[概论]变限积分求解瑰宝

[概论]变限积分求解瑰宝[概论]变限积分求解瑰宝法宝:变限积分解题提示:一遇到变限积分的题目和求极值的题目，立即对等式两边进行求导。也就是说，当你遇到一道变限积分的题目的时候，不知道如何下手解题，你可以对它进行求导，然后观察看看能否出现待求的表达式。 ,(x),,'',,求导公式f(t)dt',f(,(x))?,(x),f(,(x))?,(x),,,(x),,, 注意:若被积函数中若含有求导参量x，要先进行换元，转化成乘积的导数。备注:2004年新大纲微积分部分新增了一个考点:变上限积分，望加以重视。 xx1例1:f(t)d...

[概论]变限积分求解瑰宝法宝:变限积分解题提示 :一遇到变限积分的题目和求极值的题目，立即对等式两边进行求导。也就是说，当你遇到一道变限积分的题目的时候，不知道如何下手解题，你可以对它进行求导，然后观察看看能否出现待求的表达式。 ,(x),,'',,求导公式f(t)dt',f(,(x))?,(x),f(,(x))?,(x),,,(x),,, 注意:若被积函数中若含有求导参量x，要先进行换元，转化成乘积的导数。备注:2004年新大纲微积分部分新增了一个考点:变上限积分，望加以重视。 xx1例1:f(t)dt,,，(1,lnx)，　　1)f(t),2tlnt　a,e　　　2)f(t),,2，lnt　a,1,220 1111lnx解:　求导:　f(x)??,,(1,lnx)，,，2222x 2f(x),xlnx,f(x),xlnx,2xlnx xxx1222x2tlntdt,lntdt,tlnt,t?dta,,,aaat 2x,a2lnln,xx,aa,2 22ee2,e，,,22a,e a,1 1/2 112xt,x2例2:　设连续函数f(x)满足f()dt,e,e，则f(x)dx,,,002 11,x,x　　　　A),e　　　　B),e　　　　C)　　　　　22e 1,e　　　　D)　　　　　　E)以上都不对　　　2e ,x2xe,x解:　()?2,,,(),,fefx22 1111,x,x,11,edx,e,(e,1)0,0222 11xx3()()()例:　fxdx,,，则fx为　　,012，x 23111xx)))))　　A　　B,　　C,　　D,　　E,　322211，x(1)(1)，xx，x，x，x 111解:　f()(,),22xx(1，x) x,u例4:　f(x)在(,,，，,)上连续，且满足f(x,u)edu,xlnx,则f(x)为(　　),0 0t,x,f(t)edt,解:　令t,x,u，du,,dt　　x 0xt,x,xt,f(t)edt,ef(t)edt,xlnx,,x0 xtf(t)edt,xlnx?ex,0 xxxxf(x)e,lnx?e，e，xlnx?e,f(x),lnx，1，xlnx 　x例3.　设f(x)连续，则F(x),f(t)dt是周期为T的周期函数,0　　　T　　　1)f(x，T),f(x)　　　　2)f(x)dx,0,0　　　x，T　x　x，T　x　T　x，T f(xT)f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt分析:，,,，,，，,,,,,,000　　　　　x　　　x　T F(x) 　x，T　x　xf(t)dtt,T,uf(T，u)du,f(u)du,,,　T　　0　　0　x　T　x,F(x，T),f(t)dt，f(t)dt，f(u)du,,,　　0　x　　0 　x　0　T　0,f(t)dt，f(t)dt，f(t)dt,f(t)dt,,,,　　0　x　　0　x 　T,F(x)，f(t)dt,　　0 若(1)，(2)联合起来，,>F(x+T)=F(x) 故应选(C) 4. f(x)例设为连续函数，则下列函数中为偶函数的是　x　x　x22 A)f(t)dt B)f(t)dt C)t[f(t),f(,t)]dt ,,,000　　　　x　x2 D)t[f(t)，f(,t)]dt E)t[f(t)，f(,t)]dt ,,00　　分析:f(x)=1=>排除(A)、(B)、(E) f(x)=x=>排除(C) 故选(D) 　xln(1，f(t))dt1,0　　例5. 设连续函数，lim, 2,0x2x ( 1)f(0),0, 　　　　　　　　 (2)f'(0),1 　xftdtln(1，())fx0ln(1，())1,,,　　0分析: lim ,lim , ,,2x,0x,0x022x,, ,ln[1，f(0)],f(0),0 ln[1()]()1()(0)11，fxfxfx,f limlimlim'(0)于是:原式,,,,f,x,0x,0x,0222022xxx, 故应选(C) 1,,1　x，x,6. (), (),(),1 例设fx则Fxftdt在点x处可导,ax,,0　　,1，ln,1x，x, 1)a,1 2)a,2 分析: 若f(x)在x,1处连续,F'(1)存在 11limf(x),lim,， (a,1) ,f(1),1,,x,1x,1a,xa,1 ,a,1,1,a,2 故应选(B) 2x　x27. xf(t)dt]',2xln(1，x)，例,　　01，x 1 (1)f(x),ln(1，x) (2)f(x),1，x 22　x　xxx22分析:， [xf(t)dt]',2xln(1，x)， ,2xf(t)dtx?f(x),2xln(1，x)，,,0　　　01，x1，x 1 1) f(x),ln(1，x) 非充分 2) f(x), 充分1，x 故应选(B) 　x　x1例8. 设f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，且f(x),0，则方程f(t)dt，dt,0,,　a　bf(t) 在开区间(a，b)内的根有 A)0个 B)1个 C)2个 D)3个 E)A、B、C、D均不正确 xx1分析 : F(x),f(t)dt，dt 在〔a，b〕上连续，可导,,abf(t) ab11 且 F(a),dt,- dt ,0,,baf(t)f(t) b F(b),f(t)dt ,0,F(x)在(a，b)内有根,a y a b o x 1 又F'(x),f(x)，,0 f(x) ,F(x),0在(a，b)内根必唯一故应选(B) x ,uf(x)在(,,,，,)上连续，且满足f(x,u)edu,xlnx，则函数f(x)为, 0练习(函数 x,xlnx，lnxx，xlnx,lnx1,xlnx(A) (B) (C) 1，xlnx,lnx1,xlnx，lnx(D) (E)

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