【doc】一种新的完备正交函数系

【doc】一种新的完备正交函数系【doc】一种新的完备正交函数系一种新的完备正交函数系第18卷第2期 I989年6月中国矿业大学 JournalofChinaUniversityofMining&Technology V0J.18No.2 Jtm.1989 一种新的完备正交函数系李安昌摘要本文证明T在数字信号处理中经常碰到的一种函数晕的正交完备性,并讨论 7它的基本性质关键词:完备正交系在数字信号处理中,经常碰到下面一种函数系 sin(f一?) 0)=-sc(卜)(1) (卜?)?… (...

【doc】一种新的完备正交函数系一种新的完备正交函数系第18卷第2期 I989年6月中国矿业大学 JournalofChinaUniversityofMining&Technology V0J.18No.2 Jtm.1989 一种新的完备正交函数系李安昌摘要本文证明 T在数字信号处理中经常碰到的一种函数晕的正交完备性,并讨论 7它的基本性质关键词:完备正交系在数字信号处理中,经常碰到下面一种函数系 sin(f一?) 0)=-sc(卜)(1) (卜?)?… (=0,?1,?2.…) 本文证明了它是一个完备正交系,并讨论了它的基本性质.这些结果,对理论研究和实际应用都有较大价值. 设(f)(C,其Fourier变换为?.即 ?m(叫I—x(t)e斫dt(2) 定义连续函数类C的子集: C((f)?c;(,)=0(J,1?,)j 其中为某一正数在信号处理中,?称为(f)的频谱,称为(f)的截频. 定理在函数系(1)中,取?=,则函数系(1)在c中是完备正交的证明先证:(f)?C' 显然妒(t)eC,由于方波的频谱为 (,)=m(州=26sinc2矿利用Fourier变换的对称性质可得到Fourier核的频谱九(枷=(一=X8(,) 因此再利用Fourier变换的时移性质及叠加原理就得到" ?0中国矿业大学1989年 l?e Fko(f)]一{ 这说明一'P(f)的截频l厂=1,故'P(f)?c A , J,1?去 0.J,11 再证:函数系(1)在(—一,+)上正交. 已知卷积等式… — sin2 — 7rflt— sin2n — fzt::— sin2n— f3t r霄ft 其中,厂I>0,厂2>0,,'3=min{fl,};. 当m4=n时,利用)式有咖)sin(卜sin(卜??f ?: (3) : ? sm~(n-m)A : .(根据(3)) 当=时,由Parseval等式,对Fourier核而言有 Ij?d厂=IX~(t)dt 因此有』::'P;(rjdr=f:sinc(一A)drJJ—? ?:I1 lzdf=? J一五. 这样就证明了函数系(1)在(—..,—一)上的正交性. 最后证:函数系(1)在C中完备. 任取x(t)eC',根据抽样定理",则(f)可由抽样值(?)(:0,?1, ?2,…)完全确定,且有 (f)=?x(nA)q~() 这里取?1 .利用函数系(1)的正交性得 ?)=去』:(r)'P(f)d : 0,?1,?2,…) (4) (5) 一 = 令坚第2期一种新的完备正交函数系若在C中存在函数(f)与函数系(1)巾的一切函数正交,则由(5)式可知x(nA)=0=0,?I,?2,…),再由(4)式得(r)=0.这就证明了函数系(1) 在C中的完备性完备正交函数系(1)有下列基本性质: lp(f)可用半奇数阶的圆柱函数表示妒(r)=,/j?)!(署(r一一?)) 2.妒(f)满足下列微分方程初值问题 (t-hA)妒=(f)+2).'(,一?)妒(0 (?)=1.p'(n?)=0 事实,由(1)式不难验证初始条件(8)成立.对(1)式变形得 t-nA)~o(sin(卜?) 上式两边关于,求两次导数,得 (f—ako;(f)+2(f)=一sin~(t-nA) 对上式稍作整理就得到(7)式. 3.~x(t)EC,则有一三(H?)妒((f)sinc2g/',, 争买上,利用Fourier变换公式及(4)式,有 ?x(nA)~o(,)=(f)=Xq)e一J,. = 删) = ( = J.)sin2刑~zf(t--z)1出J一I—TJ (,)2fsinc2zf,, 4~x(t)eC'及其平方可积且关于妒(,)的展开式可以逐项积分坝』有Parseval等式一 1 A:(『)d至J……'" 事实上,利用(4)式及正交性,有 (6) (7) (8) (9) (10) 112中国矿业大学1989年去汕=去J.::(羔蛳)(羔蛳))山 = 1??A)x(mA)I(咖(t)dt = ?X2【n?) 5.以(f)为基函数的插值函数设(?c,且?【一71.,71.】时,(f)兰0,取?==1 ,则由(4)式可得(f)以(f)为基函数的插值表达式 (f)=?(^?)(f),re[一To,To】(1l1 等式(11)说明,以(f)为基函数,由抽样值x(nA)=0,?1,?2,…, ??)可以精确地表达出原来的函数(f),这在实际中是很有用处的. 参考文献 [1]程乾生编着:《信号数字处理的数学原殚》,石油工业出版社,1982年. 【2]刘颖编着:《圆柱函数》,国防工业出版社,1983年 ANewCompleteOrthogonalSystemofFunctions LiAnchang Abstraet Thispaperprovestheorthogonality,completenessforasystem0ffunc60nswhichjs oftenusedindigitalsignalprocessing. Itsotherbasicpropertiesarea1s0discussed. Keywords:Complete,Orthogonal,system

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