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泰勒展开式.doc

泰勒展开式

似曾不可拥有本人
2019-03-11 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《泰勒展开式doc》,可适用于高等教育领域

函数的幂级数展开式通过前面的学习我们看到幂级数不仅形式简单而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题:问题:函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数问题:如果f(x)能表示成如上形式的幂级数那末系数cn(n=,,,,…)怎样确定?下面我们就来学习这两个问题。泰勒级数我们先来讨论第二个问题假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数其中a是事先给定某一常数我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。由于f(x)可以表示成幂级数我们可根据幂级数的性质在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导对其幂级数两端逐次求导。得:………………………………………………………………………………………………在f(x)幂级数式及其各阶导数中令x=a分别得:把这些所求的系数代入得:该式的右端的幂级数称为f(x)在xa处的泰勒级数关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的实际上只要f(x)在x=a处任意阶可导我们就可以写出函数的泰勒级数。问题:函数写成泰勒级数后是否收敛?是否收敛于f(x)?函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→+∞而趋向于零如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n阶可导则对于位于此邻区内的任一x至少存在一点c,c在a与x之间使得:此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明)在泰勒公式中取a=此时泰勒公式变成:其中c在与x之间,此式子被称为麦克劳林公式。函数f(x)在x=的泰勒级数称为麦克劳林级数当麦克劳林公式中的余项趋于零时我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式即:几种初等函数的麦克劳林的展开式指数函数ex     正弦函数的展开式函数(x)m的展开

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