高中数学竞赛

高中数学竞赛 模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题 武钢三中 岑爱国 一 试 A一、填空题(每小题,分，共,,分) N1(方程错误～未找到引用源。 BCD2(如图，在错误～未找到引用源。 M 错误～未找到引用源。=错误～未找到引用源。，则m+2n的值为错误～未找到引用源。 ,(错误～未找到引用源。 4(单位正方体错误～未找到引用源。 错误～未找到引用源。这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 . ,(设数列错误～未找到引用源。 6(已知实数x，y，z满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误～未找到引用源。 7(若错误～未找到引用源。 8(空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误～未找到引用源。条线段( 二、解答题(共,,分) 9((16分)设错误～未找到引用源。 错误～未找到引用源。之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33( (1)求数列错误～未找到引用源。的通项公式; (2)设集合错误～未找到引用源。 错误～未找到引用源。， 求证:错误～未找到引用源。( 10((20分)过抛物线错误～未找到引用源。 错误～未找到引用源。 错误～未找到引用源。的距离均不为整数( 11((20分)已知二次函数错误～未找到引用源。有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间(试求a， b满足的条件，使 得一定存在整数k，有错误～未找到引用源。成立( 二 试 一((40分)如图，已知错误～未找到引用源。 A 未找到引用源。 错误～未找到引用源。求证:错误～ EF P BCD 二((40分)设错误～未找到引用源。( 三. (50分)已知n个四元集合错误～未找到引用源。 错误～未找到引用源。，试求n的最大值(这里错误～未找到引用源。 四((50分)设错误～未找到引用源。为正整数错误～未找到引用源。 的二进制表示数的各位数字之和，错误～未找到引用源。为数 列错误～未找到引用源。的前n项和. 若存在无穷多个正整数n，满足错误～未找到引用源。，且m错误～未找到引用源。，则称错误～ 未找到引用源。是“好数”.试问: (1)2，3，5是否都是好数, (2)错误～未找到引用源。是否都是好数, 模拟试题二 全国高中数学联赛模拟试题 江苏省盐城中学 陈健 第一试 一、 填空题:(每小题7分，共计56分) 1. 若函数图象经过点(2，4)，则的反函数必过点__________ y,f(x)y,f(2,2x) bab，c2. 、、是从集合中任意选取的3个不重复的数，则为奇数的概率为___________ ac,,1，2，3，4，5 44(n，1)，n，13. 已知数列,,的通项公式是，则数列,,的前项和=_____ a,aanSnnnn22(n，1)，n，1 12NAAByM4. 抛物线的准线与轴交于点，过作直线交抛物线于点、，点在抛物线对称轴上，且y,,x8 MNOB，则的取值范围是____________ (BM，),MN2 xyxy5. 已知，直线，,1与，,1 ,,,,R,,,,,,,,sinsinsincos，，cossincoscos，， soins,,,,，，，,cossinc的交点在直线上，则 yx,, ABCD,ADB6. 如图，四面体中，为等腰直角三角形， A 00AD,1，，且， ，ADB,90，BDC,，ADC,60 CDAB则异面直线与的距离为______________ D B x,y7. 已知点、，且满足 A(2,2)P(x,y)C , ,0,x,y,2,,，则长的取值范围是________ PAx，y,2, ,11,，,2,xy, 8. 将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_ 不同的染法.(用数字4，4 作答) 二、解答题:(三题共计44分) 2fxaxbxab,，，,,10,Rfxx,9. (本题14分)已知二次函数，设方程 有两个实数根( xx,，，，，，，12 fx?如果，设函数的对称轴为，求证:; xx,x,,1xx,,,24，，0012 bfxx,?如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围. 02,,x，，1 27a，45a,36nn10((本题15分)数列满足: {a}a,1,a,,n,N.n，n012 证明:(1)对任意为正整数;(2)对任意为完全平方数 n,N,an,N,aa,1nnn，1 11.(本题15分)用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个 扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合. 求证:总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上. 第二试 ABCDABCDAB1.(本题50分)凸四边形中，是最长边，点分别在边上，且线段平分四边形的面M,NAB,BCAN,CM MNBD积，求证:线段平分对角线. (xy，yz，zx)(x，y，z)f(x,y,z),2. (本题50分)定义，其中为正实数，求的值域. x,y,zf(x,y,z)(x，y)(y，z)(z，x) 3.(本题50分)已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证:这个点集能被一个半径为1的圆覆盖. k4.(本题50分)设是一个固定的正整数，证明:对任何非负整数，下述不定方程 n 3333k，2有无穷多个正整数解. x，x，...，x,y(x,x,...,x;y)12n12n 模拟试题三 全国高中数学联赛模拟试卷 福州一中 危志刚 第一试 一，填空题(每小题7分，共56分) 11、设适合等式则的值域是 fxfx()2(),,,fx()fx()x xyaxy，,，2、若对所有正数xy,,不等式都成立，则的最小值是 a 3、等差数列3，10，17，„，2005与3，8，13，„，2003中，值相同的项有 个. 4、在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为 ，，，，Px,yQx,y1122 d(P,Q),x,x，y,y.若到点、的“直角距离”相等，其中实 ，，，，，，Cx,yA1,3B6,91212 C0,x,10y数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 ( x0,y,10 4，45、将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染法.(用数字作答) 69n222，，6、若为一个平方数，则正整数 n, 7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止(设甲在每局 21中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 ,E,33 32a，b,8、设函数，且，，则 f(x),x，3x，6x，14f(a),1f(b),19 二、解答题(第9题14分，第10，11题各15分) 2y，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为9(已知抛物线ypxp,,2(0) ,的直线交抛物线于A，B两点，连接AO(O为坐标原点)，交(0),,,, ,,,,BA准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形ABBA的面积( xO F an，1,当为偶数时，,n,2,a,an,210(数列定义如下:，且当时， a,1,,,nn11,当为奇数时(n,a,,1n, 30已知，求正整数n( a,n19 11(对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的nn(3), 颜色(问:共有多少种不同的染色方法, 第二试 (每题50分，共200分) CABDABAD,BCCD,1、已知，、、、是圆上顺次四点，且，， ，BCDY的平分线交圆于X，的平分线交圆于，在由这六个点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么必，BADBD 为圆的直径( ab2、设，求的最大值和最小值( S,，，(1,a)(1,b)a,b,[0,1]1，b1，a xyzxy,,,, ,求所有满足方程组3、的三元实数组( xzyxz,,,(,,)xyz, ,yzxyz,,,, 4、将8个车放到如图的9×9棋盘中，使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法( (两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列) 模拟试题四 全国高中数学联赛模拟试题 东北育才学校 张雷 一试 一、 填空题(共56分，每题7分) f(x),logsinx1、函数的单调递增区间是_______________________( 1 2 2、将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则 可能的排列方法共有______ 种. 3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ?1三角形 ?2正方形 ?3梯形 ?4五边形 ?5六边形 amn4、已知(其中是大于1的正整数，且互质)化为最简二次根式后是形式，其中是大于1的正整数，m,n,pa,ba,bpb a，b且m,p互质，如果，则的最小可能值是________. m，n，p,9 22222的方程的两个实数根满足则5、若关于xx,(a，b,6b)x，a，b，2a,4b，1,0x,xx,0,x,1,1212 22的最小值与最大值的积是_________. a，b，4a，4 42244224a,b,a,2ab，b5,3,5,2，5，3，5,166、我们定义运算，如， 4224,3,5,2,5,2，3，5，5,2,16,2,252，用整数1，2，3，4和三个 号组成一个算式，则这个算式的 最大值是_________. x,2, ,7、平面上满足约束条件x，y,0的点形成的区域为D，区域D关于直线对称的区域为E，则区域D和区域E(x,y)y,2x, ,x,y,10,0, 中距离最近的两点的距离为___________. p(4),4,p(50),5,p(123),68、令表示正整数的所有数字的和，如，则 np(n) p(1)，p(2)，p(3)，？，p(2008)，p(2009)的值是_____________. 二、解答题(共44分) 9、(14分) 已知圆和圆的两条外公切线为轴及直线，若两个圆的一个交点为，且两圆半径长xCC(9,6)l:y,mx(m,0)12 度之积为68，求圆心和所在直线的方程和. mCC12 fxxxxx()2121,，,，,,10、(15分)已知函数，求的解集中元素的个数。 fxax()1,， a,b，t11、(15分)如果都是正实数，请给出一个你认为的最小正数，使得满足的任意实数，不等式ta,ba,b 成立，并证明你的结论. a，a，1,b，b，2 模拟试题五 联赛模拟题 一试 一、填空题 22k1.不等式的解集中能使成立时的的最小值为 ( x,yx，y,kx(x,1),y(1,y) 2.一个三位自然数如果同时有及称为凹数，(例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是(aaa)a,aa,a3212312 凹数)，则所有凹数的个数是 ( kT(x),p3.若是一个十进制四位整数，记的各位数码之积为，各位数码之和为，p为素数，且，xxT(x)S(x) pS(x),p,5，则中的最小者是 ( x iiia,a4.已知复数列的通项公式为a,(1，i)(1，)(1，)？(1，)，则等于 {a}nn，1nn23n 5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，且，则VVV,kV1212 ( k,min ，x,3x，1,3y，2,yx，y6.且，则的最大值是___________( x,y,R z，z,10y7.已知和是实数，，，，令，则的最大值xuu,x,y,34z,(x，4)，yiz,(x,4)，yi1212 为 ( 88.平行六面体的个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是 ( 二、解答题 19.已知函数的定义域是，并且满足(如果函数 f(x)，f(),0f(x)(0,，,)x 1,mx是奇函数，试求实数的值( g(x),f()mx,1 1*a,a，10.已知数列中，, 求证: {a}a,18(n,N)a,1，n1nn200512an 222O11.已知圆和抛物线上有三个不同的点(如果直线和PR都与圆相切(求证:直线O:x，y,1y,x,2P,Q,RPQQR O也与圆相切( 二试 ,ABC,ABCIG,BC,b,c一、内接于半径为R的圆O，令I为内心，r为内切圆半径，且I和O不重合，G为重心(证明: b，c,3a,ABC或，其中分别为三个内角A、B、C所对应的三边长( a,b,c 111444二、已知:为正实数，且，证明: ，，,1a,b,ca，b，c,34,ab4,bc4,ca 22a，b，abab,1,f(a,b),三、设是正整数，满足，求所有可能 a,bf(a,b)ab,1 取到的整数值( 四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友(朋友是相互的)(在一次 考试中，任意两名学生的成绩互不相同(如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友 的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”( 试问:“好学生”最多可能有多少个,证明你的结论 模拟试题六 全国高中数学联赛模拟试题 哈师大附中 刘利益 朱逢迁 第一试 一、填空题(每小题8分，共64分) 1,2,,100？1(从中任取5个数(可以相同)，则取到合数的个数的数学期望是 . ,, OAB，2(双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点F垂直于的直线分别交于两点(已xll，lll，11212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 知成等差数列，且与同向(则双曲线的离心率为 . OAABOB、、BFFA 222,ABC3(在中，如果，则的值等于 . abc，,6(cotcot)tanABC， AfBfCf(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))MN,,1,2,3,1,2,3,4,ABC4(已知集合，定义函数(设点，的fMN:,,,,,,,,,,,,,,,,, 外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数有,,,,个( DADCDBR，,,,,()fx() xR,5(设是定义在R上的函数，对任意的，都有 fx()fxfx(3()3,，,，) ，如果 ，则的值为 . fxfx(2)()2，,，f(1)2010,f(2011) 2010(1)na，k*naaanN,,,1,()6(数列满足: ,则 . ,,,nn，11,2na，a,k1nk7(立方体中，点分别在线段上(不包括线段的端点)，满足，则与ABBB，AMCNABCD,ABCDAM,BNM,N11111111 所成角的取值范围是 . 132228(若非负实数满足，则 . xyz,,()xyz，，,xyzxyz，，，，，,23min4 二、解答题(共56分) 9((本题满分16分) 22A、B已知直线与椭圆,:交于不同两点. 设A关于椭圆长轴的对称点为，F为椭圆的3x，4y,12A,:xmyq,，1 右焦点，试求、F、B三点共线的充要条件. A1 10((本题满分20分) 1111正数同时满足:，(求证:存在以为三边长的三角形( abc,abc,,，，,9abc,,2224abc 11((本题满分20分) 2aa，1nn，，21aa数列满足:，，.试求. aa,,1,2，，,(1,2,3,)n,？,,n201012，，2aa，1nn a(注:表示不大于的最大整数，即的整数部分.) aa,, 第二试 一、(本题满分40分) 如图，三角形ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点，圆O在D、E两点的切线交 HMBC,证明:( 于点H， A O DE BMC H 二、(本题满分40分) abbccaabc，，,2P,，， 已知都是非负实数，且，求的最大值( abc,,222111，，，cab 三、(本题满分50分) *a设数列满足:( aaaaanN,,,，,1,(),,nnnn，，1221 *求证:对任意的，都不含型质因子()( anN,43q，qN,21n， 四、(本题满分50分) ,单位圆内或圆上有8个点，任意三点不共线(求证:总有某三个点为顶点的三角形面积小于( 8 模拟试题七 联赛模拟题 一、填空题: 1. 以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点和两个焦点，得到一个正六边形，则此椭圆的离心率 为 . ,,2,,,4cos2. 在圆上有两点A，B，它们的极角分别是;由极点向直线AB作垂线，垂足为H，则H点的极坐标,55 是 . 74 2 2 sin(A，B)3. A , B为锐角，则 cosA + cosB = 成立的充要条件是 . 4. 一含有五项的等比数列，每一项都是小于100的正整数，这五项和为211，则这个数列中为完全平方数的项之和为 . 2ABCABAC，,4ABC5. 锐角?中，是高线， =，?的面积为 . AD174517,BCAD，,17 4 3 2 2 3 4 2 2 6(对任意实数 k，曲线 x+ k xy,6 xy,k x y+ y= 0总可把圆 x + y= 1 分成 等分 . 2010 (21)k,7. 数 N = 的末三位数是 . ,k,1 3220008. 已知方程x,7x+1=0的最大实根为t，则[t] 被7除的余数_______. 二、解答题: 9. 已知三棱锥 ,— BCD 在顶点 A 处的三个面角( 即 ?BAC，?CAD，?DAB )分别为75?，90?，105?;从这个顶点引三个侧面的高均为1，求这个棱锥的高. 10(用1，2，3这三个数字构造n 位数，但不允许两个1相邻，能构造多少个这样的n 位数, 2 2 11. 已知抛物线 C: y = x+ 2 x 和 C: y =,x+ a .如果直线 l 同时是C和C的切线，称l 是C和C的公切线，公切线上两个 1 2 1 2 1 2切点之间的线段称为公切线段 . ? a 取什么值时，C和C有且仅有一条公切线,写出此公切线的方程; 1 2 ? 若C和C有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分 . 1 2 加试模拟题 BP1. 设?ABC中，E、F是AC、AB边上的任意点，O、O′分别是?ABC、?AEF的外心，P、Q是BE、CF上的点，满足PE 2FQBF,, . 2QCCE 求证:OO′? PQ . A O' F EO PQ BC 1111，，，，？lnnln(1)n，2. 求证:,?1，, n=1,2,„ ; n23 3. 对于给定的正整数 k ，以f( k ) 表示 k 的各位数字之和的平方;并设 1 2009 f( k ) = f[ f ( k ) ] ，n = 1 , 2 , 3 , „ ; 试求f( 2) 的值. n + 1 1 n 2010 4(某种彩票的对奖号是个三位数(000 — 999)，开出的中奖号也是个三位数(买彩票时可以自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖号与中奖号有两个数字相同(例如中奖号为123，对奖号为423或183或125等)则中二等奖(为确保能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票, 模拟试题八 2010年数学奥林匹克协作体夏令营试题 人大附中 陈维兵 一试 一、 填空题: 21 求方程的实数解_____________ xxxy，，,2sin()10 21a,*n2 已知数列满足，则________ {}aa,aanN,,,2,()，11nn201046a，n abab(a,0,b,0)(ab,ba),13 两位数 若满足，则称为好数，则好数共有_____个。 ABCD4 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行，且 各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_______个。 ((( 2ab12，b12,b5 若a是与的等比中项，则的最大值为 。 ab，2 222PAPF，6 已知抛物线及其上的一点, 焦点和，则的最小值为 。 A(5，22)y,4xF(1，0)P 7 有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置(即从左到右必须1红1白间隔放)，并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_____种放置 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。 228 设常数k 使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交直线，交点为. 若点分别2250xyxyxyk，,，，，,xOyAB,P ,,,,,,,,,,,,,,,,PAPB,,1在这两条直线上，且，则PAPB,,______ . 二、解答题: xy，2yz，3zw，，求的最大值。 9 已知x,y,z，w,RM,2222x，y，z，w 2n，1*a,2,a,2,4,a10 数列定义如下:，而数列{}b定义为{}ab,2a,n,Nn，nn11nnn (1) 求的通项公式 {}an *明:(2) 证 bbnN,,,.nn，1 *(3) 证明: bnN,,7,.n 22xy，,1(a,b,0)P11 已知椭圆，其长轴为，是椭圆上不同于的一个动点，直线分别与同一AAA,APA,PA11122ab l条准线交于准线两点，试证明:以线段为直径的圆经过椭圆外的一个定点。 M,MMM11 二试 1、 在等腰?ABC中, AB=AC , D是边AC的中点, E是点D在BC上的投影, F是DE的中点. 证明: BF垂直于AE的充要条件是: ?ABC是正三角形. A D H F C B G E 2、 设?ABC的三边分别是a, b, c，且a+b+c=3. 求证: 1349222,a，b，c，abc,332. 23、设正整数n大于1，它的全部正因数为d，d，„，d，满足1=d0)的值域为, (,,,,1]0.5 12g(x)=log(kx-2ax+2)的定义域为A,集合B=[,1],若A?B?Φ,则实数k的取值范围是; 2___________2 22sin,cos,122，,x，y2.已知:设a,b为正实常数,θ为参变量,则满足xsinθ-ycosθ=且的点(x,y)的轨迹2222abx，y 方程是; ______________________ 1，2，？，n3.使得(n>2)为整数的最小正整数n=; _________ 24.如图,已知?C的圆心C在抛物线x=2py上(p>0) y 运动,且?C过定点A(0,p),点M,N为?C 与x轴的 A • C 1|AM|x，x ,x交点.如果.则函数f(x)=的值域是; ______________|AN|xN M O nnnn25.对于所有自然数n,使得a(9?2010+1)?2010+(b-1)?2010+1=(c?2010+1) 恒成立,且b取最大值的实数组(a,b,c)等于; _____________________ 6.用红蓝两种颜色给排成一行的10个方格染色，每一格只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么，所有染色方 法的种数是. _______________ 7.设OABC是边长为1的正四面体，E、F分别为AB与OC的中点.则异面直线OE与BF的距离是. ________ 2228.非负实数x,y,z满足x+y+z=1.则f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值是. ___________O 三.解答题(本题共3道满分44分) F 22C A xy，,1(a,b,0)9.(14分)如图,已知A,B是椭圆的左右顶点,P,Q是该椭圆上不同于顶点的两点,若直线AP,QB相交于22abE y B M 点M, P 直线PB, AQ相交于点N. x B A O FF1 2 (?)求证:MN?AB; Q N (?)若弦PQ过椭圆的右焦点F,试求直线MN的方程. 2 210.(15分)设a,b?R, 点集A={(n,na+b)|n?Z },B={(m,m+17)|m?Z }, 22C={(x,y)|x+2y?66}.试求出所有的整数n,使得存在实数a,b满足 A?B?Φ且(a,b)?C. 11.(15分)设定义域,值域都是实数集R的非常数函数f(x),g(x),满足对任意 x?R,都有f(g(x))=f(x),g(f(x))=g(x). (1)求f(x),g(x); 2(2)定义数列{a}:a=3,a=7,f(a)+g(5)=f(a)g(a)(n?2). n12nn-1n+1 二试题 (本题共4道小题每小题50分,满分200分) 一.(50分)如图,半径分别为r,R的两圆Г,Г相交于A,B两点,过点B的一条直线分别交圆Г,Г于点C,D,过点B的另一条直线1212 分别交圆Г,Г于点E,F.如果劣弧AC与劣弧AF长度之比为r?R.求证: 12F Г2 (?)CD=EF; (?)圆AEF与圆ACD的一个交点在线段FD上. A E Г1 D B x,2(1)，，C n,1二.(50分)设数列{x}满足:x=2011,,n=2,3,….其中[x]表示不超过x的最大整数.求数列{x}的通项xxx,，n1nn. nn,1,,n，， nnnnnnnnn三.(50分)给定素数p,q,r.求证:对任意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得p+q+r-1, p+q+r-2,„,p+q+r-k均为合 数. 四.(50分)设正整数a,a,„,a满足: 122010 (1)a?211(i=1,2,„,2010), i (2)任意连续若干项之和?211. 2010 a求min{}. ,ii,1 模拟试题十一 全国高中数学竞赛模拟卷 湖南师大附中 周正安 第一试 一、填空题(每小题8分，共64分) 22xxxa,，,,56A,11(已知不等式的解集A满足，则 。 a, ,,,,,,,,tan18tan36tan36tan54tan54tan72tan144tan162,，,，,，，,,？2(求值 。 33a3(在等差数列中，，则 。 anam,,,a,,,nmnmn， 4(某底面是单位圆的圆锥具有性质:在过顶点的所有截面中，以轴截面面积最大。则该圆锥的体积最小值为 。 abc，,3c,1aabc,,,5(设非零复数满足，，， abc,, n20002000则 。 n,cabab,，()() 6(用1、2、3这三个数字写六位数，要求任何两个相邻的数位不能都为1，则总共可写出 个不同的六位数。 2()xa，a,07(已知fx(),，如果函数在上为增函数，则的取值集合为 。 a[1,1],2x，1 8(将2个相同的白球，3个相同的红球，4个相同的黑球全部投入A、B、C三个袋中，则无空袋的放法有 种。 二、解答题(共56分) nn (15),,,a9((16分)已知数列满足: a,,,,nnaaan？,,1 (6)121,n, 222记baaaaaa,，，，,？？。 nnn1212 b(1) 求数列的通项公式; ,,n 2(2) 求出所有的正整数，值得bbb,,。 n，，nnn12 y10((20分)定义 Fxyxxy(,)(1),,(0,),，,，, 32b(1)设的图象为曲线C，若存在实数使得曲线C在处有斜率为-8的gxFxaxbx()(1,log(1)),，，，xx,((1,4))x,002 切线，求的取值范围; a ，(2)当且时，求证:。 xy,xyN,,FxyFyx(,)(,), ,,,,,,,,,,,,,,,,11((20分) 已知点B(,1，0)，C(1，0)，P是平面上一动点，且满足 ||||.PCBCPBBC,,,(1)求点P的轨迹C对应的方程; (2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k、k满足k?k=2.求证:直线DE过1212定点，并求出这个定点。 第二试 IC',ABC一、(40分)已知的内心为分别过B、C，A、C和A、B且与直交。与相交于另一点，IOOO,,, O O12123 同理可得点B'和点A'。 1 I,ABC'''求证:的外接圆半径等于半径的。 2 二、(40分)设， xyxyR,,,1,,， xyyx11，，,，，求证:。 xyyxxyxy，，，，，，1111 n3三、(50分)已知P为质数，均是正整数，试求方程的所有解。 nmpm,，8 2n22n，四、(50分)证明:在任意个人中，可以找到两个人A、B，使得其余个人中，至少有n个人他们中的每一个，或者都认识 A、B;或者都不认识A、B。 模拟试题十二 高中数学联赛模拟试题 第一试 一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，共64分(把答案填在横线上( acosx，bcos2x,,1a，b1(对于任意的，都有，则的最大值是 。 x max,,2010ababbC，,,,2(对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是 ((注:,, max,,xyz表示x，y，z中的最大者() ,, 3(已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—ABCD中，?BAD=60?，长为2的线段MN的一个端点M在DD上运动，另一11111 个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为___________( 0,a,b,c,dd,a,904(已知四个整数都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则a,b,cb,c,da,b,c,d a，b，c，d的值等于 ( 22PFxy1，,15(已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l:上. 当取最大值时，FFxy,，，,38230，FPF1212164PF2的值为 ( 26(已知数列的前n项之和为，且SSaS,,，,210，，则的表达式为___________________( {}aSSn,1,2,3,？nnnnnnn 2x,101,,xfxx()21,,yxa,，7(已知定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，且当时，，若直线与曲fx() 线恰有三个交点，则实数的取值范围为________________( ayfx,() 8(某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定:如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品.小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概率是__________________( 二、解答题:本大题共3小题，共56分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 21((本小题满分16分)已知抛物线的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦ABCD， 、y,4x 设弦AB、CD的中点分别为M、N. ( 1 )求证:直线MN必过定点; ( 2)分别以弦AB和CD为直径作圆，求证:两圆相交弦所在的直线经过原点. 122((本小题满分20分)设函数(其中为实常数)，数列和定义为:，{}b{}afxxaxb(),，，a,ab,n1n2 12fxxx()2430,，,b,，()，已知不等式对任意实数均成立，数列的{}b2()15afa,，xn,1,2,3,？nnnn，1，a2n 前项的和记为( nSn b(1)求实数、的值; a n，1(2)若数列的前项的乘积记为，证明:对任意正整数，为定值; {}b2TS，nTnnnnn n，，4,,,,,S(3)证明:对任意正整数，都有212( n,,n,,5,,,,，， ,3((本小题满分20分)设为n个正实数()，且， xxx,,,？xxx，，，,？1nnN,,2,12n12n xxxn12,,,？将中最大的数记为S ( 111，，，，，，，xxxxxx？11212n (1)令，，求证:yxxx,，，，，1？kn,1,2,,？kk12 1 ; yyy，，，,？12nS n,2(2)对于给定的正整数n，，求S的最小值，并求出S取最小值时 的值( xxx,,,？12n 第二试 一、(本小题满分40分)如图，已知两圆与内切，另四个圆O、、OOO3124 O、O均与内切，与外切，且连心线OO、OO与的夹OOOO5634561212O5 角相等，求证:点O、、O、O共圆( O3564O4 O1 O3 O2 O6 x,4,10,,,,二、(本小题满分40分)设i=1,2,3,n(试求下面式子的最大值与最小值: ,,i nnxi,其中，( xx,,，Sx,,in，11，xxii,,11ii，1 三、(本小题满分50分)正整数m，n均大于1，已知刚好有3个不同的质因子，求所有满足要求的数组nnnnm，，，12？，，，，，， (m，n)( 四、(本小题满分50分)甲、乙两人在一张无限大的方格棋盘上轮流下棋，每次可以将一个棋子放入任意一个方格中，且每个方格中至多放入一个棋子，现在由甲先下一个黑棋，乙接着下一个白棋，然后甲再下一个黑棋，乙再下一个白棋，„„，如此进行下去(如果在棋盘上横着或竖着连出5个黑棋，那么甲获胜，如果连出5个白棋，那么乙获胜(请问:分别对于甲、乙两人，是否各自存在一种策略，可以使得对手无法获胜,说明理由 模拟试题十三 高中数学竞赛模拟试卷 -------大连市第24中学 李振权 一试 一、填空题 20053x，1nx1(给定数列{x}，x=1，且x=，则= n1n+1,n3,xn,1n bab,ab,2、一个七位数，其各位数字相加得到，已知仍为一个七位数，且各位数字的其中六个为1，2，3，4，6，7，如果a 小明足够聪明，他能猜中第七个数字的概率为 。 3(z、z分别在实轴和虚轴上运动，保持|z-z|=2恒定，而z=z(1+i)-zi，则|z|的最大值为_________. 12123123 22xyC，,14.在椭圆中，F是左焦点，点是左准 259 ClAB线上一点，过点的直线交椭圆于、两点， FC，FAB,50:连结、、，且， FAFB ，FBA,20:，FCA,，则__________________。 5(我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________. 6(对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________. 7.设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者得到12支，则有 种不同的分法。 ,,18、已知斜四棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，，，当ABCDABCD,x，,，,AABAAD45，,BAD60111111 ___________时，平面( AC,ABDx,11 二、解答题 ,ABC,ABC9、 已知中，AC=2AB.过点C、A分别作外接圆的切线，切点分别为C和A，若两条切线相交于点P。直线BP交圆 BAC于点D. 求证:直线BP平分。 kabc+2210(已知a, b, c?R，且满足?(a+b)+(a+b+4c)，求k的最小值。 a，b，c 211(已知a>0，函数f(x)=ax-bx, (1)当b>0时，若对任意x?R都有f(x)?1，证明:a?2b; (2)当b>1时，证明:对任意x?[0, 1], |f(x)|?1的充要条件是:b-1?a?2b (46)410nan，，，n12、已知数列满足，( {}aaa,a,n1，1n21n， a，2,,n(?)判断数列是否是等比数列，若是等比数列，请给出证明，若不是，请说明理由; ,,21n，,, a,1(?)当时，求数列的前项和为; {}anSnn 1111，，,,,，,n,3(?)在(?)的条件下，证明当时，( SSS1034n 二试 一、(50分)已知为以为直径的圆上的一点， ? , ，在上的投影为，以为圆心，为半径的圆与以为直径的QABQABQABHQQHAB 圆交于点C、D(证明CD平分线段QH( n2f(x),x，ax，bx，c,n二、(50分)设为自然数， f(,1),0,f(1),,6,f(2),,9f(x)f(3),,4,f(6),119已知，，求( 三、(50分)是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除, kX,SS,XXa，i四、(50分)设|X|为子集中元素的个数;又为，是的补集;是对个参赛选手有相同的判决，证明Cikb,1 ,.a2b 模拟试题十四 一.填空题 1，x1.已知,若 fxfx()(),,fxnNfxfxfxffx(),,()(),()[()],,,,对于定义133111nn，2,x 则的解析式为______________. fx()16 2.设的某一个排列,那么表达式 abcdxyztabcd,,,,,,,,,,若变量是 2222可以取____________个不同的值. nxyztxyyzzttx(,,,)()()()(),,，,，,，, S11n3.设是集合含有3个元素的所有子集的元素之和，则__________. Slim,A,？{1,,,}n2n,1,,nn22 2,24.已知是方程的两根,且是虚数,是实数,则 ,axbxcabc，，,0(,,)为实数,,, ,5985,k()=_____________. ,,k1, 22nn25.当且仅当n被k整除时，多项式不被整除，则整数k=_________. 6.已知纯虚数的xxx,,,？xx，，，1(1)xx，，1121999 模均为1,则被4除所得余数为_______________. xxxxxxxx，，，，？12231998199919991 MxxxZFabcdabcdM,,,,,,{|011,},{(,,,)|,.,,}7.设集合,映射使得 fFZ:, fff ,已知____________. (,,,)abcdabcd,,(,,,)39,(,,,)66,,,,)uvxyuyxvxyuv,,,则(8.12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子,若要求这些朋友中任意两人至少有一次同坐一张桌,则至 少要________周. 二(解答题 22xy，,11(是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上一点，且点P不在轴上，求值 FF,x1222ab ，，PFFPFF1221. tantan22 993222anni,,()2.数列中,,求该数列前n项和. {}aS,nnn,i1 xy，3.定义在(-1,1)上的函数满足:1)对任意都有fxfyf()()()，,; fx()xy,(1,1),,1，xy 2)当时,有. x,,(1,0)fx()0, 1111求证:. ffffnN()()()()()，，,,？2511312nn，， 第二试 一. 如图在四边形ABCD中,对角线AC平分BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求，BADCDE,,在上取一点 ，,，GACEAC证:. A F D B E G C 1111333abcabbcca,,0,1,，，,，，，，，,666bca二(设,求证:. abcabc ,n三(证明:对于大于2的任意正整数,存在无穷多个. anNna,,,|1使得 22anbn[][]，四(设p是奇质数,是小于p的正整数,证明:的充分必要条件是对任何小于p的正整数n,均有等于正ab,abp，,pp奇数. 第十五套:联赛模拟 上海延安:丁虬骋 一、填空题 2x(x，8)(8,x),,(x，1)x,(0,2),1. 若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 247,，，，,，(1x)(1x)(1x)1y2. 方程组的实数解共有 组 (x,y),247(1，y)(1，y)(1，y),1，x, 3. 正方体中，点分别在线段上(不包括线段的端点)，满足，则与ABBB，AMCNABCD,ABCDAM,BNM,N11111111 所成角的取值范围是 2222是直线yx,，1MN,4. 已知上一点,分别是圆与圆上的点,则PCxy:(3)(3)1,，，,C:(1)(4)1xy，，,,21PMPN,的最大值为 n,11xi*n,Nn,25. 设函数f(x),，log，定义,()，其中，且， Sf,n2n21,xi,1 则= . Sn AD,36. 长方体中，，，则异面直线与间的距离为 . ABCD,ABCDAB,AA,4ADBD11111111 220101222x= (其中表示不超过的最大整数). 7. 求和:[][][][]1005，，，，？x,,3333 knka,6p,8. 扔6次骰子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则im,na,iimi,1 = . logm,logn67 二、解答题 12n,N9. 设为实数列，满足，其中. a,a,？,a,？a,a，01nn，n15 2a,an,5求证:当时，. nn，5,5 22xyABCD,，,,,1(0)abABCD,ACFBD10. 设F椭圆的焦点，为过焦点的弦，满足，求“蝶形”面积的最大22ab 值和最小值. 2().aR, 11. 设函数 fxaxx()83,，， gxxfxfx()(),(), (1)若与在同一个值时都取得极值，求的值. xagx() Ma()xMa,[0,()]|()|5.fx,(2)对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有 a Ma()?的表达式; Ma()?的最大值及相应的值. a 第二试 ,ADC,CDRt,ABC,BCD,ABC1、在中，是斜边上的高，记分别是，的内心，I在AB边上的射影为;I,I,IO121 BCACCD，CAB，ABC，的角平分线交，分别于P，;的连线与相交于.求证:四边形为正方形. OIOIOQPQ21122 C O 2PQ I2 II1 OADB1 333abcabc，，，，，,2、设,求证:. abcR,,,2222222222223aabbbbccccaa,，,，,， b,ABCBC,aCA,bAB,c,ABC3、设的内切圆半径为1，三边长,,.若、、都是整数，求证:为直角三角形. ac n,64求证:面积为1的凸边形可以被面积为2的三角形覆盖( n 第十六套:高中数学联赛模拟题 华南师大附中 宋红军 一试 姓名 成绩 一:选择题(每小题8分，共64分) 1、设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，从X到Y的映射满足条件:对于每个x,X，恒有x+f(x)为奇数，则f 这样的映射一共有 18 个。 y2、已知x+lgx=10,y+10=10，则x+y= 10 。 ,73、设f(z)=3z(cos,)，这里z是复数，用A表示点f(1+3i)，B表示点f(0)，C表示点4i，则?ABC= 60: 。 +isin66 24、设抛物线y=2x的焦点为F，以P(4.5,0)为圆心，|PF|长为半径作一圆，与抛物线在x轴上方交于点M、N。 则|MF|+|NF|的值是 8 。 5、已知四棱锥S—ABCD的底面为平行四边形，面SAC?面SBD，若?SBC、?SCD、?SDA的面积分别为 5,6,7，则?SAB的面积等于 38 。 aaa31356、若1?a?a?a?a?a?a?64，则Q= + + 的最小值为 。 123456aaa4246 7、一个由16个小方格组成的的棋盘，将其中8个小方格染黑，使得每行、每列都恰有2个黑格，有 90 4，4 种不同的染法。 75pq8、已知M=2t=3s，其中t是奇数，s不能被3整除，则M的所有形如23(其中p,q为自然数)的约数之 和等于 92820 。 二:解答题(9小题每小题16分，10、11小题20分，共56分) 9、数列{a}定义如下:a=a=1,a=14a-a(其中n,N)，求证:对所有的正整数n，2a-1是完全平方数。 n01n+2n+1nn 2证明:数列{a}对应的特征方程为x-14x+1=0，其两根为x=7+43,x=7-43， n12 nn? a=,?(7+43)+,?(7-43) n 又a=a=1 01 2-32+3? ,= ,,= 44 2-32-32+32+3nn2n2n? a= ?(7+43)+ ?(7-43)= ?(2+3)+ ?(2-3) n4444 2-32+32n2n? 2a-1= ?(2+3)+ ?(2-3)-1 n22 3-13+122n22n =()?(2+3)+()?(2-3)-1 22 3-13+1nn2 =[?(2+3)-?(2-3)] 22 ninn-ii由二项式定理得:(2+3)= ?(3)C?2,n i=0 nn可设(2+3)=x+y3,其中x,y为整数，则(2-3)=x-y3 3-13+1nn22? 2a-1=[?(2+3)-?(2-3)]=(3y-x) n22 又? 3y-x为整数 ? 2a-1是完全平方数。 n 解法二:用归纳法证明。 2(构造数列{b}:b=-1,b=1,b=5,b=4b-b，证明2a-1=b) n012n+2n+1nnn 525252310、已知a,b,c为正实数，求证:(a-a+3)(b-b+3)(c-c+3)?(a+b+c) 证明:? a,b,c为正实数 53232222? a-a-a+1=a(a-1)-(a-1)=(a-1)(a+1)(a+a+1)?0 523 523? a -a+1>a? a-a+3?a+2 523523同理可得:b-b+3?b+2;c-c+3?c+2; 525252? (a-a+3)(b-b+3)(c-c+3) 333?(a+2)(b+2)(c+2) 333333333333=abc+2ab+2bc+2ac+4a+4b+4c+8 333333333333333333333333=(a+b+c)+(a+ab+1)+(a+ac+1)+(b+ab+1)+(b+bc+1)+ (c+ac+1)+(c+bc+1)+(a+b+c+ 333abc+1+1) 333222222?a+b+c+3ab+3ac+3ab+3bc+3ac+3bc+6abc 3=(a+b+c) 当a=b=c=1时取等号。 11、点P到定点F(-1,2)和到定直线x=-3的距离之和等于4。(1)求点P的轨迹方程，并画出曲线L。(2)直 x=-1+tcos, ,,线l:, 为倾斜角，t为参数)。与曲线L交于P、Q两点，记f (, )=,PQ,，试求f (, )的表达 (,y=2+tsin , 式及其最大值和最小值。 解:(1)设P点的坐标为:P(x,y)，则有 22(x+1)+(y-2)+|x+3|=4 2? 当x?-3时，(y-2)=-4x 2当x?-3时， (y-2)=12(x+4) 2(y-2)=-4x (x?-3),,? P点的轨迹方程为: 2(y-2)=12(x+4) (x?-3), (2)以F(-1,2)为极点，x轴正向为极轴，建立极坐标系，则 当x?-3时，P点轨迹为以F(-1,2)为焦点的抛物线， 2此时的抛物线椎坐标方程为,= (-120:?,?120:); 1+cos, 6当x?-3时，P点轨迹也为以(-1,2)为焦点的抛物线;此时的抛物线椎坐标方程为,= (120:?,?240:);1-cos, 直线方程为, =,; 0 直线与曲线相交有两种情况: 2(1)直线只与一条抛物线相交时，这条抛物线方程必为:,= 且60:?,?120:，此时 1+cos, 224164?|PQ|= + = ? 231+cos1-cos1-cos,,, 当,=90:时取最小值;当,=60:时取最大值。 (2)直线与两条抛物线都相交时，-60:??60:，此时 , 26816 4?|PQ|= + = ? 31+cos1+cos1+cos,,, 当,=0:时取最小值;当,=60:时取最大值。 4, (60:?,?120:)2,1-cos,? f (, )= ,8 (-60:??60:),,,1+cos, 16且f (, )的最大值为 ，最小值为4。 3 二试 姓名 成绩 一:本题满分40分 给定锐角?ABC，在BC边上取点A、A(A位于A与C之间);在CA边上取点B、B(B位于B与A之间);12211221 在AB边上取点C、C(C位于C与B之间)。使得?AAA=?AAA=?BBB=?BBB=?CCC=?CCC。1221122112211221 直线AA、BB、CC可构成一个三角形，直线AA、BB、CC可构成另一个三角形，求证:这两个三角形的111221六个顶点共圆。 一:证明:设上述两个三角形分别为图中所示的?UVW和?XYZ，则 A? ?BBB=?CCC 2112 C1 B2XU? ?ABB=?ACC 212CWB1Y VZB A1CA2 ? ?BAB=?CAC 21 ? ?ABB??ACC 21 ACAB12? = 且?ABB=?ACC 21ACAB 同理可得:?BAA=?BCC 12 ? ?AVB=?BAA+?BBB+?ABB=?BCC+?CCC+?ACC=?ACB 111122222同理可得:?ACB=?AXB 2 ? ?AVB=?AXB同理可得:?AZC=?AUC 12 21 AVABABAB在?ABV中: = = = sin?ABVsin?AVBsin?AVBsin?ACB1 ABAC同理可得: = sin?ACBsin?ABC AZACACAC; = = = sin?ACZsin?AZCsin?AZCsin?ABC2 ? AV=AZ 同理可得:BW=BX;CU=CY ACACAU11AC又 = = ? ACsin?ACUsin?AUCsin?ABC11 ABAB2AB2AX= ? = = ABsin?ACBsin?AXBsin?ABX22 ? AU=AX 同理可得:BV=BY;CW=CZ ? UX?BC;UX?CA ? ?AUX=?AAA=?BBB=?BWX 2211? X位于?UVW的外接圆上 同理可得:Y位于?UVW的外接圆上;Z位于?UVW的外接圆上 ? U、V、W、X、Y、Z六点共圆。 二:本题满分40分 1113设a, b, c > 0，求证: + + ? 。 a，1 + b，b，1 + c，c，1 + a，33abc(1+abc) 3aaa123 证:记k = abc > 0，作分式变换 a = k? b = k? , c = k? ， aaa312a, a, a > 0， 123 aaa3312 + + ? „„ ，*， 则原不等式等价于 a + kaa + kaa + ka1 + k122331 a12由Cauchy 不等式有 ? ??a，a + ka， ? ，a + a + a， „„ ? 123123a + ka23 而 ?a，a + ka， = ，1 + k，，aa + aa + aa， „„ ? 123122331 2，?a， ? 3，aa + aa + aa， „„ ? 1122321 由???立得，*，，故原不等式得证。 三:本题满分50分 99aaa01n-12求所有正整数a,a,„,a，使得 = + +„+ ，其中a=1,(a-1)a?a(a-1),k=1,2,„,n-1。 12n0k+1k-1kka100aan12 解:设是满足已知条件的正整数。因为，所以， a,a,？,aa,1a,112n01 a990,,1否则, 即有，且a,a，假设，则 a,a,a,2a,210kk,1k1a1001 222aa,aa,a(1)(1)kkkkk，综上所述，有 a,，,,,a1，1kkaaa,1,1,1kkk 2k,0,1,2,？,n,1，其中将不等式重写为 (a,1),a(a,1)a,a,a,2k，k,kkk，1kk，111 aaaaak,1kk,1k,1k,,,，即。 a(a,1)a,1aa,1a,1kkk，1kkk，1 aaaaaaii，1n,1in,1n,1k,i，1,i，2,？,n,1，，？，,,对于及求和可得 aa,1aaaa,1nni，1i，2ni，1 1001001991i,0,,当时，有，即，则。 ,a,a,211a100a,1999911 aa99120020011,,,i,1当时，有，即，则。 ,a,，1a,522a100aa,19949212 ,,a119911551,,i,2,,,,当时，有，即，则。 55,a,55，1a,5633,,aa100aaa,19932123,, ,,aa11991112,,i,3,,,,,当时，有，即 ,,aa100aaaa,1431234,, ，则。 56，14，100,a,56，14，100，1a,7840044 119912556,,,,,,,,0i,4当时，有，不可能。 ,,aa100255678400,,54 因此，是惟一的解。 a,2,a,5,a,56,a,784001234 四:本题满分50分 12设n和k是正整数，满足 n0，因此这种 G H I 分法是合理的。 假设在矩形区域B中有b行没有“车”，H中有h行没有“车”，D中有d列没有“车”，F中有f列没有“车”。任取B中没有“车”的b行中一行，并向左、右延伸到整个棋盘，则这一行延伸到A的部分至少含有1个“车”，否则放法不是“好的”。同理，这一行在C的部分至少含有1个“车”。在A和C中对这一行中的两个“车”所在的方格各作一个记号。 同理对H中没有“车”的h行有同样的结论。而对D和F中没有“车”的d列和f列也具有同样的结论。因此在A?C?G?I中总共有“车”的方格作了2(b+h+d+f)次记号，而每个方格最多做了两次记号。所以有记号的方格至少有b+h+d+f个，它们中的每一个方格内都有1个“车”。因此，在A?C?G?I中至少的b+h+d+f个“车”。 又由于B中至少有n-k-b个“车”, H中至少有n-k-h个“车”，D中至少有n-k-d个“车”，F中至少有n-k-f个“车”，所以m?4(n-k) 综上所述:要使每行、每列都不存在连续的k个方格上都没有放“车”，至少要放4(n-k)个“车”。