行业资料【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲：第20讲 曲线轨迹的探求(含详解)
数学高考综合能力题选讲20
曲线轨迹的探求
题型预测
解析几何主要研究两大类问题:一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程;二是通过方程，研究平面曲线的性质(从这个角度来说，轨迹问题成为解析几何高考命题的重点和热点也就不足为奇了(
探求动点的轨迹，主要有以下方法:
(1)定义法:若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线，则可利用曲线的定义得到结论(
(2)直接法:直接建立动点所满足的关系式，然后通过化简方程得出结论(
(3)间接法:又分为相关点法、参数法、交轨法等(
解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程(
范例选讲
5例1 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且双2曲线上动点P到点A(2，0)的最近距离为1(
(?)
证明
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:满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上;
(?)求此双曲线的方程;
(?)设此双曲线的左右焦点分别是FF,，Q是双曲线右支上的动点，过F121作，FQF的平分线的垂线，求垂足M的轨迹( 12
讲解:(?)可考虑反证法(
c5b,证明:设双曲线的实半轴长为ac，虚半轴长为，半焦距为，则由，a2
22ab，5b1,,得，所以，( 2a24a
假设存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线，则其渐近线方程为yx,,2(
22yxmm,,,40在此条件之下，一方面，我们当然可以设双曲线方程为:，，，
然后把用表示，利用的最小值为1，推出矛盾(而另一方面，是否有PAPAm
更简捷的办法呢,由于在前面的解答过程中已经求出了双曲线的渐近线，不妨作大胆的猜想:“点A到渐近线的距离大于1”(
4经过验证，猜想正确((事实上，点A(2，0)到渐近线的距离为)(所d,,1
5以双曲线上动点到点A的距离都超过1(所以，不存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线(
22xy(?)解:由(?)可设双曲线的方程为:，,,,10b，，224bb
则这个双曲线上任一点到点的距离为: Pxy,A2,0，，，，
22x5842,,2222 PAxyxxbxb,,，,,，，,,,，,244，，,,4455,,
?， xbb,,,,,，,(,2][2,)
48822b,PAb,,,1x,PA?若，则当时，有最小值，由，解得min555
12b,,(舍去); 5
8xb,22b,PA若，则当时，有最5
PAb,,,221小值，由，解得min
31b,或(舍去); 22
22xy4,,1?双曲线的方程为:99
(?)解:设点M的坐标为(x，y)，
QFFM延长与交于点T，连接OM(21
，FQFFM? QM平分，且QM?，121
QFQT,FMMT,? ，(11
又?点Q是双曲线右支上的动点，
? QFQFQTQFa,,,,2122
? ， FTa,22
? ， OMa,
即点M在以O为圆心，为半径的圆上( a
? 当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线，
? 点M的轨迹是圆弧CBD，除去点C,点D.方程为:
,,6522( xyx，,,,,93,,,,5,,
点评:挖掘图形的几何性质，运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法(
21，0)，斜率为k的直线l与抛物线Cy=4x交于例2(如图，过点A(,:P，Q两点.
(I)若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程;
(II)设P，Q两点只在第一象限运动，
(0，8)点与线段PQ中点的连线交x轴于
点N，当点N在A点右侧时，求k的取值范围.
讲解:(I)要求点R的轨迹方程，注意到
点R的运动是由直线l的运动所引起的，因此可
以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关
系(
然而，点R与直线l并无直接联系(与l有直接联系的是点P、Q，通过平行四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解题的关键(
2由已知，代入抛物线C:y=4x的方程，消x得: lykx:(1),，
k2yyk,，,0 4
直线交抛物线于两点lPC? 、Q
k,,0,? 4,2,,,,,10k,
,,,,,1001kk或解得
设，M是PQ的中点，则由韦达定理可知:PxyQxyRxy(,),(,),(,)1122
yy，212 y,,,M2k
2,x,,1M2,,k将其代入直线l的方程，得 ,2,y,M,k,
? 四边形PFQR是平行四边形， ? RF中点也是中点M. PQ
4,xxx,,,,23MF2,,k? , 4,yy,,2M,k,
又 ？k,,,(1,0)(0,1)
? ( x,，,(1,)M
2? 点R的轨迹方程为 y,4(x，3),x,1.
k,0(II)因为P、在第一象限，所以，，(结合(I)yyy,,,00且，yQ1212得，„? k,(0,1)
22k,8ky,x，8点(0，8)与PQ中点所在直线方程为(令y=0,得N点横22,k
248k,x,坐标为:( N2kk,4
248k,1,k,8.,,1x,,1因为N在点A右侧，令，得(解之得k<0或 ? N24kk,4
1,k,1.综合??，得k的取值范围是 4
点评:选择合适的桥梁，促成已知和未知之间的转化是解决问题的关键(本
题中的中点M就起到这样的作用(实际上，转移点法中的“转移”，参数法中
的“参数”都表达了同样的意思(
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