数形结合函数方面的例题

数形结合函数方面的例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (一)函数的图像 函数的图像是函数的一种直观 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系;通过观察函数的图像，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律;借助函数的图像，既有助于记忆函数的有关性质和变化规律，又有助于研究函数的性质，以及利用数形结合的方法去解决某些问题; 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。 (二)函数的作图 1、描点作图: 对一般函数的作图常采用描点作图，一般步骤是:?确定函数的定义域;?列表;?描点;?连线成图。 2、特征值作图: 对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图，常常采用的特征值有:最值，零点，对称轴等。 3、对称变换作图: 对对称函数的作图，可以先作出部分图像，然后利用对称性作出对称部分的图像。基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。 设函数y=f(x)，则有: ?关于点(a，b)对称的函数为:2b,y=f(2a,x)即y=2b,f(2a,x);特别地，关于原点对称的函数为y=,f(,x); ?关于直线x=a对称的函数为:y=f(2a,x);特别地，关于y轴对称的函数为y=f(,x); ?关于直线y=b对称的函数为:2b,y=f(x)即y=2b,f(x);特别地，关于x轴对称的函数为y=,f(x); 4、平移变换作图: 对由基本初等函数平移得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。 平移的规律:向坐标轴的正向平移m(>0)时，将对应的坐标减去m;向坐标轴的负向平移n(>0)时，将对应的坐标加上n。 如将y=f(x)向下平移2个单位，则得到y+2=f(x)即y=f(x),2;将y=f(x)向左平移3个单位，则得到y=f(x+3)的图像。 5、伸缩变换作图: 对由基本初等函数伸缩得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的伸缩变换得到所求函数的图像。 伸缩变换的规律:沿坐标轴方向伸长m(>1)倍时，在对应坐标前乘以。 如将y=f(x)沿水平方向伸长2倍，则得到y=f(). 6、翻折变换作图:一般属于局部对称变换作图。 (三)函数图像的应用 1、利用函数图像，研究函数的几何性质，如单调性，周期性，奇偶性，最值，零点，值域及定义域，对称性等; 、利用函数图像进行数形结合的思想方法解题，将代数问题转化为平面解析几何问题处理。 2 四、考点与典型例题 考点一 函数的图像 例1、(2008全国I卷) 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车。若把这一过程中汽车的行驶路程s看成是时间t的函数，则其图像可能是( ) 【分析】首先明确路程一直在增加，所以D明显错误;汽车开始时速度较小，在单位时间内路程增加得慢，匀速行驶时路程呈直线递增，减速过程中路程增加又变慢，故选A。 【解答】A。 【点评】本题考查对图像变化趋势的实际意义的理解。 考点二 描点作图 例2、画出函数的图像。 【分析】要注意到定义域是{x|x?0}，列表描点时横坐标只取非负数。 【解答】函数的定义域为{x|x?0}，列表如下: x 0 1 2 3 4 y 0 1 2 在坐标系中描点并连线成图: 【点评】利用描点法作图时，一要注意定义域，二要注意取“足够”多的点，过少难以确定图像的形状，过多则会给作图带来麻烦，三要注意连线时应以光滑的曲线连接。 考点三 特征值作图 2例3、作函数y=x,2x+3的图像。 【分析】这是一条开口向上的抛物线，所以要画出其图像，只需确定其最低点、与坐标轴交点及对称轴即可。 22【解答】由y=x,2x+3=(x,1)+2，故该函数的对称轴方程为x=1，最低点坐标为P(1，2)，与y轴交点为M(0，3)在坐标系中画出图像如下: 【点评】对一次函数、二次函数、反比例函数等大家都比较熟悉的简单函数的作图，我们均可采用特征值作图法，由最值点、零点、与y 轴交点、对称轴等特征值确定图像的大致位置和形状。 平移变换作图 考点四 例4、作出函数的图像。 【分析】若用描点作图法，需要求出定义域以及单调性;若考虑到式子的特征，可以分离变量，将自变量集中到分母上，联系反比例函数平移去解决。 【解答】因为，故可将的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到的图像。 【点评】认真分析函数的形式特征，联系基本的初等函数，寻找它们之间的异同点。 考点五 伸缩变换作图 例5、由y=f(x)的图像经怎样的变换可以得到y=2f(3x)的图像, 【分析】将y=2f(3x) 化为，比较，比较变量的变化，从而有: 【解答】先保持y=f(x)的纵坐标不变，将每一点的横坐标变为原来的;然后保持横坐标不变，将每点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到y=2f(3x)的图像。 【点评】对伸缩变换，主要考虑变换前后变量系数的变化。 考点六 翻折变换作图 例6、画出函数y=|x+1|的图像。 【分析】当x+1?0时，函数y=x+1的图像和y=|x+1|的图像一致;当x+1<0时，y=|x+1|=,(x+1)，其图像与y=x+1的图像关于x轴对称。 【解答】先作出函数y=x+1的图像，然后保持x+1?0的图像不变，将x+1<0时的y=x+1的图像沿x轴对称地翻折，即可得到y=|x+1|的图像。 【点评】翻折变换一般只需进行局部对称变换，所以需要研究是哪个区间上的对称变换。 考点七 综合作图:有时将几种变换手法结合起来，一般地，先考虑平移变换，再考虑伸缩变换。 例7、由函数y=f(x)的图像经怎样的变换可以得到y=2f(3x,4),5的图像, 【分析】 【解答】先将y=f(x)的图像向右平移4个单位，再向下平移个单位;再将每一点的横坐标变为原来的，每一点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到y=2f(3x,4),5的图像。 【点评】对涉及两种及两种以上变换手法的函数作图，一般地，可以先将函数式整理成变换前函数式的形式，然后考察相应位置的变量间的变化关系。如本题将函数式变形成后，就可以看出:，从而可以清晰地知道变换关系。 考点八 利用函数图像研究函数性质 例8、已知函数的图像如图所示，则函数的解析式是 。 【分析】由图像可知，这是一个分段函数，所以在探求解析式时应分区间来探究。 【解答】当x?,,1,0,时，y=,x,1;当x?(0,1)时，y=x。故 【点评】由函数图像探求其解析式一般都是在明确函数类型的前提下进行，可以先设出这种函数的一般式，然后通过特殊点坐标代入的方法确定系数的值。 考点九 利用数形结合的思想方法解题 例9、试证明:如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a,x)，则f(x)的图像关于直线x=a对称。 【分析】证明函数图像的对称性，一般地可以转化为图像上点的对称性来处理;本题证明f(x)的图像关于直线x=a对称，可在f(x)的图像上任取一点P，证明P关于直线x=a的对称点Q也在该函数图像上即可。 【解答】证明:在y=f(x)的图像上任取一点P(x,y)，P点关于x=a的对称点为Q(2a,x,y)，则f(2a,x)=f,a+(a,x),=f,a,(a,x),=f(x)，故Q点坐标也满足y=f(x)，故Q点也在该曲线上，因此可得:f(x)的图像关于直线x=a对称。 【点评】结合图形进行直观感知，一方面有助于理解和记忆函数的性质，另一方面有助于得到解题思路，获得快捷的解题方法。 五、本讲涉及的主要数学思想方法 1、数形结合的思想方法:此处所指数形结合的方法指的是在“数(式)”与“形”之间建立联系，利用“形”的直观性来解决“数(式)”的问题。本讲内容蕴含着丰富的数形结合的可能性，处理时应注意数形联系，借助函数图像进行解题。 2、化归的思想:借助数形结合，把有关数(式)的特征研究化归为形的几何特征的研究。 3、几何变换的思想方法:本讲对中学数学中常见的几何图形变换的方法均进行了系统的学习，包括平移、伸缩、对称和翻折四种变换手法，学习中要善于利用这几种变换手法，将复杂函数的作图问题转化为基本初等函数的作图问题。 【模拟试题】 一、选择题 1、下列图形中不可能是函数图像的有( ) A B C D 2、向高为H的容器注水，注满为止，则注水量V与水深h的函数关系图像是( ) 23、y=ax+bx+c与y=ax+b(a?0)在同一坐标系中的图像是( ) 4、下列四个图形中，能表示以,,1，1,为定义域，以,0，1,为值域的函数关系的是( ) A、 B、 C、 D、 225、由函数f(x)=x,1经怎样的平移可以得到函数f(x)=x+2x+3的图像( ) A、向左平移1个单位，向下平移3个单位; B、向左平移1个单位，向上平移3个单位; C、向右平移1个单位，向下平移3个单位; D、向右平移1个单位，向上平移3个单位; 6、关于函数y=|x,2|+2的对称性的描述，正确的是( ) A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于x=2对称 D、关于y=2对称 7、已知函数y=f(x)的图像经过P(1，2)，则函数y=f(x,2)的图像必经过( ) A、(1，2) B、(2，2) C、(3，2) D、(4，2) 二、填空题 8、(2004.上海)设函数f(x)的图像关于原点对称，其定义域为,,5，5,，若当x?,0,5,时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)<0的解集是 。 9、已知对一切x?R，都有f(2+x)=f(2,x)，且方程f(x)=0有五个不同的根，这五个根的和为 。 三、解答题 10、试讨论函数的图像与函数的图像的关系。 211、下列函数的图像可由y=x的图像经过怎样的“伸缩变换”而得到, 22?y=x ?y=4x 212、(2000.上海.文)已知函数f(x)=x+2ax+2,x?,,5,5,. ?当a=,1时，求函数f(x)的最大值和最小值。 ?求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间,,5，5,上是单调函数。 • • • • • • • • • • • • • • • • • • 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 • 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。 顶 7 收藏 7 • 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。 顶 11 收藏 9 • 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 • 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 • 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3 • 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。 顶 4 收藏 5 • 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5 • 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3 • 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1 • 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0 • 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。 顶 2 收藏 1 • 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠 • 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦，决定从那里启程。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。 顶 0 收藏 0 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母• 爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。