泰勒中值定理在不等式证明中的应用

泰勒中值定理在不等式 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 中的应用 浙江科技学院,第22卷第3期.2010年6月 JournalofZhejiangUniversityofScienceandTechnology Vo1.22No.3.June2010 DOI:10.3969/j.issn.167卜8798.2010.03.002 泰勒中值定理在不等式证明中的应用 严永仙 (浙江科技学院理学院,杭州310023) 摘要:从不等式的特点出发,应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情 况:区间的中点,已知区间的 两端点,函数的极值点或最值点,已知区间的任意点同时对各种情况的运用范围和 特点作了说明,以便更好地 运用泰勒中值定理证明不等式. 关键词:泰勒中值定理;不等式;定积分;展开点 中图分类号:O172文献标识码:A文章编号:1671—8798(2010)03—0164—06 ApplicationofTaylor'Smeanvaluetheoreminproofofinequalities YANYong—xian (SchoolofScience,Zh~iangUniversityofScienceandTechnology,Hangzhou310023,China) Abstract:Fromthecharacteristicsoftheinequality,theselectedsituationsoftheexpansion pointinTaylorformulaaregivenbymeansofpracticalexamples:amid— pointoftherange,tWO endpointsoftheknownrange,theextremepointsofthefunctionorthemostdatapointsofthe function,andanypointattheknownrange.Thecharacteristicsandscopeofapplicationin variouscasesarealsoexplainedinordertomakebetteruseofTaylor'Smeanvaluetheoremto proveinequality. Keywords:Taylor'Smeanvaluetheorem;inequality;definiteintegral;expansionpoints 不等式的证明不仅形式多种多样,而且证明方法多变,常见的方法有:利用函数的单调性证明,利用微 分中值定理证明,利用函数的极值或最值证明等.在众多方法中,利用函数的单调性,拉格朗日中值定理证 明不等式,学生还能理解和掌握口.;但利用泰勒中值定理证明不等式(尤其是某些含抽象函数的不等式) 比较困难,无从人手,思维受阻.探究其原因:一是泰勒中值定理的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 本身难理解;二是用此法证明不等 式对泰勒公式中展开点.的选取很有讲究,需要因势而变.有关这些内容,一般的高等数学教材及文献很 少涉及,然而,利用泰勒中值定理证明某些含抽象函数的不等式,其优势是其他方法无可替代的.那么能否 收稿日期:2010—0t一08 基金项目:浙江科技学院教学研究项目(2009?B—a52) 作者简介:严永仙(1966…),女,浙江临安人,副教授,主要从事高等数学的教学与研究 第3期严永仙:泰勒中值定理在不等式证明中的应用165 找到一个有效的方法和技巧来掌握泰勒公式中展开点z.的选取呢?笔者通过长期的探讨发现,泰勒公式 中展开点.的选取还是有一定规律的.本文的目的是应用一些实际范例来归纳泰勒公式中展开点z.的选 取规律,同时对各种情况的运用范围和特点作出说明,以便更好地运用泰勒中值定理来证明不等式. 1泰勒中值定理的内容 泰勒中值定理啊如果函数/()在含有.的开区间(",6)内有直到+1阶导数,则对任一点37.? (",b),有 )一.)+(.7]--.,TO)+(X--X0...+(X--X0+(JT--"~0 其中是.与之间的某个值,上式称为/()按(—.)的幂展开的阶泰勒公式. 下面就泰勒中值定理中函数展开点z.?(",6)的不同情况来证明不等式. 2展开点.选取区间的中点情况 选区问中点展开是较常见的一种情况,然后在泰勒公式中取z为适当的值,通过两式相加,并对某些 项进行放缩,便可将多余的项去掉而得所要的不等式.下面以实例说明. 例1设在区间(n,6)内,厂(z)>0,试证:对于(.,6)内的任意2个不同点和:,有 厂(半)<. 证明将厂()在.一处展开,得 )一.)+.)(,Z--3:o)+(JT--3C0)z 其中是JT.与z之间的某个值. 上式中分别取z—z及z:, 厂()一(.)+厂(z.)(z一.)+(z一.)z,?(z,.), ()一厂(z.)+厂(.)(z.一.)+(z.一.)z,?(.,z.), 上面两式相加,得 )一20)+(矿+(圹, 因为厂()>0,所以f(x)+f(x:)>2f(x.), 即厂()<. 注:1)若题中条件"厂()>0"改为"()<0",而其余条件不变,则结论改为 厂()>. 2)若例1的条件不变,则结论可推广如下: 对(",6)内的任意个不同点37.,,…,,及.,:,…,?(0,1)且?一1,有 _厂(?)<?,f(x). 例2设函数-厂()在区间[",6]上二阶连续可导,且.厂()一0,证明 166浙江科技学院第22卷 州i?,其中M一I)I. 证明将()在.=Ta+b处展开,得 f(x)一f(xo)((X--X0)+(37--"TO) 其中是.与之间的某个值. 因为厂()一o,所以有 f(x)((32--dT0)+(X--X0 上式在[n,6]作定积分,然后取绝对值 f—bIccz,,+c,.]d 2』)(39--3:"0?(z,一(6., 即(?(6.. 3展开点.选取区间端点的情况 当条件中出现厂(n)一厂(6)一0,而欲证式中出现厂(口),厂(6),(),展开点常选为区间 两端点n,6, 然后在泰勒公式中取为适当的值,消去多余的项,可得待证的不等式. ()在区间[n,6]上二阶可导,且(n)+(6)一O,证明:在(n,6)内至少存在一点, 例3函数 使得I厂()I?)二尝.0一口J 证明将厂()分别在n及b处展开,得 /()一厂(口)+()(一)+(z一):,?(口,), 厂()一厂(6)+厂(6)(z一6)+(z一6).,?(z,6), 上面两式中取—Ta+b, 厂()m?十(), 厂()一f(bH,(6?+(), 上面两式相减,并由f(?)+f(6)=0,得 If(b)一(")I一I厂(),()l?(1()I+1(1)1)I, 记f()f—max{f厂(a)f,f厂()f},其中一或&. 于是有 f_,'(6)一()f?I厂()I,且pi()i?兰_j.:2—. '士D——?J. 4展开点选取函数的极值点或最值点的情况 当题中不等式出现函数的极值或最值项,展开点常选为该函数的极佰点或晶值占. 第3期严永仙:泰勒中值定理在不等式证明中的应用167 例4设函数/(z)在区间(",6)内二阶可导,且存在极值/(f)及点P?(,6),使/(f)_厂 (夕)<0,试 证:至少存在一点?(",6),使(c)厂()<0. 证明将()在.一c处展开,得 厂()::=厂(f)+'厂(c)(—c)+(—f)?,其中介于c与之间. 上式取:P,并由f(f)一0,得 (p)一(c)+(p—c):,其中介于f与p之间, 两边同乘以_厂(f),得 厂()厂(f):(c)十厂(c)(p—c)., 厶: 因为,(f)厂(p)<0,所以有(f)()<0. 注:条件中有,(c)厂(户)<0,并隐含有(c)一0,而欲证式出现厂(c)厂()<0,故选展 开点为函数的 极值点c. 例5函数厂()在区间[n,6]上有连续的二阶导数,且厂("):厂(6)=0,证明 , ma ., x If'(-z)l?二mL a .. x J [ 证明设If(x.)l—m—aX_l厂()I,若厂(.)=::0,则结论显然成立.tc口,f 下设f(x.)?0,于是.E(a,6),且有厂(z.)一0, 将厂()在z.处展开, f(x)一f(xo)+L厂(.To)(x--xo)+(X--X0).,其中介于.与之间. 即 于是有 即 i)当.E f(x)一f(xo)+(z (",)时,上式取一",得 .)I—II(a-XoIf(e)l艇, 厂()i?}厂(f. ii)当.E(Ta+b,6)时,上式取一6,同理可得 I厂()I?If(Xo)I,?( 由i)及ii)得,存在E(",6),使得 I厂()I?ma洲xlf(x)I, 再由厂()的连续性,得 maxIf()J?0?}?La,一以厂?[, 注:1)当题中条件"连续"去掉,而其他条件不变时,结论可改为:在(",6)内至少存在一 点,使得 ()f?if(x)I成立. 168浙江科技学院第22卷 2)当题中条件添加m—axI厂()I?0时,结论可改为:在(n,6)内至少存在一点叩,使得 l厂(77)I?3-tId?DJ'? max ) 1/()I成立. 5展开点.选取区间内任意点的情况 当题中结论考察厂(),f(),厂(z)的关系时,展开点常选为该区间内的任意点,然后在 泰勒公式中 取为适当的值,并对某些项作放缩处理,得所要的不等式. 例6函数厂()在区间[a,6]上二阶可导,且I(z)I?A,I厂()I?B,其中A,B为非负常数, 试证: I厂(z)I?+B(b一),其中?(.,6). 证明将,(z)在z.?(n,6)处展开, ,(z)一厂(.)十厂(.)(一.)+(z—.):,其中介于.与之间, 上式中分别取37一n及b 厂(n)一厂(z.)+,(.)(口一z.)+(.一z.)z,?(a,xo), (6)一厂(.)+厂,(.)(6一z.)+(6一z.).,已?(.,6), 上面两式相减,得 厂(6)一厂(.)=f(.)(6一&)+-~.E/(a)(6一.).一()(n—z.)z], 即厂(.)一一I-f"(a)(b—.).一厂(a)(a--,77,0)z], 故If(z.)I?兰(I厂(6)I+1(?)I)+EI厂()I(6一.)+l(6)I(口一.)] ?+[(6H(矿] ?+导(6, 即If(.)l?2A+譬(6一a),再由.的任意性, 故有I,()I?+B(6一),其中?(,6). 0一" 例7函数,(z)在区问[n,6]上二阶可导,且(n)一,(6)一.,M一maxI厂(z)I,试证 ff? 证明将(z)在t?[a,6]处展开, M(6一日). 厂()一()+厂(,)(z—r)+(x--t)z,其中车介于f与之间. 上式中分别取—n及6 厂(")一厂(,)+厂(r)(",f)十等(.一,)z,?(,f), -厂(,J)一.厂(,)+厂(,)(6一f)+等(6一,)z,已?(f,6), 第3期严永仙:泰勒中值定理在不等式证明中的应用169 上面两式相加,得 厂()一一?/(f)("十b一2t)一?[厂(1)("一,)+厂(已)(6一,).], 上式两端在[n,6]上对t作积分, 『=(f)d,一一lJ'f(f)(n+6—2,)d,一丢』:[厂()(a--t)+厂()(6一,)]d, 一一 l1厂(f)dt一?I[(a)("一,).+厂()(6一,).-]dt, 于是有 也有?dj?lJ口I ? 即 6结语 J.=/(f)d一一吉j':[厂()(a--t).+厂()(6一,).]d,, 吉(j[/(,)(a--t).d,I+l:/()(6一).]df{) M(I:(n—).dI+1b(6一,).d1)一, c洲I?. 通过对上述各范例分析,可以看到泰勒公式中展开点.的选取要根据题中的条件和结论的形式而 定,只要认真体会,这种方法还是可以掌握的.同时可以看到,泰勒中值定理在证明某些含抽象函数不等式 中的优势是其他方法不能替代的. 参考文献: [13严谨,张继昌.研究生入学考试精编EM].杭州:浙江大学出版社,1999:79—81. [2]裴礼义.数学分析中的典型问题与方法[M3.北京:高等教育出版社,2006:245. E3-]陈传章,金福临,朱学炎,等.数学分析(I-册)EM3.北京:高等教育出版社,1990:194—196. E43陈文灯,黄先开,曹显兵.数学题型集粹与练习题集[M].北京:世界图书出版公司北京公司,2005:91-92 [5]同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2007:139—140. E63刘法贵,左卫兵.证明积分不等式的几种方法EJ3.高等数学研究,2008,11(1):121 —124.