第六章
习题6-1
1. 利用定积分定义计算由直线y=x+1,直线x=a，x=b（a
说明
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,又
1+x.所以
.
4. 估计下列各积分值的范围：
(1)
； (2)
;
(3)
（a＞0)； (4)
.
解 (1)在区间[1,4]上,
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
是增函数,故在[1,4]上的最大值
,最小值
,所以
,
即
.
(2)令
,则
,当
时,
,从而
在
上是增函数,从而f(x)在
上的最大值
,最小值
,所以
即
.
(3)令
,则
,令
得驻点x=0,又
，
,a>0时,
,故
在[-a,a]上的最大值M=1,最小值
,所以
.
(4)令
,则
,令
得驻点
,又
,从而
在[0,2]上的最大值
,最小值
,所以
,
而
,
故
.
习题6-2
1. 求下列导数：
(1)
; (2)
；
(3)
; (4)
(x＞0).
解
2. 求下列极限：
(1)
; (2)
; (3)
.
解
3. 求由方程
所确定的隐函数y=y(x)的导数.
解 方程两边对x求导数得:
,
.
又由已知方程有
,即
即
,于是有
.
4. 当x为何值时，I(x)=
有极值?
解
,令
得驻点
,又
,
所以当x=0时,I(x)有极小值,且极小值为I(0)=0.
5. 计算下列定积分：
(1)
; (2)
;
(3)
,其中
(4)
.
解
(4)由于
,于是
6. 已知f(x)连续，且f(2)=3,求
.
解
.
习题6-3
1. 计算下列积分：
(1)
; (2)
;
(3)
; (4)
;
(5)
; (6)
;
(7)
; (8)
;
(9)
; (10)
;
(11)
; (12)
.
解
(7)令x=tant,则dx=sec2tdt,当x=1时,
;当
时,
,
于是
.
(8)令
,则
,当x=0时,t=0;当
时,
,
于是
.
(9)令
,则
,当
时,
;当
时,
,
于是
.
(11)令
,则
,当x=1时,t=1;当x=2,t=
;
于是
2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：
(1)
(a为正常数)；
(2)
; (3)
.
解
是奇函数.
.
是奇函数.
是偶函数.
3.
证明
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下列等式：
(1)
(a为正整数)；
(2)证明：
(x＞0)；
(3) 设f(x)是定义在(-∞，+∞)上的周期为T的连续函数，则对任意a∈［－∞，＋∞），有
.
证 (1)令x2=t,则
,
当x=0时,t=0;当x=a时,t=a2,
于是
即
.
(2)令
则
,
即
.
4. 若f(t)是连续函数且为奇函数，证明
是偶函数；若f(t)是连续函数且为偶函数，证明
是奇函数.
证 令
.
若f(t)为奇函数,则f(-t)=- f(t),从而
,
所以
是偶函数.
若f(t)为偶函数,则f(-t)=f(t),从而
,
所以
是奇函数.
5※. 设f(x)在(-∞，+∞)内连续，且F(x)=
,试证：若f(x)单调不减，则F(x)单调不增.
证
,
其中
在x与0之间.当x>0时,x>
,由f(x)单调不减有
,即
;当x<0时,
> x,由f(x)单调不减有
,即
;综上所述知F(x)单调不增.
习题6-4
1. 计算下列定积分：
(1)
; (2)
;
(3)
; (4)
;
(5)
; (6)
;
(7)
; (8)
；
(9)
; (10)
.
解 (1)
.
故
.
故
.
2. 已知f(2)=
,f′(2)=0,
,求
.
解
3※. 利用分部积分公式证明：
.
证 令
则
,
则
即等式成立.
习题6-5
1. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：
(1) y=ex与直线x=0及y=e; (2) y=x3与y=2x;
(3) y=x2,4y=x3; (4) y=x2与直线y=x及y=2x;
(5) y=
,x轴与直线y=x及x=2; (6) y=(x-1)(x-2)与x轴；
(7) y=ex,y=e-x与直线x=1; (8) y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb,
.
解 (1)可求得y=ex与y=e的交点坐标(1,e), y=ex与x=0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积
图6-1 图6-2
(2)解方程组
得
即三次抛物线
和直线
的交点坐标分别为(0,0),
,它们所围成的图形的面积
.
(3)解方程
得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为
.
图6-3 图6-4
(4)可求得
与
的交点为(0,0),(1,1);
与
的交点为(0,0),(2,4);
y=x与y=2x的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:
(5)
与
的交点为(1,1),
,x轴与直线x=1,及x=2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:
.
图6-5 图6-6
(6)
,顶点坐标为
,与x轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由
得
.
所求面积
(7)可求得曲线
与
的交点(0,1),曲线
,
与x=1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积:
图6-7 图6-8
(8)曲线
轴与直线
所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:
2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：
(1) y=ex,x=0,y=0,x=1,绕y轴； (2) y=x3,x=2,x轴，分别绕x轴与y轴；
(3) y=x2,x=y2，绕y轴； (4) y2=2px,y=0,x=a(p＞0,a＞0),绕x轴；
(5) (x-2)2+y2≤1,绕y轴.
解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD,与曲边梯形CBD绕y轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y=ex与x=1的交点为(1,e), y=ex与y轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.
.
图6-9 图6-10
(3)解方程组
得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积
.
图6-11 图6-12
.
(5)所求旋转体的体积是由右半圆
与左半圆
绕x轴旋转生成的旋转体的体积之差,即
图6-13
3. 已知曲线y=a
(a＞0)与y=ln
在点(x0,y0)处有公共切线，求：
(1) 常数a及切点(x0,y0);
(2) 两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.
解 (1)由题意有点
在已知曲线上,且在点
处两函数的导数相等.即有
即
解得
.
(2)由(1)知两曲线的交点为
,又在区间(0,1)上,曲线
在曲线
的上方,它们与x轴所围成的平面图形的面积
.
(由
得
,由
得
).
4※. 设
,试求曲线y=f(x),直线y=
x及x=1所围图形的面积.
解
图6-14
解方程
得交点为
,且易知当
时,
位于
的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积
.
5. 一抛物线y=ax2+bx+c通过点(0，0)、(1，2)两点，且a＜0，试确定a,b,c的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小.
解 由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c=0,a+b=2,又由抛物线方程
得与x轴的两交点为(0,0),
,抛物线与x轴所围图形的面积.
,
由
得
,代入上式有
,
,令
得
或
,
由已知
得
,从而
,
所以
.
6. 已知某产品产量的变化率是时间t(单位：月)的函数
f(t)=2t+5,t≥0,
问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?
解 设产品产量为
,则
,第一个5月的总产量
第2个5月的总产量为
7. 某厂生产某产品Q(百台)的总成本C(万元)的变化率为C′(Q)=2(设固定成本为零)，总收入R(万元)的变化率为产量Q(百台)的函数R′(Q)=7-2Q.问：
(1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?
(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少?
解 (1)总利润
当
即
即
,
Q=2.5百台时,总利润最大,此时的总成本
总利润
(万元).
即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.
(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,
总成本
,
总收入
,
总利润为
(万元).
减少了6.25-6=0.25万元.
即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.
8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求这10年中该投资的纯收入的现值.
解 投资后T年中总收入的现值
,由题意知
所以
纯收入的现值为196.73-100=96.73.
即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.
习题6-6
1. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：
(1)
; (2)
;
(3)
(a＞0); (4)
;
(5)
; (6)
;
(7)
; (8)
;
(9)
; (10)
;
(11)
.
解 (1)
,此广义积分收敛.
(2)
,此广义积分发散.
(3)
,此广义积分收敛.
(4)
不存在,所以,此广义积分发散.
不存在,此广义积分发散.
,收敛.
此广义积分发散.
此广义积分收敛.
2. 当k为何值时，广义积分
收敛?当k为何值时，这广义积分发散?又当k为何值时，这广义积分取得最小值?
解 当k=1时,
,发散.
当
时,
所以,当k>1时,此广义积分收敛,当k≤1时,此广义积分发散.记
.令
得
.
又
,
且
,
故
在
有极大值,而
只有一个驻点,所以当
时
取得最大值,因而
时,这个广义积分取得最小值.
3. 利用递推公式计算反常积分
.
解
又
故
4. 求
(n 0,1,2,…).
解 设x=sint,则dx=cosdt,
而
所以
.
6. 用Γ函数表示下列积分：
(1)
(n＞0)； (2)
(
＞-1)；
(3)
; (4)
（
）.
解 (1)令
,则
,
于是
.
(2)令
,则
于是
(3)令
,则
,
于是
.
(4)令
,则
,
于是
浙公网安备 33021202002483