初三
数学
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迎刃解 学法指导 不分版本
初三数学巧用正负数 难题迎刃解
孔祥奎
以下三个实际问题可巧妙地运用正负数来解。
问题1:一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队。老师每次让其中任意6名学生向后转(不论原来方向如何)。能否经过若干次后全体学生都背向老师站立,如果能够的话，请你设计一种方案;如果不能够，请说明理由。(华东师大版《初一数学(上)》第57页读一读)
分析
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:问题似乎与数学无关，却又难以入手，注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想像成进行一次运算，或者改变一次符号。能否联系有理数的知识进行讨论,
让我们再发挥一下想像力:假设每个学生胸前有一块号码布，上面写“，1”，背后有一块号码布，上面写“,1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个“，1”的“乘积”是“，1”。如果最后全部背向老师，则45个“,1”的“乘积”是“,1”。
再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”。设想老师叫“向后转”，而称这6名学生对着老师的数字都“乘以(,1)”。
这样问题就解决了，每次“运算”乘以6个(,1)，即乘以了(，1)，故45个数的乘积不变，始终是(，1)，所以要乘积变为(,1)是不可能的。
问题2:将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下,
分析:因为杯口只有朝上、朝下两个方向，每次翻转相当于改变杯口朝向，所以可引入正负数来解答。
解:设杯口朝上用，1表示，杯口朝下用,1表示。则开始时七个数的乘积为，1。
。 因为每次翻转均改变四个数的符号，相当于四个数各乘以,1
4 所以其结果是七个数之积再乘以，其积仍为，1，经有限次翻转后，这个结果保持不(),1
变。
这与七只杯子都朝下时七个数之积为,1矛盾。
由此得知:不能经有限次翻转，使七只杯子的杯口全部朝下。
问题3:画一圆，沿圆周均匀地放上4枚围棋子，黑白都行。然后按下列规则变换。要是原来相邻的两个棋子颜色相同，在它们之间放上一个黑子;要是相邻的两个棋子的颜色不同，在它们之间放上一个白子，然后把原来的那四个棋子拿走，求证:不管原来那四个棋子颜色如何，最多只须经过四次变换，圆周上的四个棋子都会变成黑子。
分析:乍看起来，这道题与数学关系不大，难点在于黑白子的分布没有规律，而且题目中也没有可供作数学运算的对象;看来，把问题转化成明确的数学问题是最关键的一步。
仔细研究变换规则，作一些联想和对比，简单地说，变换规则是:相邻同色，中间放上黑子;相邻异色，中间放白子。这就使我们联想起乘法规则:同号相乘为正，异号相乘为负。因为只有白子、黑子之分，所以可用，1代表黑子，,1代表白子，黑子与白子之间放一个白子。
11111，,,,，,,()()正好用来表示;
()()()()，，，,,，,,11111 两黑子之间及两白子之间放一黑子，正好用来表示，于是经过一次变换，即是用相邻的两个数相乘之后所得出的四个积来代替原来的四个数。
xxxx，，， 设分别表示开始时圆周上均匀放置的四枚棋子。由于每一个棋子可能为白1234
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子，也可能为黑子，因此中的每个数，即可能是，1，也可能是,1，连接进行xxxx，，，1234
三次变换，可产生以下情况(如下表所示):
原始状态 第一次变换 第二次变换 第三交变换
233xxx xxxxxxx112 1231234
233xxx xxxxxxx223 2342341
233xxx xxxxxxx334341 3412
233xxxxxxxxxx 4124123441
2222 因为 xxxx,,,,11234
因此，经过三次变换后，四个数实际上都等于。 xxxx1234
如果这个数是1，那么已知全出现黑子。如果是,1，那么再进行一次变换，就会全部出现黑子，至此结论得证。
为了更好地理解这一结论，不妨看一个具体例子。假设四个棋子中，三黑一白，如下图所示，果然不出四次变换，圆周上的棋子全是黑色的了。
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