温克勒弹性地基上双层均质梁的基频分析

温克勒弹性地基上双层均质梁的基频 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 温克勒弹性地基上双层均质梁的基频分析 第21卷第3期 2001年9月MA 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 理论与应用 TIC^ITHB0RYANDAPPLIC0S 21No3 Sept2001 温克勒弹性地基上双层均质梁的基频分析 赵照 (益阳市房地产管理局,益阳,413000) 擒要文中利用迭朗贝(d'nlemben)原理建立了王于温克勒(~,4nkler)弹性地基上具有弹性联系的均盾赋屠矩彤藏面{E体 系的自由振动的微分方程或利用伽辽叠(Galerkln)~推出确定谊双层票体系自由振动摄丰的秆到式.培出特枉方疆.伸 为算例,毫中对弹性地基上的双层均盾票.在茼支近年紊件下的基蒴进秆丁计算.所得姑秉,在不考虑集珥弹性襄秉酌特珠 情巩下.与王黄(Ri)击所确定的单票自由振动的基瓶相符告. 关麓词振动动力学结构系兢弹性票振动蛄椅 1.引言 由弹簧联系的双层均质梁体系,在飞机结构,船体设计,土木结构等方面的实际应用是很 多的,因此日益引起许多研究人员的关注.MDublin和H.Fridrich[1_研究了具有弹性联系的 均质双层梁的动力问题.稍后,Seelig和Hoppmann[2]按照伯努利一欧拉(Bernoulli—Euler)梁 理论建立了双梁体系的运动微分方程,获得梁端被悬吊时的自由振动的基频.并用实验测试 双层粱在冲击集中力作用下的动态响应.近期,有的学者_3J研究了弹性矩形双层薄板的静弯 曲问题,利用重三角级数获得了周边简支矩形板的挠度表示式,而罗建辉等人则利用最小二乘 法研究了双层均质圆板的轴对称弯曲问题,得出周边简支实心圆板在承受均布荷载时的挠度 表示式.本文考虑的是置于Winkler弹性地基上的双层均质粱,在Bernoulli—Euler梁理论提 法下建立了该梁无阻尼的横向自由振动微分方程.利用Galerkin法推出确定该双层梁体系自 由振动频率的行列式,给出特征方程.最后,以置于温克勒弹性地基上的简支双层梁为例,求 得其基频.在不考虑梁阃弹性联系的特殊情况下,可得到用里兹(Ritz)法确定单层梁在简支 边界条件下的基频J. 控制方程及解答 2. 设有温克勒弹性地基上的双层梁体系,如图1所示.按照Bernoulli—Euter梁理论,该梁 体系的无阻尼自由振动控制方程为 (WI-W2)+pA=0(1) 2(W2)+k2W2pA=0(2) ?蔡悔诸教授推荐 收稿日期,,2001年J月J0日 76数学理论与应用第21巷 式中E1,E2分别为梁1和梁2的弹性模量; J2分别为梁1和粱2的截面惯性矩; w1,w2分别为梁l和梁2的法向挠度. 它们都是和t的函数; k,为梁1和梁2之间弹性联系的弹簧系数; k2为梁2与地基间的床基系数; 口为梁单位体积的质量; A为梁的横截面面积; t为时间; z为置于梁轴线上的横向坐标轴. 由式(1)可得 圈l双层鬃 =?+wl++,92Wt(3) 将式(3)代人式(2).经整理得出: +ca+b+c++klk2dd+c2kt+k2d=. (4) 式中.=k1/E【It bk2/E2I2 c=k】/E212 d=1/E1E21112 对于自由振动梁,w(,t)必为时间的简谐函数【.即w(z.t)=w(x)sin(~t+.).于 是设 Wl=W【sin(6ot+) 将式(5)代人式(4),并消去公因式sin(wt+)就得到下式: +(a+b+c)一(El12+E212a4Wt + ktk2dW】一(2k1+k2)dpA~Wl+和A邮Wl:0 式(6)台并同类项经整理得下式: — c98W~ +A+B.wI:0a8.八4." 式中A=口+b+f一A邮d(E1Il+E212) B=klk2d+pAd一(2kl+k2)A邮d 下面,利用Galerkin法[63求解方程式(7). (5) (6) (7) 第3期赵照:温克勒弹性地基上双层均质梁的基凝分析 设W1=() 式中M为待定常数,w(z)为满足给定梁全部边界条件的挠曲位移函数. 将式(8)代人式(7)便得出确定待定常数(N,N2,…)的个联立方程组 肌M警…(.N)+B(M(=. (=1,2,3,…,) 化简式(9),并令 : (磐.+A磐+B.)a 则得 31fNz+I2^+…+I=0 占2IN1+占22^r2+…+占N2=0 占1NI+2N2+…+^=0 (8) (9) (10) 式(11)是待定常数N1,^r2,…,M的联立齐次方程式,其系数行列式等于零就是该梁 体系的 频率方程,即 det(M) 求出满足式(12)的值之后,便得到需求的白振频率. If(12) 3.算例 设有承受均布荷载q的筒支边双层梁,置于温克勒弹性地基上,梁间的联系是弹性 的,其 弹性刚度为,梁长度为,地基的基床系数为2,现利用式(12)确定梁的最低频率. 取梁的试函数形成下式: wI(z,f)=fsinsin(+口)(13) ' 式中,为梁振型参数.,为梁的跨度,为梁的因有频率,.为相位角. 将式(13)代人式(12),并注意到式(10).展开后可得梁1的固有基频为: (Elll+E212)()】I(f.』』l(币}l(4+klk2+印(14) ?2.. 乱赴,,赴 ll??l 赴,, 78数学理论与应用第21卷 4.结束语 当不考虑弹性梁间的弹性联系时,即I=2=O.且E2,2=0时,由式(14)得出等直弹性 梁的基频,而当考虑弹性梁间的弹性联系时,即k:/-k274-0时,双层梁的基频应由(14)式算出. 表明地基的基床系数和梁间弹性的约束,将增大双层梁的基频. 参考文赫 [1]DublinMandFriedriehH.ForcedReslcocae~0fTwoEle~icBewnsIntermnnectedbysng DamperSyst~-os,Jothe Aeronnuti~lScience~.23(2).1956.824—832 [2]SeeligJM.HoopmannWH.Itnlxact?anEIo~'ticallymnnectedDouble—Beamn呵n[仆JournalApp】edMechanics. Trans0ftheASME.1964.3I(4)621,626 [3]Luoxiongh(罗雄辉),温克勒弹性地基上双层圆板的弯曲 [』].Hunansei~eeandTechnology(湖南科技)长沙:Htman ScienceandTechnolog口,1995.321—325 [4]WaburrenGBJinxingding(~戚 定),TheDy~smicabehavioursttucte~[M],Beiing:Geologicalprem.1983.107115 [5]SzilardR.,Thmryand川PLat~.NewYork:Premlce—hall,Inc.1984,166—168 [6]GuanByu~(t光远).?bc1.nofBuilderingStructure[M]Bejing:sciencepress,1978.190—192 ANALYSISOFFUNDAMENTALFREQUENCIESOF DoUBLE—BEAMONWINKER'SELASTICFOUNDATION ZhaoZhao (YiYangCityRealEstateManagementBureau.YiYang.413000China) At~traetThepaperpresentthe{undamentaldifferentialequationsoffreevibrationofE[~ticallyConnectod }x3fno~elleol1sDouble—BeamSvst唧1accordingtOtheBemc~lli— EulerbeamtheoryonWinker'Selasticfoundadcoa bvemberttheoryDeterminantwhichdeterminedtO{requencyoffreevibrationsOfDouble—Beamsystem【?l elastic{oundatlonwasdevelopedUsingGalerkin'Smethodandexpr~slonproperequatic~wasgivenAsartexample. forhomogeneousDoubb—Beamswithsimplysupportededge【? 1winder'selasticfoundationF~tal frequendessolveTheresultsagreewithFundamentalfrequenciesfreevibrationsofsingleBeamwhichmaybe neectedElasticallyconnectionbetween13emasandresultng?tedbyRitzmethod KeywoldsVibrationDynamic;StructuralSyaem,ElasticBeamiVibratingStructur~