函数展开成幂级数

函数展开成幂级数 要解决的问题: 给定函数f(x)～ 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”～ 就是说～ 是 否能找到这样一个幂级数～ 它在某区间内收敛～ 且其和恰好就是给定的函数f(x), 如果能找到这样的幂级数～ 我们就说～ 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数～ 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数～ 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x), 泰勒多项式: 如果f(x)在点x的某邻域内具有各阶导数～ 则在该邻域内f(x)近似等于 0 ,,f(x)02 , f(x),f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)， , , , 00002! (n)f(x)0n ～ ，(x,x)，R(x)0nn! (n，1)f(,)n，1其中R(x),(x,x)(,介于x与x之间), 0n0(n，1)! 泰勒级数: 如果f(x)在点x的某邻域内具有各阶导数f,(x)～ f,,(x)～ , , , ～ 0 (n)f(x)～ , , , ～ 则当n,,时～ f(x)在点x的泰勒多项式 0 n(),,f(x)f(x)n002 , p(x),f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)， , , , ，(x,x)n000002!n!成为幂级数 n(),,,,,f(x)f(x)f(x)0023n0 , ，(x,x)， , , , f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，(x,x)， , , , 000000n!2!3! 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数, 显然～ 当x,x时～ f(x)的泰勒级数收敛于f(x), 00 需回答的问题: 除了x,x外～ f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛～ 它是否一定收敛于f(x)? 0 定理 设函数f(x)在点x的某一邻域U(x)内具有各阶导数～ 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒00 级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 中的余项R(x)当n,0时的极限为零～ 即 n , limR(x),0 (x,U(x))n0n,, 证明 先证必要性, 设f(x)在U(x)内能展开为泰勒级数～ 即 0 n(),,f(x)f(x)00n2 ,f(x),f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)， , , , ，(x,x)， , , , ～ 000002!n!又设s(x)是f(x)的泰勒级数的前n，1项的和～ 则在U(x)内s(x), f(x)(n,,), n，10n，1而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x),s(x)，R(x)～ 于是R(x),f(x),s(x),0(n,,), n，1n nn，1 再证充分性, 设R(x),0(n,,)对一切x,U(x)成立, n0 1 因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x),s(x)，R(x)～ 于是s(x),f(x),R(x),f(x)～ n，1 nn，1 n 即f(x)的泰勒级数在U(x)内收敛～ 并且收敛于f(x), 0 麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x,0～ 得 0 (n),,f(0)f(0)2n ,～ f(0)，f(0)x，x， , , , ，x， , , ,2!n!此级数称为f(x)的麦克劳林级数, 展开式的唯一性: 如果f(x)能展开成x的幂级数～ 那么这种展式是唯一的～ 它一定与f(x)的麦 克劳林级数一致, 这是因为～ 如果f(x)在点x,0的某邻域(,R～ R)内能展开成x的幂级数～ 即 0 2n f(x),a，ax，ax， , , , ，ax， , , , ～ 012n 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导～ 有 2n,1f ,(x),a，2ax，3ax， , , ,，nax， , , , ～ 123n n,2 f ,,(x),2!a，3,2ax， , , , ， n,(n,1)ax， , , , ～ 23n n,3 f ,,,(x),3!a， , , ,，n,(n,1)(n,2)ax， , , , ～ 3n , , , , , , , , , , , , , , , (n) f (x),n!a，(n，1)n(n,1) , , , 2ax， , , , ～ nn，1 于是得 (n),,ff(0)(0) a,f(0)～ a,f ,(0)～ ～ , , ,～ ～ , , ,, ,a,a01n2n!2! 应注意的问题: 如果f(x)能展开成x的幂级数～ 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数, 但是～ 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x,0的某邻域内收敛～ 它却不一定收敛于f(x), 因此～ 如果f(x)0 在点x,0处具有各阶导数～ 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来～ 但这个级数是否在某个区间内0 收敛～ 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察, 二、函数展开成幂级数 展开步骤: (n)第一步 求出f (x)的各阶导数: f ,(x)～ f ,,(x)～ , , , ～ f (x)～ , , , , 第二步 求函数及其各阶导数在x,0 处的值: (n) f(0)～ f ,(0)～ f ,,(0)～ , , , ～ f ( 0)～ , , , , 第三步 写出幂级数 ()n,,f(0)f(0)2n ,f(0)，f(0)x，x， , , , ，x， , , , ～ 2!n!并求出收敛半径R, 2 第四步 考察在区间(,R～ R)内时是否R(x),0(n,,), n (n，1)()f, n，1 limR(x),limx nn,,n,,(，1)!n 是否为零, 如果R(x),0(n,,)～ 则f(x)在(,R～ R)内有展开式 n ()n,,f(0)f(0)2n ,(,R,x,R), f(x),f(0)，f(0)x，x， , , , ，x， , , , 2!n! x 例1 将函数f(x),e展开成x的幂级数, (n)x (n) 解 所给函数的各阶导数为f(x),e(n,1～ 2～ , , ,)～ 因此f(0),1(n,1～ 2～ , , ,), 于是得级数 112n ～ 1，x，x， , , , x， , , ,2!n! 它的收敛半径R,，,, 对于任何有限的数x、, (,介于0与x之间)～ 有 n，1,|x|en，1|x| |R(x)| ,|x| ,e,～ n(n，1)!(n，1)! n，1||x而 lim,0～ 所以～ 从而有展开式 lim|R(x)|,0nn,,n,,(，1)!n 11x2n , e,1，x，x， , , , x， , , , (,,,x,，,)2!n! 例2 将函数f(x),sin x 展开成x的幂级数, , (n) 解 因为(n,1～ 2～ , , ,)～ f(x),sin(x，n,)2 (n)所以f (0)顺序循环地取0～ 1～ 0～ ,1～ , , , ((n,0～ 1～ 2～ 3～ , , ,)～ 于是得级数 352n,1xxxn,1 x,，, , , , ，(,1)， , , ,～ n3!5!(2,1)! 它的收敛半径为R,，,, 对于任何有限的数x、, (,介于0与x之间)～ 有 ,(n，1),sin[，]n，1|x|n，12 ,0 (n ,,), |R(x)| ,|x| ,n(n，1)!(n，1)! 因此得展开式 3 352n,1xxxn,1 sinx,x,，, , , , ，(,1)， , , , (,,,x,，,), 3!5!(2n,1)! 11x2n , e,1，x，x， , , , x， , , , (,,,x,，,)2!n! m 例3 将函数f(x),(1， x)展开成x的幂级数～ 其中m为任意常数, 解: f(x)的各阶导数为 m,1 f ,(x),m(1，x)～ m,2 f ,,(x),m(m,1)(1，x)～ , , , , , , , , ,～ (n)m,n f (x),m(m,1)(m,2), , ,(m,n，1)(1，x)～ , , , , , , , , ,～ (n)所以 f(0),1～ f ,(0),m～ f ,,(0),m(m,1)～ , , ,～ f (0),m(m,1)(m,2), , ,(m,n，1)～ , , , 于是得幂级数 m(m,1)m(m,1) , , , (m,n，1)2n , 1，mx，x， , , , ，x， , , , 2!n!可以证明 m(m,1)m(m,1) , , , (m,n，1)m2n , (1，x),1，mx，x， , , , ，x， , , , (,1,x,1)2!n! 间接展开法: 例4 将函数f(x),cos x展开成x的幂级数, 解 已知 352n,1 xxxn,1sinx,x,，, , , , ，(,1)， , , , (,,,x,，,), n3!5!(2,1)!对上式两边求导得 242nxxxn cosx,1,，, , , , ，(,1)， , , , (,,,x,，,), 2!4!(2n)! 1 例5 将函数展开成x的幂级数, f(x),21，x 12n 解 因为～ ,1，x，x， , , , ，x， , , , (,1,x,1)1,x 2把x换成,x～ 得 4 124n2n (,1,x,1), ,1,x，x, , , , ，(,1)x， , , , 21，x 2注: 收敛半径的确定: 由,1,,x,1得,1,x,1, 例6 将函数f(x),ln(1，x) 展开成x的幂级数, 1 解 因为,～ f(x),1，x ,1nn而是收敛的等比级数(,1)x(,1,x,1)的和函数: ,1，x,n0 123nn , ,1,x，x,x， , , , ，(,1)x， , , , 1，x 所以将上式从0到x逐项积分～ 得 234n，1xxxxn , ln(1，x),x,，,， , , , ，(,1)， , , , (,1,x,1)234n，1 xx1 解: f(x),ln(1，x), xdxdx,[ln(1，)],,,00x1， ,,，n1xxnnn ,[(,1)x]dx,(,1)(,1,x,1), ,,,0n，1,,n0n0 上述展开式对x,1也成立～ 这是因为上式右端的幂级数当x,1时收敛～ 而ln(1，x)在x,1处有 定义且连续, , 例7 将函数f(x),sin x展开成的幂级数, (x,)4 解 因为 ,,,,2 ～ sinx,sin[，(x,)],[cos(x,)，sin(x,)]44244并且有 ,,,1124 ～ cos(x,),1,(x,)，(x,), , , ,(,,,x,，,)42!44!4 ,,,,1135 ～ sin(x,),(x,),(x,)，(x,), , , ,(,,,x,，,)443!45!4 ,,,21123所以 , sinx,[1，(x,),(x,),(x,)， , , ,] (,,,x,，,)242!43!4 1 例8 将函数展开成(x,1)的幂级数, f(x),2x，4x，3 解 因为 5 111111()fx,,,,,, 2x,x,11(x，1)(x，3)2(1，x)2(3，x)x，4x，34(1)8(1)，，24 nn,,(1)(1)x,x,11 nn (1)(1),,,,,,nn4824,,nn00 ,11nn ,(,1)(,)(x,1) (,1,x,3), ,，，n22n322,n0 x,1x,1提示: ～, 1，x,2，(x,1),2(1，)3，x,4，(x,1),4(1，)24 n,x(,1)x1,1n ～ ,(,1) (,1,,1),nx,122,n01，2 n,x(,1)x1,1n ～ ,(,1) (,1,,1),nx,144,n01，4 x,1x,1收敛域的确定: 由和得, ,1,x,3,1,,1,1,,124 展开式小结: 12n～ ,1，x，x， , , , ，x， , , , (,1,x,1)1,x 11x2n～ e,1，x，x， , , , x， , , , (,,,x,，,)2!n! 352n,1xxxn,1sinx,x,，, , , , ，(,1)， , , , (,,,x,，,)～ 3!5!(2n,1)! 242nxxxncosx,1,，, , , , ，(,1)， , , , (,,,x,，,)～ 2!4!(2n)! 234n，1xxxxn～ ln(1，x),x,，,， , , , ，(,1)， , , , (,1,x,1)234n，1 m(m,1) , , , (m,n，1)m(m,1)m2n, (1，x),1，mx，x， , , , ，x， , , , (,1,x,1)2!n! 6