2005年南昌市
高中
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数学竞赛试卷
答案
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中国奥博教育 浙江奥数网 2005年南昌市高中数学竞赛试卷答案
一、选择题(每小题6分，共36分)
(高一)C A C D D A (高二)D C C D D A
二、填空题(每小题9分，共54分)
1011111( (高一) 1 ; (高二) 2( (高一) ; (高二) 96(1)，,,2220062007
23( (高一) 12:9:2 ; (高二) 4( 270 5
5( [-3-，-3+] 6( {1，3，5，15，16，25，48，75}22
nxy三、(20分) 证明:对每个正整数n，考虑满足的正整数x,y由于,.nxy，，，200520052005
xny(2005)， ,xyn，，2005(2005)
xny(2005)，ny(2005)，利用比例的性质所以，取y=2n，则x=2n+2005,x,2005(2005)(2005)ynny，,，yn,
显然，x,y,n彼此不同。(或者取y=n+1，则x=n(n+2006))
四、(20分)证:设N，K分别是DF、DE的中点，则 A
11DFDECEEKBFFN22Rt?BFN?Rt?DEM， Rt?CEK?Rt?DFM，,,,,FDFFMFMDEMEME
M NEK1BFCE?BF•ME=DF•DE=CE•FM ? ，而?BFM=?CEM ,CB2FMEMD??BFM??CEM，于是?BFM=?CME
五、(20分)证明:如果b<0，显然方程无整数解，只需考虑b>0情况。 反证法，设有两组整数x,y与x，y都满足方程， 11
1a1a+=+去掉绝对值并将各项的符号“+1”或“-1”分别用m，n，m，则1xay，，axy,，xay，，axy,，11113333
a1,,1,,,,a,,n
表
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示，则上式化为:+=+ 1naxy,，mxay，，mxay，，naxy,，,,1,,,,1,,3333,,,,,,,,
11，，即: mxmxnynymmnxnxmymynna,,，，,,,，,，,，，，，1111111111,,33，，
此式左端为有理式，右端为无理式，故应分别为0，因此有
1 …? mxmxnynymm,,，,,，，111113
1 …? nxnxmymynn,，,,,，，111113
1 ADD:浙江省杭州市学院路146号第一教学楼507室 TEL: 0571—85028528 FAX: 0571—85028578
中国奥博教育 浙江奥数网 由于m-m以及n-n只能取2，-2，0，故必须都为0，否则将导致左端为整数，右端为既约真分数，矛盾。?m=m，111n=n1
?、?化为:mxxnyy()()0,,,, … ? 11
… ? nxxmyy()()0,，,,11
将?式乘以m，?式乘以n，然后相加得
222()0xx,,xx, 即 ? 据此又得y=y 1()()0mnxx，,,111
这与假设x,y与x，y是两组不同整数矛盾。从而结论成立。 11
2 ADD:浙江省杭州市学院路146号第一教学楼507室 TEL: 0571—85028528 FAX: 0571—85028578
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