立体几何的证明方法
总结
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文字语言表述部分：
一、 线线平行的证明方法
1、 利用平行四边形；
2、 利用三角形或梯形的中位线；
3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的性质定理）
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）
5、 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）
6、 平行于同一条直线的两个直线平行。
7、 夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、 线面平行的证明方法
1、 定义法：直线和平面没有公共点。
2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定定理）
3、 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。
4、 反证法。
三、 面面平行的证明方法
1、 定义法：两个平面没有公共点。
2、 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）
3、 平行于同一个平面的两个平面平行。
4、 经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
5、 垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、 线线垂直的证明方法
1、 勾股定理； 2、等腰三角形； 3、菱形对角线;
4、圆所对的圆周角是直角； 5、点在线上的射影；
6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线定理）
8、 在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
9、 如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、 线面垂直的证明方法：
1、 定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；
2、 点在面内的射影；
3、 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。（线面垂直的判定定理）
4、 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）
5、 两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。
6、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。
7、 两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。
8、 过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
9、 过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
六、 面面垂直的证明方法：
1、 定义法：两个平面的二面角是直二面角；
2、 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理）
3、 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
4、 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。
立体几何常见证明方法
数学符号表述部分
1、线线平行
①利用相似三角形或平行四边形
②利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
l
③线面平行线线平行
即
④面面平行线线平行
即
⑤垂直于同一平面的两条直线平行
即
2、线线垂直
①两条直线所成角为90（勾股定理）；
②线面垂直线线垂直
即
③三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：
三垂线逆定理：
④两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于这条直线。
3、线面平行
①定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；
②线线平行线面平行
若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。
即
③面面平行线面平行
若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。
即
4、线面垂直
①线线垂直线面垂直
若一条直线垂直平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。
即
②面面垂直线面垂直
a
两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面。
即
③两平面平行，有一条直线垂直于垂直于其中一个平面，则这条直线垂直于另一个平面。
即
④两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。
即
5、面面平行
①线面平行面面平行
若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
即
②平行于同一平面的两个平面平行
即
③垂直于同一条直线的两个平面平行
即
6、面面垂直
a
①依定义，二面角的平面角为90； ② ②
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