第九章 重积分
教学目的：
1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。
教学重点：
1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；
2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3、二、三重积分的几何应用及物理应用。
教学难点：
1、 利用极坐标计算二重积分；
2、 利用球坐标计算三重积分；
3、 物理应用中的引力问
题
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。
§9 1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1 曲顶柱体的体积
设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积
首先 用一组曲线网把D分成n个小区域
1 2 n
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i i) 以f ( i i)为
高而底为 i的平顶柱体的体积为
f ( i i) i (i1 2 n )
这个平顶柱体体积之和
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即
其中是个小区域的直径中的最大值
2 平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x y) 这里(x y)0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M
用一组曲线网把D分成n个小区域
1 2 n
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量
( i i) i
各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值
将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量
其中是个小区域的直径中的最大值
定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域
1 2 n
其中 i
表
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示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作
即
f(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和
直角坐标系中的面积元素
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素
二重积分的存在性 当f(x y)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续 所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的
二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的
二 二重积分的性质
性质1 设c1、c2为常数 则
性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与D2 则
性质3
(为D的面积)
性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式
特殊地有
性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有
性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x y)在闭区域D上连续 为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得
§9 2 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X型区域
D 1(x)y2(x) axb
Y 型区域
D 1(x)y2(x) cyd
混合型区域
设f(x y)0 D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}
此时二重积分
在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的曲顶柱体的体积
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为
即 V
可记为
类似地 如果区域D为Y 型区域
D 1(x)y2(x) cyd
则有
例1 计算
其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域
解 画出区域D
方法一 可把D看成是X型区域 1x2 1yx 于是
注 积分还可以写成
解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2 于是
例2 计算
其中D是由直线y1、x1及yx所围成的闭区域
解 画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是
也可D看成是Y型区域：1y1 1x
公式
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为
例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心
解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心
必位于y轴上 于是
因为
所以
所求形心是
类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是
其中
例4 求均匀半球体的质心
解 取半球体的对称轴为z轴 原点取在球心上 又设球半径为a 则半球体所占空间闭区可表示为
{(x y z)| x2y2z2a2 z0}
显然 质心在z轴上 故
故质心为
提示 0ra
02
三、转动惯量
设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量
在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为
dIxy2(x y)d dI yx2(x y)d
整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为
例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量
解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为
D{(x y)| x2y2a2 y0}
而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix
其中
为半圆薄片的质量
类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为
例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量
解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域
{(x y z)| x2y2z2a2}
所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz
其中
为球体的质量
提示 x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2
四、引力
我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题
设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续
在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为
其中dFx、dFy、dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量
G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)
例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a) (a>R)处的单位质量的质点的引力
解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为
其中
为球的质量
上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力
浙公网安备 33021202002483