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解题方法谈：探究一道高考题
2004年高考数学湖北卷第19题是一道颇具探究价值的试题：
如图１，在PQ中，已知，若长为的线段以点为中点，问Rt?ABCBCa,2aPQA
BPCQBC与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值． ,
下面从三个方面给予探究．
一、常规解法
解法１：如图2，?ABAC?，
?ABAC,0．
?APAQ,,CQAQAC,,，，． BPAPAB,,
12222 ?BPCQAPABAQACaAPACABaPQBCaa()()()cos． ,,,,,,,,,，,,，,2
故当PQBCBPCQcos1,,,,0，即（与方向相同）时，的值最大，其最大值为0．
点评：本解法利用向量的几何形式及其运算，将BPCQ转化为角的函数求解，有一,定的技巧性．
解法2：如图3，以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角A
坐标系．
设ABc,ACb,PQa,2BCa,A(00)，Bc(0)，Cb(0)，，，则，，，且，．
设点()xy，Qxy(),,，的坐标为，则， P
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BPxcy,,()，CQxyb,,,,()，BCcb,,()，PQxy,,,(22)， ?，，，．
22 ?BPCQxcxyybxycxby,,,，,,,,，，,()()()()．
,PQBCcxby ?,,， cos,2aPQBC
222?BPCQaa,,，cos,?cxbya,,cos,，．
故当PQBPCQBC，即（与方向相同）时，最大，其最大值为． cos1,,,,00
点评：本解法利用向量的坐标形式及其运算，数形结合，将BPCQ转化为角的函数,求解．其解题思路自然流畅，入手较易．
二、创新解法
解法3：仿解法2，建立平面直角坐标系，设出向量的坐标，得到
222BPCQxycxbyacxby,,，，,,,，,()．
2222by，cx， ?cx?,by?，， 22
2222cbxy，，，2 ?cxbya,,?． 2
22 故xc,BPCQaa?,，,0BPCQ（当且仅当，yb,,时，取“＝”），即取最大值BCcb,,()，PQcb,,(22)，PQBC,2PQBC,2PQ0，此时，，，，，故与BC的夹角为0．
2222 点评：本解法紧紧抓住关系式xyAPa，,,，活用基本不等式求得最大值，简
捷、巧妙．
三、探究感悟
１．平面向量的数量积是平面向量的一种重要运算．将问题中的垂直关系转化为向量的
数量积为0,，进而转化为角的余弦函数是求得最值的关键．
２．把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进
行相关的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，同学们应
能够很好地掌握．其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的繁与简．
３．对同一个问题从不同角度探究拓展，有利于同学们思维能力的培养，也是提高复习
效率的有效途径．同学们在平时复习时，应多做这方面的工作．
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