三角函数最值问题

三角函数最值问题 目 录 摘要 ...................................................................................................................................................II ABSTRACT .........................................................................................................................................III 第一章 绪论 ...................................................................................................................................1 1.1 三角函数的起源与发展 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1 1.2 三角函数的最值问题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1 第二章 解决三角函数最值问题的方法技巧 ...............................................................................3 2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题 ???????????????????????????????????????????? 3 2.2 利用转化(或化归)思想解决最值问题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 4 2.3 利用换元法解决最值问题 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7 2.4 利用数形结合解决最值问题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11 2.5 利用不等式解决最值问题 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12 第三章 三角函数最值的简单应用 .............................................................................................14 3.1 在数列中的简单应用 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14 3.2 在不等式中的简单应用 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 15 3.3 在几何中的简单应用 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 16 3.4 在复数中的简单应用 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 17 第四章 结论 .................................................................................................................................19 参考文献 ..................................................................................................... 错误～未定义书签。20 致谢 .............................................................................................................错误～未定义书签。21 三角函数最值问题的若干讨论 三角函数最值问题的若干讨论 学生: 指导教师: 摘要 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用～在近几年的高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 中经常出现～成为高考中的一个命题热点～同时也是高中数学必修课中的几大内容之一。解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有 和三角函数图像～而且还会用到三角函数的多种恒等变化。同时～在三角函数的最值界性 问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题,而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用三角函数的最值来求解。由此看来～三角函数的最值问题具有一定的综合性和灵活性。 本文将从具体的是实例出发～介绍并 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 求解三角函数最值问题的几种基本方法和几种比较典型的解题方法～找出一般的解题方法和技巧,在介绍三角函数最值在数列、不等式等题型中的简单应用。 关键字:三角函数,最值,方法,技巧,应用 II 三角函数最值问题的若干讨论 TRIGONOMETRIC NUMBER OF DISCUSSIONS ON THE QUESTION OF THE MOST VALUE Student: teacher: ABSTRACT Trigonometry problem is the most value of trigonometric function that the basic knowledge of comprehensive application, In recent years the high exams often appears in, become a hot spot in the university entrance exam proposition, also the high school mathematics required courses in one of several major contents. To solve the most value of trigonometric function, not only can use ask basic trigonometric definition, monotony, parity, the periodicity, the boundedness and trigonometric functions image, and will use trigonometry multiple identical changes. Meanwhile, in the most value problem trigonometric function often involves elementary function,, inequality equation, a few problems; how And in solving some problems such as sequence, inequality will also be by trigonometric function of most value to solve. Consequently, the most value problem trigonometric function has certain comprehensive and flexibility. This paper will start from the concrete examples, is introduced and analyzed the most value problem solving trigonometric functions of several basic method and several comparatively typical problem solving method, and find out the general problem solving methods and skills; In the introduction of the most value in the sequence of trigonometric function and inequality in regearching into simple application. Key words: trigonometric function, optimum value, method, technique, adhibition III 三角函数最值问题的若干讨论 第一章 绪论 1.1 三角函数的起源与发展 三角学的概念起源甚早，在古文献「莱因德纸草书」出土后证据显示古埃及人己有实用三角学的粗略概念，来保持金字塔每边都有相同的斜度，只是当时并没有使用余切这个名词而已。至公元前150年至100年间，希腊人热衷天文学，开始研究三角学，于是三角学渐渐有了雏形。后来印度人吸收了希腊人在三角学方面的知识，再加以改进，也把它当 长久以来，三角学就这样依附着天文学发展，直到十三世纪，才从成研究天文学的利器。 天文学中脱离成一门独立的学科。十六世纪的欧洲，由于航海，历法计算的需要，更增加三角学的重要性。如今它不但应用于天文、地理、航海、航空、建筑、工程、体育等的一门基础学问，甚至在我们日常生活中，也成为不可欠缺的知识。 三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变数之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。 在数学中，三角函数(也叫做圆函数)是角的函数;它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。 三角函数最一开始是用来表示角度和直角三角形三边边长关系的式子，直角三角形中sinx的和可由毕氏定理给出它的定义:若一个直角三角形，它的一个锐角角度为，cosxx sinx因此得到正弦函数和余弦函数的定义。 cosx 1.2 三角函数的最值问题 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点。其出现的形式，或者是在小题中单纯的考察三角函数的值域问题，或者隐含在解答题中，作为解决解答题所用的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 之一，或者在解决某问题 1 三角函数最值问题的若干讨论 时，应用三角函数的有界性会使问题更易于解决。在三角函数最值问题中，不仅仅会考查到三角函数的定义、基本性质、函数图像，它可能会牵涉到数列、几何、方程等高中其他章节的知识。因此，三角函数的最值问题也成为高中必修课中几大内容之一。 由于，三角函数的最值问题变化性强、综合性高，学生在解有关三角函数最值问题的题目时，常常出现思路模糊，难以抓住问题的中心导致不能找到适合题目问题的解题方法。本文将针对历年高考中出现的关于三角函数最值的各类问题进行探讨，寻找解决该类题型的基本思路、技巧和方法。 查阅三角函数最值问题的相关书籍与1995年到2010年的高考试题，不难发现:三角函数最值问题的出现形式变化多，有时以小题单独考查，有时结合三角函数的其他基本知识综合考查，甚至出现在数列、几何、不等式等大题之中。虽然，三角函数最值问题的题型多而杂，但是我们可以根据解决不同最值问题的方法将其进行归纳汇总。 本文中归纳和总结了多种方法技巧，如用三角函数的基本性质解决最值问题、用转化思想与换元思想如何将复杂的三角函数化为较简单的函数来解决最值问题、以及如何利用数形结合或不等式解决三角函数最值问题的。我们在解题的基础上加以分析与点评，使方法技巧更加易懂与迁移。 在归纳总结的基础上，本文将简要的介绍三角函数最值在数列、几何、不等式、复数等中的应用。 2 三角函数最值问题的若干讨论 第二章 解决三角函数最值问题的方法技巧 2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题 对于一些比较简单的纯粹求三角函数最值的问题，我们可以直接利用三角函数的定义、基本性质和一般三角函数的图像求解最值。 (1)、应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律求解问题。 三角函数值在四个象限中的符号规律如下: 当角在第一象限时: 正， 正， 正， 正; sin,tan,cot,,cos, 当角在第二象限时:sin, 正， 负， 负， 负; tan,cot,,cos, 当角在第三象限时: 负， 负， 正， 正; sin,tan,cot,,cos, 当角在第四象限时:sin, 负， 正， 负， 负. tan,cot,,cos, coscotxxsintanxx例1 函数的值域是( )。 y,，，，sincostancotxxxx A.{ -2，4 } B. { -2，0，4 } C.{ -2，0，2，4 } D.{ -4，-2，0，4 } 分析:由三角函数值在四个象限中的符号规律不难看出，解决这种题型是应当注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。 y,4y,,2解:当在第一象限时，函数值;当在第二象限时，函数值;当在xxx y,,2y,0第三象限时，函数值;当在第四象限时，函数值. x 所以，函数的值域为{ -2，0，4 }.选B. (2)、直接应用三角函数的有界性确定最值，就是利用我们所熟悉的三角函数(如yx,sinyAxB,，sinyx,cos，)的有界性帮助我们解决形如函数求与最值相关的问题。 1MMm，例2 设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于myx,,cos13 ( ) 224,2(A) (B) (C) (D) ,,333 3 三角函数最值问题的若干讨论 解析:首先，由于函数的有界性清楚的知道其最大值和最小值分别是1，-1;yx,cos 1111从而，函数的最大值和最小值分别是，;所以，得到函数,yx,cosyx,,cos13333 24的最大值，最小值. M,,m,,33 24因此，得到，即选D. Mm，,,，,,,()()233 2.2 利用转化(或化归)思想解决最值问题 转化(或化归)思想是在解决三角函数最值问题时最常用的方法或技巧，它能很有效 的将一些复杂的问题简单化。 在中学数学中，转化思想有三种常见的形式: (?)化大为小，化繁为简; (?)等价转化思想; (?)不等价的转化思想。 同时，在转化中有几种常用的方法: (?)分类讨论的方法; (?)极端化的方法; (?)特殊与一般互相转化的方法; (?)分解与分组的方法; (?)关系—映射—反演原则; (?)构造模型与变换的方法。 在三角函数最值问题中的转化常常会用到配方法、换元法、三角恒等变化等等。在解 4242sinxcosxsinxcosx决有， ， ，等高次函数问题时，需要先降次，再进行转化。 对于分数形式的三角函数也要进行一定的转化，将其化简后再求其最值。 y,Asin(,x，,)，B(1)、化成的形式 ,,，，yxx,，sincosx,,,例3 求函数，的最大和最小值。 ,,124，， 22axbxabxsincossin()，,，，,分析:根据将原函数解析式转化为只含正弦函 数符号的函数式，然后运用正弦函数在某区间的单调性，求得原函数的最值。 4 三角函数最值问题的若干讨论 , 解: yxxx,，,，sincos2sin()4 ,,,,,,,,,,xx 由，得 ，即 x,，,,,,,，,，,，124124444642 又由正弦函数的单调性可知: ,,,，，2,2kk,，， 在上单调递增 yx,，2sin(),,,,224，， ，，2故有y,,2 ,,2，， 2y, 所以 ，y,2 minmax2 ()x，,()x，,注意: 此类问题注意函数用定义域求解的范围，在利用所在区间及其 函数所具的单调性求解值域。 AB例4 在直角三角形中，两锐角和，求的最大值. sinAsinB ,AB分析:在直角三角形中就满足，就可将、两个角中的一个角换成另外A，B,2 一个角，再运用三角 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 (1-1) sin2,,2sin,cos,将其转化即可。 ,解:在直角三角形中，有，那么 B,,A2 1, sinAsinB,sinAsin(,A),sinAcosA,sin2A22 ,0由，得0,2A,,. ,A,2 ,1则当时，sinAsinB有最大值. A,42 ,，，440,例5 求函数在上的最大值和最小值. f(x),cosx,2sinxcosx,sinx,,2，，分析:利用公式 sin2,,2sin,cos, 22sin,，cos,,1 (1-2) 22cos2,,cos,,sin, (1-3) 5 三角函数最值问题的若干讨论 sin(,,,),sin,cos,,cos,sin, (1-4) 44化大为小，化繁为简. 将函数式f(x),cosx,2sinxcosx,sinx 解:将函数化简 44f(x),cosx,2sinxcosx,sinx 2222,(cosx，sinx)(cosx,sinx),sin2x ,cos2x,sin2x ,,,2sin(2x,)4 32,,,,,,,sin(2x,),1由，得2，那么 0,x,,,x,,242444 ,得 ,2,,2sin(2x,),14 3,则当时，;当时，. x,0f(x),1x,f(x),,2minmax8 f(x),Asin(,x，,)，B点评:这类题目解决的思路是把问题划归为的形式，一般 f(x),A，Bf(x),,A，B而言，，.但若附加了的取值范围，最好的方法是xmzxmin 通过图像加以解决. ccosx，dcsinx，dy,(2)、形如与y,的形式 asinx，basinx，b sinx,1y,例6 求函数的最大值和最小值. cosx,2 分析:函数式为分数形式，转化为以函数 为主元的不等式，在利用正(余)弦函数y 的有界性。 ycosx,2y,sinx,1sinx,ycosx,1,2y解:由已知得，即 2y，1,sin(x，,),1,2ytan,,y那么，得 (其中,角的正切值) 1,2ysin(x，),所以， ,2y，1 1,2ysin(x，,),1因为，因而有 ,12y，1 2将其化简得到 3y,4y,0 6 三角函数最值问题的若干讨论 4解得 0,y,3 4因此，，. y,y,0maxmin3 此种题型还可以用圆的参数方程和斜率公式求解，我们将在本章第四节讲解。 3,2sinx例7 求函数y,的最大值和最小值. sinx,2 分析:本题与例6很相似，都要利用正(余)弦函数的有界性;但又有不同，这种题型需要用配方法将函数式转化后在解题。 3,2sinx2sinx,32(sinx,2)，11解: y,,,,,,,,2sinx,2sinx,2sinx,2sinx,2 ，得 由,1,sinx,1,3,sinx,2,,1 1111,1,,,那么， ,,,1sinx,233sinx,2 51即 ,,,,2,,13sinx,2 5故，. y,,y,,1maxmin3 点评:此题型是利用了分离分母的方法求解。若用例7的解法同样可求。 2.3 利用换元法解决最值问题 对于一些比较复杂的复合三角函数，直接运用三角公式转化比较困难。针对题型结构特点，可以通过变量替换，将原来的三角问题转化为代数问题。这样就将比较复杂的函数转化为更容易求最值的代数函数求解。 2利用建立sinx,cosx与sinxcosx之间的关系，(sinx,cosx),1,2sinxcosx 通过换元将原函数转化。但是，在换元过程中一定要注意新变量的取值范围与原函数定义域的关系。 y,sinx,cosx，sinxcosx例8 求函数的最大值和最小值。 2sinx,cosxsinxcosx分析:利用建立与之间的关(sinx,cosx),1,2sinxcosx 系。 ,解:设，则 t,sinx,cosx,2sin(x,),2,t,24 7 三角函数最值问题的若干讨论 21,tsincos那么 . xx,2 21,t12由于y,t，,,(t,1)，1， (,2,t,2)22 12故当时，;当时，. t,1y,1y,,,t,,2maxmin2 注意:本例也可以直接进行化归，即直接将用代替，然而会使函数式显sincosxx,t 得很繁琐，在化简、计算过程中易出现错误。用换元法可以将过程简化，保证计算的正确 率。 2sinsinxy，,例9 已知，求的值域。 coscosxy，2 分析:此类题通常已知量和未知量没有直接联系，把待求式视为一个整体进行变量替 换。设uxy,，coscos，沟通与已知量关系，变成新的式子求值。 解:设uxy,，coscos，将已知式与待求式两边平方得: 122 ? sin2sinsinsinxxyy，，,2 222 ? cos2coscoscosxxyyu，，, 1322将?+?得: ，即: 22cos()，,,，xyu2cos()xyu,,,22 32,,,,22cos()2xy因为，所以 ,,,,22u2 1414,,,u解之得 22 1414,,，,coscosxy 所以 22 通过引入参变量调节命题结构，等价化归把问题转化为对参变量的讨论，简化原函数 式从而求解。 11,,,,,y,1，1，0例10 若,x,，求函数的最小值。 ,,,,sinxcosx2,,,, 分析:不能直接去括号化简，利用万能公式 8 三角函数最值问题的若干讨论 ,2tan2, sin (1-5) ,,2，1tan2 ,21,tan2, (1-6) cos,,2，1tan2 将原函数式化简，通过用新变量对原函数求最小值。 t x解:令t,tan，则 2 22t1,tcosx,sinx,， 221，t1，t 22,,,,1t1t，，,,,,所以 y11,，，2,,,,2t1t,,,,, 1，t2y,化简得 ，即 yt，(1,y)t，1,0t(1,t) y,0?当时，由，得 t,R 22，即 ,,(1,y),4y,0y,6y，1,0解不等式得 或 y,3,22y,3，22 y,0?当时， t,,1 ,由于0，有 ,x,2 11,,,,y,1，1，,1 ,,,,sinxcosx,,,, 故 . y,3，22min sincosxx例11 求函数的最大值与最小值。 t,1cossin，，xx sinxst,， 分析:通过引入参数,，使原函数式由繁化简，等价化归为对cosxst,, 参变量和的讨论求得最值。 ts 12222sincos1xx，,sinxst,， 解:设，，由，得 cosxst,,ts,,2 9 三角函数最值问题的若干讨论 22t,0因为，所以 s,2 111222()()sss,,，22st,1222于是有 ys,,,,,1212122，，，sss 2221121,,,s,,,,,,s因为 ，所以 2222222 21,21，,所以函数的最大值为，最小值为. y22 ay,sinx，换元法对解决形如的三角函数最值问题也是有效方法。 sinx 5,,，x,0,y,sinx，例12 已知，求:的最小值。 ,,2sinx,， 55y,sinx，,2sinx,,25，即分析:如果直接利用均值不等式，似有sinxsinx 52sinx,5sinx,有，但是其条件即是无解的。 y,25minsinx 5y,u，可以用换元法，设，就转化为求函数的最小值。 u,sinxu ,,，x,0,解:设，当时，有， u,sinx，u,0,1,,,2,， 5y,u，原函数转化为:， ? ，u,0,1,u 可以证明，函数?为减函数: 设，有 0,u,u,112 ,,,,,,5(u,u)55512,,,,,, u，,u，,(u,u)，,(u,u)1,,0212121,,,,,,uuuuuu211212,,,,,, 就证得?时减函数 5,,,，x,0,y,sinx，sinx,1故，，在，即时，得. x,y,6,min,2sinx2,， 点评:在求得后，联想均值不等式有 y,6min 10 三角函数最值问题的若干讨论 514. y,sinx，,sinx，，,2，4,6sinxsinxsinx 2.4 利用数形结合解决最值问题 ccosx，d对于形如y,的函数可以利用圆的参数方程和斜率公式进行数形结合求解asinx，b 最值问题。 sinx例13 求函数y,的最值。 2，cosx ,,xrcos,分析:易联想到圆的参数方程，(为参数)。那么，可以利用单位圆来,,y,rsin,, 求解最值。 sinx,0y,解:原函数可以变形为 cosx,(,2) yA(cosx,sinx)B(,2,0)这可看作过点和的直线的斜率. 22A(cosx,sinx)而点是单位圆上的动点. x，y,1 ,B 30 ,由图?可知， 30 x,1 O ,2 B(,2,0)过作圆的切线时，斜率有最值。 由几何性质， 图? 33y,y,,，. maxmin33 数形结合在解决一些含有待定系数的三角函数最值问题中也是十分有效的方法。 f(x),2,4asinx,cos2x例14 函数的最值。 f(x)分析:函数的解析式可以变换成关于sinx的二次函数，定义域为，应该,,,1,1 讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间的位置，才能确定其最值。 ,,,1,1 222解: y,f(x),2sinx,4asinx，1,2(sinx,a)，1,2a t,sinx,1,t,1设，则. 11 三角函数最值问题的若干讨论 y22并且 y,g(t),2(t,a)，1,2a (?)当时，如图?所示， a,,1 O有 y,g(1),3,4amax x 1 a ,1 y,g(,1),3，4amin 图? (?)当时，如图?所示， ,1,a,1 y2有 y,g(a),1,2amin g(,1)g(1)为和中的较大者，即 ymax a O 1 ,1 x y,3,4a(,1,a,0)max y,3，4a(0,a,1)max 图? y(?)当时，如图?所示， a,1 有 y,g(1),3,4amin aO y,g(,1),3，4a xmax1 ,1 2.5 利用不等式解决最值问题 图? 对于一些满足均值不等式特征结构的三角函数，可以运用均值不等式来解决此种类型 的三角函数最值问题。 均值不等式的一般形式: 222nn,aa？aa，a，？aa，a，？，a12n12n12nn,,aa？a, (1-7) 12nnna，a，？，a12n n,1,2,3？(其中为正数，) a,a,？,a12n 在运用均值不等式时，必须注意函数式中各项的正负，需要各项满足正值时方可使用， 在解题时应加以论述说明;然后应该注意不等式中等号成立的条件，以及不等式中和的最 值与积的最值。 12 三角函数最值问题的若干讨论 2222例15 求函数的最值。 y,msecx，ncscx 分析:利用 22sec,,tan,,1 (1-8) 22csc,,cot,,1 (1-9) 2222tan,cot,tan,cot,将原函数式转化为含有与的函数式，由于，都为正则可以用 均值不等式求解。 22222222解:y,m，n，mtanx，ncotx,m，n，2mn 22故有最小值m，n，2mn，无最大值. y sin,tan,,例16 已知，其中,为锐角，求的最大值。 ,，cos(),,,sin, ,tan0,, 分析:由于,为锐角，即、，故利用三角公式沟通、tan0,,tan,, tan,cos(),,，tan,、 的关系，并构造为和的形式，运用均值不等式求解。 sin,sinsincos(),,,,,， 解:由得 ,，cos(),,sin, sinsin()sin()coscos()sin,,,,,,,,,,,，,,，,， 又由 ,, sin()coscos()sinsincos(),,,,,,,,,，,，,， 所以 sin()cos2sincos(),,,,,,，,，tan()2tan,,,，, 即 ，有 tan()tantan,,,,，,tantan(),，,,,则 ,,,,,,21tantan()12tan，，，,,,, 112,,, 141,，2tan,22tantan,tan, 112当 即 时，等号才成立. ,,,,2tantantan2, 2tan,故有的 最大值为. 4 xx,(0,,)y,(1，cosx)sin例17 若，求的最大值。 2 13 三角函数最值问题的若干讨论 xx2解:由 ? y,2cossin,022 因此有 3xxx,,222coscos2sin，，,,16xxx22242222,,y,(1，cosx)sin,4cossin,2,,222327,,,,,, 162即 ? y,27 430,y, 由??可以解得 9 43y,故函数有最大值. max9 xxxxx42222点评:其中将看作、、三项的乘积，根据公式 cossincoscossin22222 aaa，，，12nn ,aaa12nn 3xxx,,222coscos2sin，，,,xx42222得到 . 4cossin2,,,,223,, ,, 第三章 三角函数最值的简单应用 由于三角函数的特殊性质，使其在数列、不等式、几何、复数等方面有较大的应用。下面我们对三角函数最值在这几个板块中的简单应用。 3.1 在数列中的简单应用 a,2，a(n,2,n,N)例18 已知数列满足，，(1)求通项;,,a,2aann,11nn(2)证明,,是递增有界数列。 an 14 三角函数最值问题的若干讨论 分析:数列可看作时特殊的函数，函数思想来分析研究数列问题，可加深对数列的理 11，an12，可得，引入三角函数解。注意到0,a,12a,nn，122 1, a,cos(0,,),,nnn22 可化为函数问题求解。 11，an12解:(1)原递推式可化为，用数学归纳法可证明. 0,a,12a,nn，122 1,构造函数 a,cos(0,,),,nnn22 ,n2cos22cos2cos则 a,,，,,,n，1n，1n2 1,因此 ，而，即 a,2,2cos,,,,,,11n，1n124 n,11,,,,,2cos所以 ，即. ,,a,,,,nnn，1n，14222,, ,,,,,,y,cos,0,0(2)因为在内是减函数，而 ,,,,,n，2n，12222,, ,,coscos那么 ，即 ,a,ann，1nn，122 ,又 a,2cos,2nn，12 所以是递增有界数列. ,,an 3.2 在不等式中的简单应用 ,nnnn,Nx,1例19 (1)已知:，且n,1，求证:. (1,x)，(1，x),2 2222a，2ab,b,2a，b,1(2)已知，求证:. 1,x，1x,,1(3)已知，求证:. ,1,,1 1，x，1 15 三角函数最值问题的若干讨论 ,,,,0,证明(1)由，可设，其中.于是 x,1x,cos2,,,,2,, 221,x,1,cos2,,2sin,1，x,1，cos2,,2cos, ,n,N因为，，就有 n,1 nnn2n2nn22n (1,x)，(1，x),2(sin,，cos,),2(sin,，cos,),2 22a，b,1(2)由，可设，，其中t,1. at,sin,bt,cos, 22aabb，,2 于是 222,，,tsin2sincoscos,,,, 2,,tsin2cos2,, 2,,,2sin(2)t,4 ,2 ,，,,0,(3)设，其中，于是 ,x，,1tan,,,2，, 111tan,，,x,, ,,,tan(),1tan4，,11，，x ,,,,,,，,,,,因为 ,,,,,444,,,， ,1,x，1,,1tan1,,,,故 即 . ,1,,1,,,4,,1，x，1 3.3 在几何中的简单应用 22Pxy(,)C例20 已知圆，为圆上任意一点. Cxy:(2)1，，, y,2xy,2(1)求的最值.(2)求的最值. x,1 22分析:可以对圆方程进行三角代换(即圆的参数方程)，将问题转化(2)1xy，，, 为三角函数的最值问题. 16 三角函数最值问题的若干讨论 22解:由.可设 (2)1xy，，, x，,2cos,x,,cos2,,,， 即 ? ,,y,siny,sin,,,, y,2sin2,,(1)设，将?式代入，得 k,k,x,1cos3,,变形得: sincos23,,,,,kk k121sin()23，，,,kk,,即 其中sin,,,，,, cos22，1k1，k 23,k由，得 sin()1,,，,. 故 ,,R,121，k 281230kk,，,化简得: 3333,，,,k解得: 44 33，33,y,2故得最大值为，最小值为. 44x,1 mxy,,2(2)设，将?代入，得: ， m,,,,，,cos2sin25cos()2,,,, 21,,sin,,cos其中， 55 cos()1,,，,由， 得: ,,,,,，2525m xy,2故的最大值为，最小值为. ,，25,,25 3.4 在复数中的简单应用 ABP例21 复平面上点，对应的复数分别为，，点对应的复数为z,2z,,312zz,1P1,，的辐角主值为，当点在以原点为圆心，为半径的上半圆周(不包括两端zzz,2 ,点)上运动时，求的最小值. 17 三角函数最值问题的若干讨论 分析:为了求的最小值，必须设法找一个变元，把表示为这个变元的函数，并求,, 出函数的最小值. 22zxyixyR,，,(,)y,0，则，. 解:设xy，,1 令， ,,,arg()zz,,,arg()zz y12 ,,,,,,由图?知，且. ,,P ,,2, ,因为 , , yy x OA B ， tan,tan,,,x,2x，3 所以 图? tantan5,,,ytantan(),,,, ,,,1tantan5，,x,, 5sin,y,sin,令，，则 . x,cos,,,,tan(0),,,,cos5, 21,t,2tcos,,再令，则t,0，，，有 t,tan,,sin221，t2，1t ,,555556t,tan,,,,,,,,. 222312，t226，3t23,ttt 256t,,tan,当时，取得最小值. 312 ,,t,，,(0,)(0,)，,tan,由于在内是增函数，又时，，故在内的(,),(,),,,22 tan,某点处取得最小值时，,在该点处也取得最小值. t 56,,arctan因此,得最小值是 . 12 由上面几个例子可以看出，三角函数在其他方面的应用，大多数都是利用三角函数最 值的有界性。利用其有界的这一特性，使得我们在利用三角函数最值很是方便。 18 三角函数最值问题的若干讨论 第四章 结论 通过举例分析和探讨，可见历年的高考题中三角函数最值问题的题型种类繁多，涉及面广。因此，这就对考生解题要求就有所提高。在熟练掌握第二章中解决三角函数最值问题的各种方法的同时，还会通过观察、分析不同题型快速找出适合的方法思路。 本文最后对第二章和第三章中的方法技巧进行分类，以方便大家解题使用。 下面我们把三角函数中的自变量称为“量”，三角函数名称称为“名”，基本三角函数 sin,cos,tan,cotxxxx(如等)的次数称为“次”。 在看题的时候我们要做到一看“量”，二看“名”，三看“次”。那么，可将各种三角函数分为:同名同次、同名异次、异名同次、异名异次、多量三角函数。 (1)同名同次:利用定义、性质解决(例1、例2) (2)同名异次:利用转化(或化归)解决(例6等等) (3)异名同次:利用转化(或化归)解决(例3)、数形结合解决(例13) (4)异名异次:利用换元法解决(例9、例11) (5)多量三角函数:利用转化(或化归)解决(例4) 值得注意的是，在我们运用文中的各种方法时，都要在掌握了基础知识的前提下进行。熟练掌握三角函数的定义、性质、图像特征才能很好利用他们解决第(一)类问题;熟练掌握三角函数各类公式和恒等变换，以及函数图像特征才能很好解决第(二)(三)(五)类问题;熟练掌握各类变量关系才能很好解决第(四)类问题。 在三角函数最值的应用中，我们应该常联系到三角函数与圆的参数方程、复平面、复数以及直线斜率等。这样使我们在遇到一些如例18、19、20、21这样的问题时才能得心应手的运用三角函数解决。 通过以上的讨论过程我们不难发现，三角函数最值问题的求解不仅要注意函数表达式的内在特点还要注意题型结构特征，这样才能选用恰当的求解策略和方法技巧，使解题过程简捷巧妙，收到事半功倍的效果。 19