx,,,,gxff(),求函数的定义域。,,,,x,,,,x,,,,,,,,,,:答案:得,,,,,,x,、设函数的定义域为求函数,fxx(),,,,的定义域。fxxx,,,,,答案:得x,,,,,,(实际问题中函数定义域的确定注意:实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外还应考虑使实际问题有意义(二)求函数值域注意:求函数的值域先求定义域,()确定函数值域的原则当函数y,f(x)用表格给出时函数的值域是指表格中y的值的集合(当函数y,f(x)的图象给出时函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合(当函数y,f(x)用解析式给出时函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定(当函数由实际问题给出时函数的值域应结合问题的实际意义确定(()基本初等函数的值域()求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点它没有固定的方法和模式(常用的方法有:《名师一号》P问题探究问题怎样求解函数的值域,求函数值域的基本方法()观察法:一些简单函数通过观察法求值域(()配方法:“二次函数类”用配方法求值域(()换元法:形如y,axbcxd(a、b、c、d均为常数且a)的函数常用换元法求值域形如y,axa,bx的函数用三角函数代换求值域(cxd()分离常数法:形如y,(a)的函数可用此法求值axb域(()单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域(()数形结合法:画出函数的图象找出坐标的范围或分析条件的几何意义在图上找其变化范围(《名师一号》P高频考点例规律方法()、()基本不等式、导数法例《名师一号》P高频考点例()yxx,,,求函数的值域答案:,,,小结:求函数值域的基本方法(配方法:《名师一号》P问题探究问题()配方法是求“二次型函数”值域的基本方法形如F(x),af(x)bf(x)c的函数的值域问题均可使用配方法要特别注意自变量的范围二次函数在给定区间上的最值有两类:()求闭区间上的最值mn,,,()求区间定(动)对称轴动(定)的最值二次函数专题例()(补充)yxxx,,,loglog,,求函数的值域,,,答案:,,例()《名师一号》P高频考点例()求函数y,x,,x的值域,t方法:令,x,t(t)则x,,,,,y,,t,t,,t,,二次函数对称轴为t,,,,,,在)上y,,t是减函数(,,,,,,故y,,,max,,故函数有最大值无最小值其值域为(,(方法:y,x与y,,,x均为定义域上的增,,x是定义域为{x|x}上的增函数函数故y,x故y,×,,×,无最小值(max故函数的值域为(,(yxx,,变式:求函数的值域txt,,,,分析:令,,,,答案:,,,形如y,axbcxd(a、b、c、d均为常数且a)的函数令使之变形为二次函数tcxd,例()(补充)yxx,,求函数的值域,,,,x,sint,,,t,分析:令,,,,,,答案:x练习:求函数的值域yx,,,,,,xtt,,,,sin,分析:令,,,,答案:,,,,小结:求函数值域的基本方法(换元法:《名师一号》P问题探究问题()运用代数或三角代换将所给函数化成值域容易确定的另一函数从而求得原函数的值域(例如:形如y,axbcxd(a、b、c、d均为常数且a)的函数令tcxd,使之变形为二次函数ax,对于含结构的函数可以利用三角代换xa,,cos,,,,,令,,,,xa,,,sin,,,,或令转化为三角函数,,强调:换元后要确定新元的取值范围,例()《名师一号》P高频考点例()求函数的值域yx,x例()(补充)x求函数的值域yx,,xxxyx,,,xxxx?xx,,?,,xx,,,xx答案:,,,x变式:求函数的值域y,xx答案:,,,,x的值域变式:求函数yx,,,xx答案:,,,小结:求函数值域的基本方法不等式法:《名师一号》P高频考点例规律方法()ab(a、bR利用基本不等式:ab)求函数的值域(用不等式法求值域时要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”(x的值域例()(补充)求函数y,x,,,答案:,,,yxx,,,例()求函数的值域(前面换元法已讲解)答案:,,,,小结:求函数值域的基本方法利用函数单调性:《名师一号》P问题探究问题()根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域(k(补充)注意双勾函数的单调性!fxxk(),,x函数在区间单调递减,k函数在区间单调递增k,,例()温故知新P知识辨析()x,,,,函数y,的值域为(),,,,,:,,,,x,,,,答案:正确,x例()(补充)求函数的值域fx,xyy,,值域,,小结:求函数值域的基本方法分离常数法:《名师一号》P问题探究问题()cxd形如的函数的值域可使用此法ya,,axbx,,x练习:、、fx,fx,xxxx,,、fx,xx,,,,yy,,答案:、、,,,,,,xx,x,、fxxx,,,,,且xxx,,,,yyy,,且,,,,例《名师一号》P高频考点例()x求函数的值域,yx法一:换元分离常数法※法二:利用函数有界性xyx由y,得,x,yyx,,,y,,y原函数的值域为(,)无最值(x,变式:(补充)求函数的值域fx,x答案:,,法一:换元分离常数法※法二:利用函数有界性sin,x变式:(补充)求函数的值域fx,sinx答案:,,,法一:换元分离常数法※法二:利用函数有界性小结:求函数值域的基本方法※(函数有界性法:(补充)直接求函数的值域困难时可以利用已学过的函数的有界性来确定所求函数的值域最常用的就是三角函数、指数函数的有界性。例()《计时双基练》P第题xxy,,,,例如:定义运算:xy,,,yxy,,,,则函数fxxxx,,,,,,,,,,的最大值为答案:《名师一号》P特色专题典例已知函数f(x),x,(a)xag(x),,x(a,)x,a设H(x),max{f(x)g(x)}H(x),min{f(x)g(x)}(max{pq}表示pq中的较大值min{pq}表示pq中的较小值)(记H(x)的最小值为AH(x)的最大值为B则A,B,()A(a,a,B(aa,C(,D(【规范解答】f(x)的图象的顶点坐标为(a,a,)g(x)的图象的顶点坐标为(a,,a)并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上如图所示H(x)的最小值是A,,a,H(x)的最大值是B,,a所以A,B,(,a,),(,a),,【名师点评】本题应是一道难度较高的题目是对学生思维能力的一个考验但通过数形结合很容易求解同学们应该认真体会数形结合这种思想在特定情景下的神奇(aab(),,练习:(补充)定义运算ab,,,bab(),,求函数的值域fxxx()()(),,,,,,答案:,小结:求函数值域的基本方法(数形结合法:《名师一号》P问题探究问题()当一个函数图象可作时通过图象可求其值域和最值或利用函数所表示的几何意义借助于几何方法求出函数的值域((补充)如两点间距离、直线斜率等等sinx例()(补充)求函数的值域y,cosx,,,,,sinsinxx,,,,,,,,,,可视作单位圆外一点y,,coscosxx,,,,P,,与圆上的点所连线cos,sinxxxy,,,,,,,P,,段斜率的倍,设过点的点的直线方程为,,,,ykx,,kxyk,,,,即kk,,k,令解得或,k,,答案:,,cosx,练习:求函数的值域,yx,,,,,sinx,,答案:,,cosx,,,变式:求函数的值域yx,,,,,,sinx,,答案:,,例()(补充)求函数的值域yxxxx,,yxxPAPB,,,,PxAB,,,,,,,其中答案:,,变式:求函数的值域yxxxx,,,答案:,,yxxPAPB,,,,,,,其中PxAB,,,,,,注意:求两点距离之和时要将函数式变形使两定点在轴的x两侧求两点距离之差时要将函数式变形使两定点在轴的x同侧。例()(补充),fxxxx,,,sin,,求函数的值域,,,,,答案:,,,例()(补充)fxxxx,,ln,求函数的值域,,,,答案:,,e小结:求函数值域的基本方法(求导法:《名师一号》P知识点三《名师一号》P问题探究问题()当一个函数在定义域上可导时可根据其导数求最值确定值域注意:(补充)()准确熟练记忆求导公式与法则ab,yfx,()()一般地如果在区间上的函数,,的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值一般地求函数在上的最大值与最小值yfx,()ab,,,的步骤为:()求在区间内极值yfx,()ab,,,()将函数的各极值与端点处的函数值yfx,()比较其中最大的一个为最大值fafb()()、最小的一个最小值一般地如果在区间上的函数ab,yfx,(),,极值存在且唯一,那么它必是相应的最值(即极大值为最大值极小值为最小值)练习:求函数fxxx,,ln在上的值域,,,',fxx,,x令得xx,,,,xxx,,x,(舍去)或'fx,,,x当时,,fx单调递增'fx,,,xfx当时,,单调递减fln,,为极大值,极大值存在且唯一,最大值ff,ln,,,,又,ln,所以值域为,,xx,例(补充)求的值域y,xx,,答案:,,,,另法:分离常数法小结:求函数值域的基本方法※(判别式法:(补充)axbxc形如不同时为的函数可用判别yaa,(,)axbxc,,y式法求其值域在由且求出的值后要ay(),检验这个最值在定义域内是否有相应的x的值注意:R只适用于定义域为且分子、分母没有公因式的情形~注意:b型可直接用不等式性质y,kx,如求的值域(答案:)y,,,,x,bxmxn和型先化简y,y,''xmxnxmxn再用基本不等式或双钩函数xy,如例:求的值域xxx例变式:求函数的值域yx,,,xx''xmxn型通常用判别式法也有的可通过分离y,xmxn常数法解决xx,如例:求y,的值域xx,''xmxny,型与类型类似可用判别式法或mxn基本不等式(三)函数值域的简单综合例《名师一号》P高频考点例()如果函数f(x)对任意的实数x都有f(x),f(,x)且当x时f(x),log(x,)那么函数f(x)在,,上的最大值与最小值之和为()A(B(C(D(,解析:根据f(x),f(,x)可知函数f(x)的图象关于直线x,对称(,,,又函数f(x)在上单调递增,,,,故f(x)在,上单调递减,则函数f(x)在,,上的最大值与最小值之和为f(,)f(),f()f(),f()f(),loglog,给定函数的值域求参数的取值(范围)例()《名师一号》P高频考点例()即P变式思考()函数f(x),在区间ab上的最大值是最小值是x,则ab,解析:知f(x)在ab上为减函数,f,a,,,,,,a,,a,,即,,f,b,,b,,,,,,,b,ab,例()《名师一号》P高频考点例已知二次函数f(x),axbx(a、b是常数且a)满足条件:f(),且方程f(x),x有两个相等实根(()求f(x)的解析式()是否存在实数m、n(m<n)使f(x)的定义域和值域分别为mn和m,n,如存在求出m、n的值如不存在说明理由(解析:()方程f(x),x即axbx,x亦即ax(b,)x,由方程有两个相等的实根得Δ,(b,),a×,b,由f(),得ab,由、得a,,b,故f(x),,xx()假设存在实数m、n满足条件由()知f(x),,xx,,(x,)则n即nf(x),,(x,)的对称轴为x,当n时f(x)在mn上为增函数(,mm,m,,,f,m,,m于是有,即,f,n,,n,,nn,n,,,m,,或m,,m,,,又m<n,n,,或n,n,,,故存在实数m,,n,使f(x)的定义域为mn值域为m,n(注意:《名师一号》P高频考点例规律方法对既给出定义域又给出解析式的函数可直接在定义域上用相应方法求函数值域(若函数解析式中含有参数要注意参数对函数值域的影响即要考虑分类讨论(可借助函数图象确定函数的值域或最值(练习:fxaxaxa,,,,已知函数在区间,,上的最大值为求实数的值。a,,解析:充分利用二次函数在闭区间上的最值必在对称轴或区间端点取得这一结论求解fxaxaxa,,,,解:函数的最大值必,ax,,或或对称轴处取得x,x,a,,f,,()令,解得’a,,,,,,,ax,,,,,,此时,,ax,,fx故的最大值不可能在处取得()令,解得a,’f,,ax,,,,,,此时,,a,,a且x,,,,aa,故时,取得最大值fx,,,a,,a,f,()令,解得’,,a,,,a要使在处取得最大值fxx,a,ax,,,,a,须且只须且,,a,a,经检验,只有合题意,a,a,综上所述,或练习:已知函数fxaxxa,,lg()若的定义域为求实数的取值范围Rfxa()若的值域为求实数的取值范围。Rfxa答案:()(),,,,,变式:已知函数fxaxax,,lgR()若的定义域为求实数的取值范围fxaR()若的值域为求实数的取值范围。fxa闭区间上二次函数最值fxxax,,,,求函数在区间上的最值,,,,,aa,答案:fx,,max,,a,,,,,a,,fxaa,,,,,,min,,,aa,,fxxax,,,变式:若函数在区间上的最小,,,,值为求的取值。aa,答案:解法一:,,,a,,fxaa,,,,,分析:求得,min,,,aa,,逐段代入求解解法二:分析:二次函数在闭区间上的最值必在对称轴或区间端点取得()令,不合f,,故的最小值不可能在处取得fxx,a,()令,解得’f,,xa,,,此时须对称轴a,,时,取得最小值故fx()令,解得’a,fa,,,要使在处取得最小值fxxa,须且只须且xa,,,,,不合题意a,综上所述,课后作业一、计时双基练P基础、P培优二、计时双基练P基础、培优课本P变式思考、对应训练、补充:练习:x练习:求函数的值域yx,,,,,,xtt,,,,sin,分析:令,,,,答案:,,,,x练习:求函数y,的值域xx,,答案:,,x变式:求函数yx,,,的值域xx答案:,,,x,,x练习:、、fx,fx,xxxx,,fx,、xx,,,,yy,,答案:、、,,,,,,xx,x,、fxxx,,,,,且xxx,,,,yyy,,且,,,,sinx练习:求函数的值域y,cosx,,,答案:,,cosx,变式:求函数的值域,yx,,,,,sinx,,答案:,,cosx,,,变式:求函数的值域yx,,,,,,sinx,,答案:,,三、计时双基练P培优课本P变式思考课本P变式思考补充:fxaxxa,,lg练习:已知函数Rfx()若的定义域为求实数的取值范围aRfx()若的值域为求实数的取值范围。a答案:()(),,,,,变式:已知函数fxaxax,,lg()若的定义域为R求实数的取值范围fxaR()若的值域为求实数的取值范围。fxa闭区间上二次函数最值fxxax,,,求函数在区间上的最值,,,,,,aa,fx,答案:,max,,a,,,,,a,,fxaa,,,,,,min,,,aa,,fxxax,,,变式:若函数在区间上的最小,,,,值为求的取值。aa,答案:解法一:,,,a,,fxaa,,,,,分析:求得,min,,,aa,,逐段代入求解解法二:分析:二次函数在闭区间上的最值必在对称轴或区间端点取得()令,不合f,,故的最小值不可能在处取得fxx,a,()令,解得’f,,此时须对称轴xa,,,a,,故时,取得最小值fx()令,解得’a,fa,,,要使在处取得最小值fxxa,须且只须且xa,,,,,不合题意a,综上所述,fxxx,,ln,练习:求函数在上的值域,,',fxx,,x得令xx,,,,xxx,,(舍去)或x,'fx,,,x当时,,单调递增fx'fx,,,x当时,,单调递减fxfln,,为极大值,极大值存在且唯一,最大值又ff,ln,,,,,ln,所以值域为,,

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