初中数学教材中有关函数的主要内容包括,常量与变量,函数的概念

初中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 教材中有关函数的主要内容包括,常量与变量,函数的概念 篇一:八上第七章《常量与变量、认识函数》 教育学科教师辅导讲义 篇二:初中函数概念大全 函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 1 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念:一般地，如果y?kx?b(k，b是常数，k?0)，那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y?kx?b中的b为0时，y?kx(k为常数，k?0)。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数y,kx，b(k?0)的图像是经过点(0，b)的直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次函数在y轴上的截距);正比例函数y?kx的图像是经过原点(0，0)的直线。 3、斜率: 2 y2?y1 k?tan?? x2?x1 ?直线的斜截式方程，简称斜截(来自:WWw.xlTkwj.com 小龙文 档网:初中数学教材中有关函数的主要内容包括,常量与变量,函数的概念)式: y,kx，b(k?0) ?由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: y?kx?b?(tan?)x?b? y2?y1 x(x?x1)?y1 x2?x1 ?由直线在x轴和y ?设两条直线分别为，l1:y?k1x?b1 若l1//l2，则有l1//l2?k1?k2且b1?点P(x0，y0)到直线y=kx+b(即: 4寻求解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 方法) 如图:点A坐标为(x1，y1)点B则AB间的距离，即线段AB 5、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y?kx(k?0)中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y?kx?b(k?0)中的常数k和b。解这类问题 3 的一般方法是待定系数法。 6、(1)一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。 (2)当k0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大;从左至右图象是上升的(左低右高); (3)当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的(左高右低); (4)当b0时，与y轴的交点(0，b)在正半轴;当b<0时，与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b,0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线 (5)几条直线互相平行时 ，k值相等而b不相等。 反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数y? k?1 (k是常数，k?0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y?kx的形式。自变x 量x的取值范围是x?0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k是常数，k?0) 反比例函数中，两个变量成反比例关系:由xy=k，因为k为常数，k?0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k?0)是正比例关系:由 4 2、反比例函数y= y =k (k?0)，因为k为不等于零的常数，两个变量的商是定值。 x k (k?0)的图象的画法 画图方法:描点法。 x 由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要 注意:k0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升)(因此，它的增减性与一次函数相反(反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。 特点:y= k =kx-1(k?0)中，?x?0，? y?0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x轴、yx 轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。 4、反比例函数解析式的确定 确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何的意义 如下图，过反比例函数y? 5 k 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的x k (k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积x S=PM?PN=y?x?xy?y?二次函数 k ,?xy?k,S?k x 1、二次函数的概念:一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。 2 y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像:二次函数的图像是一条关于x?? b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a 3、二次函数图像的画法五点法: (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点: 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个 6 点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 2 bb4ac?b2b?4ac?b2?2 (?)(1)公式法:y?ax?bx?c?a?x?，?顶点是，对称轴是直线x?? ?? 2a2a4a2a?4a? (2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线 2 2 x?h. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线 上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为:x?(x2,y)(及y值相同)5.抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用 7 (1)a决定开口方向及开口大小?当a?0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点;当a?0时，抛物线开口向下;顶点为其最高点。 a相等，抛物线的开口大小、形状相同. a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大。? 平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0. 2 (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线x?? x1?x2 2 b， 2a 故:?b?0时，对称轴为y轴; ? ? b ?0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧; a b ?0(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧. a (3)c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置.当x?0时，y?c，?抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点(0，c):?c?0，抛物线经过原点; ?c?0,与y轴交于正半轴;?c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 8 6、二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0) (2)顶点式:y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0) 2 (3)交点式:当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和x2存在 2 b ?0. a 2 2 时，根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax?bx?c可转化为两根式 22 y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下: 7、二次函数的最值 b4ac?b2 y最值?如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当x??时，。 2a4a 如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看? 9 b 是否在自变量取值范围x1?x?x2内，若在此范围内，2a b4ac?b2 则当x=?时，y最值?;若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围 2a4a 2 内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c;如果在此范围22内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，y最小?ax2?bx2?c。 8、二次函数的图象 9. 抛物线的交点 (1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0, c). (2)抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方 程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式 2 2 2 篇三:初中数学- 变量与函数 10 14.1 变量与函数 重要知识点讲解 1、常量与变量 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。 2、函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。 3、在一个函数关系式中，如果当x?a时，y?b，那么b叫做当自变量的值为a时的____________。 4、自变量的取值范围 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。 5、函数的图像 (1)对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。 (2)描点法画函数图像的一般步骤是:?___________;?_____________;?__________; (3)当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________;当图像从左向右下降时，函数值随自变量 11 的变大而_________。 (4)函数的表示方法:共有_______种，分别是______法、______法、和______法。 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :1、变量，常量;2、唯一，x，函数;3、函数值;4、自变量的取值;5、(1)横坐标，纵坐标，图像;(2)列表，描点，连线;(3)变大，变小;(4)3，图像，列表，解析式。 重要知识点讲解 知识点一:变量和常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 详解:如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。 注意:(1)变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如:s、v、t三者之间; (2)区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变(即是否会取不同的数值); (3)在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如:长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。 12 例1 写出下列各问题中所满足的关系式，并支出各关系式中，哪些是常量，哪些是变量。 (1)购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔n之间的关系; (2)运动员在400m一周的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步速度v(m/s)的关系。 答案:(1)y与n之间的关系为:y?0.4n，其中，常量为0.4，变量为y和n。 (2)t与v之间的关系式为t?400，其中，常量为400，变量为t与v。 v 知识点二:函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说x为自变量，y是x的函数。 详解:例如，一列货车以80km/h的速度匀速行驶，如果行驶了th，那么路程s?80t(km)。这时的速度80km/h是不变的量，而t和s是变化着的量，t可以在非负实数范围内取任意值，对于t的每一个确定的值，必可以求出唯一的一个确定的路程s与之相对应，因此路程s是时间t的函数。 注意:对函数概念的理解，主要应该抓住以下五点: (1)在某一个变化过程中必须有两个变量x与y。如x?y?x3,?y?yx5,?4,y?x2?2x?5等。 13 (2)对于自变量x的取值，必须使代数式有意义。如:y?2x?1中的自变量x可以在实数 范围内取值;如y?2x?1?0。另外，在实际问题中，自变量x的取值必须使实际问题有意义。如多边形的内角和y是变数n的函数，即y?(n?2)?1800，如果只是从代数式有意义的角度来考虑，n是可以取任意实数的，但我们知道多边形的边数n必须是大于2的正整数。 (3)函数的实质揭示了两个变量之间的对应关系:x每取一个值，y都有唯一的值与之相对应，否则y就不是x的函数。 (4)判断两个函数是不是同一个函数，应该从自变量的取值范围，函数y的取值范围、函 x2 数解析式是否一致来判断。如:?y?x和?y?，其中?中的x可以取任意实数，?中x x2 的x取不等于0的实数，所以y?x和y?不是同一个函数。 x (5)含有一个变量的代数式可以看作是这两个变量的函数。如3x?5，我们可以将x和x看作两个变量，3x?5随x的变化而变化，x在实数范围内每取一个值，3x?5就有唯一的值与之对应，所以3x?5是x的函数。 14 例2判断下面变量之间的关系是不是函数关系: (1)已知圆的半径r?2cm，则圆的面积S??r2; (2)长方形的宽一定时，其长与周长; (3)王明的年龄和他的身高。 答案:(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。 知识点三:自变量的取值范围 函数关系式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义。 (1)当函数解析式是整式时，自变量的取值范围可取全体实数; (2)当函数解析式是分式(分母中含有字母)时，自变量的取值范围要使分母不等于零。 (3)当解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数; (4)对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义; (5)自变量的取值范围可以是有限的或无限的，也可以是几个数或单独的一个数。例 如:y?x的取值范围是x? 0;y?是x?3。 (6)在一个函数关系式中，当自变量x同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是使它们分别有意义 15 的取值的公共部分。 例3 求下列函数中自变量x的取值范围: (1)y?2x?3; (2)y?3x2?4x?1; (3)y? (4 )y; (5 )y?1; x?1 例4 已知:等腰三角形的周长为30cm，设底边长为ycm，腰长为xcm，试写出y关于x的; (6 )y? 函数关系式，并确定x的取值范围。若底边长为6cm，求腰长是多少, 答案:由题意，得2x?y?30，所以y?30?2x。由解析式本身有意义，得x为全体实数。又由使实际问题有意义，则要考虑边长为正数，且要满足三角形三边关系定理。所以有: ?x?0?x?0???y?0即?30?2x?0，解得7.5?x?15。 ?2x?y?2x?30?2x?? 当y?6时，30?2x?6，解得x?12。所以腰长是12cm。 知识点四:函数值 对于一个函数，当自变量x?a时，我们可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是x?a时的函数值。 详解:(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值;当已知函数解析式，给出函数值，求相应的自变量的值就是解方程。 16 (2)对于一个函数，可能有若干个函数值。x取不同的值，函数值可能不相等。因此我们应该说明自变量x取什么值时的函数值，如:函数y?x?3，当x?0时的函数值是-3，x?3时的函数值就是0.而不能简单地说函数y?x?3的函数值是-3。 例5 已知:函数y? 值。 答案:(1)k?3;y?2; 知识点五:函数的表示方法 函数的表示方法，一般有三种:解析式法、列表法和图像法，其中解析式法应用较多。有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示。 详解:解析式(函数关系式):用来表示的函数关系式的数学式子叫做函数解析式或函数关系式，例如以前我们学过的代数式都是解析式。 (1)解析式法:用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法。解析式法能揭示变量之间的内在联系，便于我们研究、分析变化趋势，但较抽象，且并不是所有的函数都能列出解析式。如:人的体重和时间之间的函数关系，就很难用解析式法来表示。 (2)列表法:用表格来表示函数关系的方法，这种方法比较具体，但有时很难找出两个变量之间的内在联系。 k1， 17 当x??2时，y??3。(1)求k的值;(2)当x?时，求y的x?12 (3)图像法:用图像来表示函数关系的方法，这种方法直观，通过图像可以直观地发现两个变量之间的对应关系及变化发展趋势，但不精确。 三种方法各有优缺点，在学习应用中，应视具体情况，选择适当的表示法，或将三种方法结合适用。 例6 下列图形不能体现y是x的函数关系的是( ) 答案:C 知识点六:图像的概念 一般地，对于一个函数，如果你把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。 详解:如:对于函数y?x，在坐标平面内描出的横坐标和纵坐标相等的点。由几何知识(到一个角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线)知，这样的点组成的图形是一条直线(第一、三象限角平分线)，这条直线就是函数y?x的图像，如下图所示。 函数图像上的点的坐标与其解析式之间的关系:由函数图像的定义可知图像上任意一点P(x,y)中，x,y是解析式方程的一个解。反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图像上。 通常判定点是否在函数图像上的方法:将这个点的坐标代 18 入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图像上;如果不满足函数解析式，这个点就不在函数的图像上。 说明:两个函数图像的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解。 由于实际问题的制约，自变量的取值范围，应符合以下条件:?使函数表达式有意义;?符合题意与实际情况。 例7 小明晚饭后出去散步，从家里出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟后，用15分钟返回家，下列图中表示小明离家的距离y(米)与离家的时间x(分)之间的函数关系式是( ) 答案:D 知识点七:由函数解析式画图像的一般步骤 (1)列表:列出自变量与函数的一些对应值; (2)描点:以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出对应的点; (3)连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 注意:用描点法画函数图像应注意以下几点:(1)列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图像能反映出函数的全貌。(2)描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图像越准确。(3)连线时要用光滑的曲线把所描的点顺 19 次连接起来。函数的图像可以是直线或者是射线或线段或曲线，它形象直观地反映两个变量之间的对应关系，在确定函数图像时要注意自变量的取值范围。 例8画出函数y??2x?1的图像。 经典例题讲解 例1 ?ABC底边BC上的高是6cm，当三角形的顶点C沿底边BC向点B运动时，三角形的面积发生了变化，如图所示， (1)如果三角形的底边BC长为xcm，那么三角形的面积ycm可以表示为______________; (2)在这个变化过程中，常量是___________，变量是___________; (3)当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从___cm2变化到______cm2. 例2 下列式子中的y是x的函数吗,为什么, 2 (1)y=3x- 5 ;(2) yx-y2=0; x-2(4)y=; (5)yy=x.x-1 答案:(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。 例3 一水库的水位在最近6天内持续上涨，记录数据如下表所示: (2)估计这种上涨的势头还会持续2天，试预测再过2 20 天水位将达到多少米。 例4 如下图，在长方形ABCD中，AB?2,BC?7,P是BC边上与B点不重合的动点，过点P的直线交CD的延长线与点E，交AD于点Q(Q与D不重合)，且?EPC?450，设BP?x，梯形CDQP的面积为y，求当0?x?5时，y和x之间的函数关系式。 相关热词搜索:函数 常量 内容包括 变量 初中数学 大学数学中变量和常量 生活中的常量与变量 21