概率统计期末试卷及答案

概率统计期末试卷及答案 安徽农业大学2007―2008学年第二学期 《概率论与数理统计》试卷(A卷) 考试形式: 闭卷笔试，2小时 适用专业:全校 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 号 一 二 三 四 五 总 分 得 分 P(()())tntn,,,1、标准正态分布表: 2、t分布表: , n ,=0.005 0.01 0.025 0.05 x 1.5 1.64 1.96 2.5 15 2.9467 2.6025 2.1315 1.7531 0.933 0.95 0.975 0.994 ,()x16 2.9208 2.5835 2.1199 1.7459 得分 评阅人 一、填空题:(共5小题，每小题3分，共15分) 1、10张彩票，其中有一张有奖，现有10人依次抽取，则第3个人摸中奖的概率是 。 kP(),1,2,,Xkk,,,,2、设随机变量的分布律为 则 。X,,3、设则P(A)0.5,P(B)0.7,P(AB)0.9,()________,,,,PAB。 24、设随机变量则XNPX~(1,),(1),,, 。 XXX,,,X5、设是来自正态分布N(1,4)的一个样本，则样本均值1216 的方差是 。 得分 评阅人 二、选择题:(共5小题，每小题3分，共15分) 1、设A，B为随机事件，则表示A，B中至少有一个发生的是( ) ABAB(A) (B)AB (C) (D) AB ,,02、设与的相关系数，则必有 ( ) YXXY (A) 与独立 (B) 与不独立; YYXX DXYDXDY()()()，,，DXYDXDY()()(),(C) (D) XY,D(2)XY,,3、若随机变量独立，其方差分别为6和3，则( ) (A) 9 (B) 15 (C) 21 (D) 27 22N(,),,XX,,4、设是来自的一个样本，其中参数未知，,已,1n 第1页共9页 知，则下列选项中是统计量的是 ( ) 2n,,,,1XX(1)nS,2X,,()(A) (B) (C) (D) ,i22,,/nSn/,i,1 2XX,,N(,3),5、设是来自的一个样本，已知样本均值为，则x,5116 的置信水平为95%的置信区间为 ( ) , (A) (B) (C) (D) (3.53,6.47)(3.77,6.23)(3.53,6.23)(3.77,6.47) 得分 评阅人 三、计算题:(共2小题，每小题10分，共20分) 1、已知离散型随机变量的分布律为 X ， PXPXPX(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5,,,,,, 求的数学期望和方差。 X 2,Cxx，01,,2、设连续型随机变量的概率密度 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数为 X()fx,,0，其它, 1求:(1)系数; (2)概率。 PX(),C2 第2页共9页 得分 评阅人 四、应用题:(共3小题，每小题10分，共30分) 1、甲袋中有3个白球,5个黑球,乙袋中有4个白球,2个黑球。从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求这个球是白球的概率。 2、某校大二学生共有5000人，假设学生的数学成绩近似服从正态分 2N(70,10)布，估计一下95分以上的学生数是多少, 3、设草原上的鸟巢高度服从正态分布，测得16个鸟巢高度的样本均 22xS,,9.2,1.6值和方差分别为，试问鸟巢高度的平均高度是否与10 米有显著性差异(), ,,0.05 第3页共9页 得分 评阅人 五、综合题:(共2小题，每小题10分，共20分) 1、设随机变量和联合密度函数为 YX ,，0.5()xy,0.25,0,0exy,, fxy(,),,0,其他, (1) 证明:和相互独立;(2) 计算。 P(1,1)XY,,YX XXX,,,2、设是来自总体的样本，总体的概率密度函数为 XX12n x,,1,ex,0,,,，， px(,),,,0,, ,x0,0,, ˆˆ,,证明:(1) 的最大似然然估计量为;(2) ,是的一个无偏估计X,,量。 第4页共9页 安徽农业大学2007―2008学年第二学期 《概率论与数理统计》试卷(A卷)答案与评分标准 考试形式: 闭卷笔试，2小时 适用专业:全校 题 号 一 二 三 四 五 总 分 得 分 P(()())tntn,,,1、标准正态分布表: 2、t分布表: , n ,=0.005 0.01 0.025 0.05 x 1.5 1.64 1.96 2.5 15 2.9467 2.6025 2.1315 1.7531 0.933 0.95 0.975 0.994 ,()x16 2.9208 2.5835 2.1199 1.7459 得分 评阅人 一、填空题:(共5小题，每小题3分，共15分) 1、10张彩票，其中有一张有奖，现有10人依次抽取，则第3个人摸中奖的概率是 0.1 。 kP(),1,2,,Xkk,,,,2、设随机变量的分布律为 则 0.5 。X,,3、设则P(A)0.5,P(B)0.7,P(AB)0.9,(),,,,PAB 0.4 。 24、设随机变量则XNPX~(1,),(1),,, 0.5 。 XXX,,,X5、设是来自正态分布N(1,4)的一个样本，则样本均值1216 的方差是 0.25 。 得分 评阅人 二、选择题:(共5小题，每小题3分，共15分) 1、设A，B为随机事件，则表示A，B中至少有一个发生的是( B ) ABAB(A) (B)AB (C) (D) AB ,,02、设与的相关系数，则必有 ( C ) YXXY (A) 与独立 (B) 与不独立; YYXX DXYDXDY()()()，,，DXYDXDY()()(),(C) (D) XY,D(2)XY,,3、若随机变量独立，其方差分别为6和3，则( D ) (A) 9 (B) 15 (C) 21 (D) 27 22N(,),,XX,,4、设是来自的一个样本，其中参数未知，,已,1n 第5页共9页 知，则下列选项中是统计量的是 ( C ) 2n,,,,1XX(1)nS,2X,,()(A) (B) (C) (D) ,i22,,/nSn/,i,1 2XX,,N(,3),5、设是来自的一个样本，已知样本均值为，则x,5116 的置信水平为95%的置信区间为 ( A ) , (A) (B) (C) (D) (3.53,6.47)(3.77,6.23)(3.53,6.23)(3.77,6.47) 得分 评阅人 三、计算题:(共2小题，每小题10分，共20分) 1、已知离散型随机变量的分布律为 X ， PXPXPX(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5,,,,,, 求的数学期望和方差。 X 解:的数学期望为 X EXPXPXPX()1(1)2(2)3(3),，,，，,，，, ,，，，，，,10.220.330.52.3(3)分 2222EXPXPXPX()1(1)2(2)3(3),，,，，,，，, ,，，，，，,10.240.390.55.9(6)分的方差为 X 22DXEXEX()()(())5.92.33.6(10),,,,,分 2,Cxx，01,,2、设连续型随机变量的概率密度函数为 X()fx,,0，其它, 1求:(1) 系数; (2) 概率。 PX(),C2 ，,1CC231解:(1) 1()|,,,,fxdxCxdxx 0,,,,033 解得 (5分) C,3 11112322PXxdxx()3|,,,,(2) (10分) 0,028 第6页共9页 得分 评阅人 四、应用题:(共3小题，每小题10分，共30分) 1、甲袋中有3个白球, 5个黑球, 乙袋中有4个白球,2个黑球。从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 求这个球是白球的概率。 解:设A表示从乙袋取到是白球，B表示从甲袋取到是白球 ( 2分) 由全概率公式可得 PAPBPABPBPAB()()(|)()(|)(7),，分 35545,，，，,(10)分87878 2、某校大二学生共有5000人，假设学生的数学成绩近似服从正态分 2N(70,10)布，估计一下95分以上的学生数是多少, 2XN~(70,10)解:设表示学生的数学成绩，则 (3分) X X,,709570PXPXP(95)1(95)1(),,,,,,, 1010 ,,,,,,1(2.5)10.9940.006(8)分所以该校95分以上的学生数为 5000(95)50000.00630(10)，,,，,PX分 3、设草原上的鸟巢高度服从正态分布，测得16个鸟巢高度的样本均 22xS,,9.2,1.6值和方差分别为，试问鸟巢高度的平均高度是否与10 米有显著性差异(), ,,0.05 解:设总体均值为，样本容量。 ,n,16 HH:10:10,,,,,(1)统计假设为 (2分) 01 ,,XTtn,,~(1)(2)检验统计量为 (5分) Sn/ (3)确定拒绝域:对于给定显著性水平，,查表得 ,,0.05n,16 tnt(1)(15)2.1315,,,, ,0.0252C,,,,,，,(,2.1315)(2.1315,)于是拒绝域为。 (7分) 9.210,TC,,,,2H(4)统计决策:经计算，所以，即认为鸟巢高01.6/16 第7页共9页 度的平均高度与10米无显著性差异。 (10分) 得分 评阅人 五、综合题:(共2小题，每小题10分，共20分) 1、设随机变量和联合密度函数为 YX ,，0.5()xy,0.25,0,0exy,, fxy(,),,0,其他, (1) 证明:和相互独立;(2) 计算。 P(1,1)XY,,YX (1)证明:方法一:的边缘密度函数为 X ，,0.5()xy,，0.5x,,，,,0.25,0edyx,0.5,0ex,,,0 fxfxydy()(,),,,,,X,,,其它0,,其它,0,, ,0.5y,0.5,0ey,同理的边缘密度函数为 Yfx(),,Y0,其它, fxyfxfy(,)()(),容易得，所以和相互独立 (5分) YXXY 方法二:利用直接判断的充要条件，事实上:(1)和联合密度函YX数fxy(,)是变量可分离函数;(2)fxy(,)为正时的区域是矩形，所以X 和相互独立 (5分) Y (2) 方法一: P(1,1)(1)(1)XYPXPY,,,,, ，,0.520.521xx,,，,,分,,,(0.5)(|)(10)edxee1,1 方法二: ，,，,0.5()xy,，P(1,1)0.25XYedxdy,,,,,11 ，,0.520.521xx,,，,,分,,,(0.5)(|)(10)edxee1,1 XXX,,,2、设是来自总体的样本，总体的概率密度函数为 XX12n x,,1,ex,0,,,px，， (,),,,0,, ,x0,0,, 第8页共9页 ˆˆ证明:(1) 的最大似然然估计量为;(2) 是的一个无偏估计,,,X,, 量。 xxx,,,XXX,,,证明:(1) 设为样本的观测值。基于样本的似12n12n n1,xi,1,,1i然函数为 (3分) Lxxe,(;,,),n1n, n1Lxxnx,,,,,ln(;,,)ln对数似然函数为 ,1ni,,i1 nndLnln11,,，,,,,xxx0令，解得 ,,ii2,,,dn,1,1ii ˆ所以的最大似然估计量为,, (5分) X, 1(2)因为，所以 XExp(), 1ˆˆ,,的数学期望为 (10分) X,,,,,,EEXEX1/, 第9页共9页