中小学数学建模 资 料 汇 编

中小学数学建模 资 料 汇 编 中小学数学建模 资 料 汇 编 全国数学建模工作委员会 2010年11月6日 言 前 数学建模是一个世界性的研究课题，它起源于上世纪七十年代末的英国剑桥大学。 1983 年开始在美国每两周年举行一次数学建模与用模国际会议，与会国家逐步发展到了欧美、日本、澳大利亚、中国等近百个国家和地区。1985年美国率先举办全美大学生数学建模联赛，使大学生数学建模竞赛活动逐渐成为世界大学生活动的一大潮流。我国的大学生数学建模竞赛活动起步于1992年，虽然起步较晚，但近年来已成燎原之势。 纵观世界数学建模活动，各国均侧重于大学，中小学系统开展的还属凤毛麟角。尽管我国的九年义务教育《数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 》非常重视数学的建模问题——在前沿的第一页就3次提到了建模问题，3次提到了数学的用模(工具性)问题，但由于种种原因，中小学数学建模问题仍然没有得到应有的重视，在中小学界进行数学建模教育的更是少之又少。 不会建模的就不会科研，不会用模的就不会生活。为了更好地推广数学建模思想、提高中小学教师的数学建模意识、发展中小学生的数学建模能力，本刊从本期开始将陆续刊发一些有关小学数学建模的文章，以供大家参考，也欢迎广大读者踊跃参与。 注:本汇编均采自《山东教育》杂志2010年10 ~ 12期刊发文章，全国各省市在关杂志将陆续刊发数学建模文章，望各界人士积极投稿。 目 录 关于数学建模的几个问题„„„„„„„„„„„„ 秦荃田 刘景军(1) 浅谈小学数学课堂教学中数学模型的构建„„„„„„„„„张绪昌(7) 立足生活情境 构建数学模型 ——谈整数四则混合运算的教学„„„„„„„„„„„„李 红(10) 小学数学建模教学中的思考„„„„„„„„„„„„„„ 马世广 (15) 王希 (17) “交换律”建模设计„„„„„„„„„„„„„„„„„ 立体图形的体积研究„„„„„„„„„„„„„„„„„ 邵瀛婧 (22) 在小学数学建模教学中如何构建数学模型„„„„„„„„ 贾海娟 (26) 小学数学建模教学模式及其应用 „„„„„„„„„„„„牛玉兴 (29) 浅谈长方形正方形周长计算公式的建模„„„„„„„„„ 刘淑芹(31) 在小学数学教学中渗透数学建模思想 „„„„„„„„„ 刘永文 (34) 对数学建模的几点认识„„„„„„„„„„„„„„„„郭淑英 (37) 常见的中学数学建模问题分析 „„„„„„„„„„„„ 周文博 (39) 影响初中数学建模教学的原因分析„„„„„„„„„„ 马红梅 (42) 关于数学建模的几个问题 秦荃田 刘景军 一、 问题的提出 数学是在人们对现实生活与生产实际应用的需求中产生的，要解决生活及生产实际中的问题就必需建立数学模型。如:数的扩大，产生了二进制、五进制、十进制、是二进制、六十进制等进位制模型;土地测量的需要，产生了各种几何图形的模型等。从此意义上讲，数学建模和数学学科一样有古老历史，且是数学学科发展的重要支柱。今天，数学以空前的广度和深度向其他科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在正迅速走向定量化、数量化、和数字化，数学在许多高新技术领域起着十分关键的作用。因此，数学建模被时代赋予更为重要的意义。 数学课程标准的第一页就3次强调了数学的“建模与用模”问题: 1. 第一段最后一行:“有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，题，直接为 社会服务。” 2. 第二段倒数第三行:“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问 题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。” 3. 第一页倒数第三行:“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。” 新课标的第一页也是3次强调了数学的工具性: 1.第一段倒数第一行:“进而解决问题，直接为社会创造价值。” 2.第一段倒数第二行:“数学作为一种普通使用的技术。” 3.第一页倒数第一行:“数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发 展的基础。” 值得注意的是，数学的工具性正是体现在数学的用模上。新课程强调过程与活动，但这里的过程与活动均是建模与用模的活动，新课标着重强调的是数学建模的过程和用模的活动。上述几点充分说明一点，新课标最重视的是数学的建模与用模问题，其他一切，生活化也好、实际问题解决也好、过程与方法也好、活动与思考也好，等等的一切都是为数学的建模与用模服务的。 既然如此，新课程改革开始近十年了，我国的中小学数学教育界为什么对此很少涉及而只强调过程、活动、合作学习和方法多样化呢,原因固然是多方面的，但数学的建模与用模问题毕竟揭露了数学的本质，与现代科技的发展息息相关，也是世界数学教育发展的主流，因此，重视数学建模与用模教育的研究是我国中小学数学甚至大学数学教育不可忽视的一个重大问题。 二、数学建模的内涵 1.什么是模型 模型是一种科技生产的手段，是随着产品的批量生产而产生的，它代表了科技的发展。自古以来，人们制造瓷器、陶器、铜器、金器、银器、等等，都要首先制作各种“模子”。现代的工厂制造工业零部件，也需要事先制作“模子”。这种模子，就是模型。《说文解字》上写道:“模，法也。”中国古代的人们，以材料的不同而区分不同的“模”。“以木曰模，以金曰镕，以土曰型，以竹曰范，皆法也。”即是说“模”“镕”“型”“范”都是用不同的实物材料做的“模子”。模型尽管可以变化，如，方形的可以变化，发展为长方形的、椭圆形的、菱形的、组合图形的等，同一形状的可以变为厚的、薄的等，但一种形状的模子一旦固定下来，就是有其专有用途的，是为制造某一类物品服务的，是实物的，是刚性的，是不可改变的，是可以用一定的数学公式或定义描述的。 2.什么是模式 模式是模型概念的一种推广。《辞源》上写道:“模”的意义有三:?模型、 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 ;?模范、楷式;?模仿、效法。“模型”这一组合词的本义，即是一种用实物做模的方法。但是，在这里，这个词的意义已经有所拓展已有模范、模仿的意义。再到后来，“模型”一词，从原来狭义地指实物模型，已发展为包括非实物的形式模型。最先普遍拓展使用的是“数学模型”。把一类实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，即称为数学模型。再后来就发展、变化为在非实物的形式模型中，除了“数学模型”之外，还有用文字语言描述的“模型”，通常，人们又不用“模型”而用“模式”。例如，“文化模式”、“教育模式”、“经济模式”、“社会模式”等等。模式是文字叙述的，是描述性的，是不精确与不科学的，只能描述性状而不能揭示其本质。 3.什么是数学模型 通俗地讲，数学模型就是为了解决现实生活与生产劳动实际、科技发展与社会发展等一系列问题而建立的一系列数学概念、公式、定义、定理、法则、体系等等。它可以有变式，如，ab+ac=d,可以写成a(b+c)=d，可以根据情景的变化，添加条件，如ab+ac=d，变为ab+ac+e=kd，但他们都是为了解决某类问题服务的，一旦确定，就不可更改。 4.什么是模型论 在数学领域里，还有在更为狭义的范围内的“模型”，即是在数理罗技研究领域中的“模型论”。模型论，是研究形式语言与其揭示(模型)之间关系的理论，一个形式语言L的解释U称为此语言的一个模型货结构。这是一种从数学到数学的研究，是对数学模型的数学解释。 5(什么是数学建模 “数学建模不是做题，而是干活。”中国科技大学李尚志教授的这句名言一针见血地指出了数学建模的本质特点。准确地说，数学建模就是用数学语言来描述现实现象的过程。这里的现实现象既包括自然现象(如行星运动)，也包括社会现象(如商业运作)，而描述也不仅仅包括在外形、内在机制的描述，还包括预测、实验和解释实际现象等内容。也就是，实际问题数学化。它是一个过程，是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择过程。它重视、强调了探究的过程。在这一过程中，许多细想、方法、技能、与技巧都相对伴生。值得注意的是，数学建模过程，尤其是现代数学建模过程，一般不是一个人完成的，而是群体智慧的结晶，它强调了合作性。比如，现在的大学生数学建模一般都是三人一组完成的。同时，在建模过程中需要尝试各种方法，需要建模策略的多样探试、比较、综合与最优化。 6(什么是数学用模 简单地说就是用数学模型来解决实际问题，而不在于应用了多少数学知识于方法。它最核心的部分就是围绕一类问题建立一个数学模型来模拟实际问题，然后通过研究这个数学模型来解决这个实际问题。这里的数学模型是指用数学语言描述的实际事物和现象，是实际事物的数学简化。因为人们普遍相信大自然是严格地演化着，所以为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性与可重复性，人们就用数学模型来模拟实际现象。建模与用模是一个数学过程，即是生活问题数学化与数学问题生活化的问题。值得注意的是，用模时可以不必了解建模的过程或建模的意义。就想农民用拖拉机耕地一样，他可以不必会制造拖拉机，也不必知道制造拖拉机的原理，会使用、使用好就可以了。也就是说，建模是数学家或科学家们的事，大多数实际工作者会用、用好数学建模就不错了。 7(问题解决与数学建模 问题解决提起与上世纪五十年代的美国，流行于七十年代的美国、西欧和日本等国家和地区。我国则引进于八十年代末，流行于就是年代中期。问题解决包含了亮部分，一是问题，二十解决。“问题是数学的心脏。”爱因斯坦曾经说过“提出问题比解决问题更重要。” 作为问题解决的核心——问题，有着各种各样的分类方法，但大体上可以分成两类:(1)为了学习、探索数学知识、复习巩固所学内容而主要由教师或教材编写者构作的数学问题，如教科书、复习参考书中的练习题和复习题等。(2)出现于非数学领域，但需要数学工具来解决的问题。如来自日常生活中的经济、理化生医等学科中的应用数学问题。(1)类中的问题，往往是以完成数学抽象和加工的“成品”问题。其指向性单一、条件狭窄、开放性较差;(2)类中的问题，往往还是“原坯”形的问题，怎样将他抽象、转化成一个相应数学问题，这本身还是一个问题。当然，两类问题是可能有“交集”他们彼此的边界也是模糊的，如可列方程(组)求解的文字应用题的一部分就在这个“交集”中。在问题解决的过程中，上述两类问题的解决思路上是较肤浅的、方法是较单一的。需要说明的是(2)中的问题已有数学模型的雏型，但在中小学教科书中，这类问题涉及的还不多。 数学建模问题的条件更开放、更凌乱、目的性、指向性和策略性更多样。模型的猜想性、可塑性、验证性更强，学生的探索性、合作性更强，用模的多样性更强，它的作用对象更侧重于非数学领域中的问题。较之问题解决，数学建模更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程，数学工具、方法和模型的选择、分析过程，模型的求解、验证、在分析、修改假设、在求解的迭代过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系。它给学生再现了一种“微型的科研过程”。 例如:“我们班内最美的同学是谁,”这个问题。要解决这个问题，首先要找到它的条件:这就是“我们班内”，而“最美的同学”必须有标准。我们知道，人体美学受到种族、社会、个人等方面的影响，牵扯到体型与精神、局部与整体的辩证统一。只有整体和谐、比例协调，才能称得上是一种完整的美。人体的美主要由两类:对称美和比例美。而比例美中最重要的是黄金分割美。从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于接近黄金矩形而变化最小。人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美哉几十万年的历史沉淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是，黄金分割律作为一种重要的形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰～今年来，在研究黄金分割律与人体关系时，人们发现了人体结构中有14个“黄金点”，12个“黄金矩形”和两个“黄金指数”(两物件间的比例关系为0.618)，这就是“最美的同学”的标准。有了这个条件和标准，我们就可以将人体结构中的“黄金分割点”与自身相对照，通过实际测量每个同学身上的具体数据，用数据说话，来解决“最美的同学”的问题，从而建立本版中最美同学的数学模型。这一过程是动态的、开放的，它对学生的各种能力都提出了很高的要求。 三、数学建模的思维过程 因为数学建模主要是培养学生从现实生活与生产实际中发现数学信息进而建立数学理论的能力，所以，数学建模本身是一个寻找、分析、建模、计算与验证、修订、应用、总结的完整过程。当我们拿到一些数学建模信息时，首先就是要查找所需的数据，尽量多地把查找数据的工作完成。其次是问题的分类分析:题中所给的条件是非常多或非常少的，要根据建模的要求对这些条件和信息进行加工、分析、并进行归类比较。第三根据分析对数学模型提出初步假设，同一道题目可以有多个不同的模型假设，当应以尽量准确的模型实际为标准。第四是提出模型假设后，要通过计算或计算机编程等对模型假设进行验证。第五是验证之后对模型假设进行修改、定型。第六步是应用模型进行解决问题。最后，进行概括总结，写出研究 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 ，内容包括模型的改进、模型带来的启发与待解决的问题等等。 上述数学建模过程的思维流程大致如下: 寻找相关信息?提炼有用信息?分类比较?提出模型假设?计算验证?调整定型?用模解决问题?研究报告 四、数学建模的一般研究领域 一般说来，数学建模在现实生活、工农业生产和高科技研究领域中的作用无处不在，纵观数学建模的研究，它在如下领域正在热火超调地开展着; 1. 在信息产业领域的软件生产过程中; 2. 经济问题解决过程中; 3. 气象预报中的预报模型与模式; 4. 数学建模在各类评价体系中的作用; 5. 数学建模在国民素质教育中的作用; 6. 数学建模对数学教学改革的重要启示; 7. 社会科学的数学化，起核心是建立社会科学中相关学科的数学模型; 8. 航空航天及物理、地理、天文学的研究中; 9. 医药卫生、生物、化学、农林领域的研究; 10. 其他相关行业中。 五、数学建模的历史发展及现状 数学建模研究的发端是在1978年前后，英国工业协会为了生产的需要要求剑桥大学开设一个大学数学建模班，培养学生的数学建模能力。1982年美国开始关注大学生数学建模问题，并于1985年在美国组织首届全美大学生数学建模联赛，之后，每两年举办一次，并逐步发展为世界大学数学建模联赛。1989年再几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数迅速增加加。 1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10个城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。教育部领导及时发现并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均每年增长25%以上的速度发展。2009年全国有33个省、市、自治区(包括香港和澳门特区)1137所院校、15046个队(其中甲组12276队、乙组2770队)4万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参加人数和参赛地区最多的，其中西藏和澳门是首次参赛。令人遗憾的是，尽管我国大学生数学建模竞赛开展的如火如荼，尽管数学课程标准早就对数学建模问题提出了强烈要求，但在中小学阶段进行数学建模研究的还属凤毛麟角，这是一个值得关注的问题。 六、开展中小学数学建模教学研究的几点建议 1重读课标，引起思想重视 正如前文所提，数学课程标准在前言部分的第一页的3次提到了数学的建模问题，3次提到了数学的工具性，即用模问题，在不足1000字的问题中6次提到了数学的建模与用模问题，且在课标的第一页。课程标准吧数学建模用模问题提到了什么高度还不是显而易见了吗,课程标准的新理念新在什么地方还不是一清二楚了吗,为什么多年来我们的数学教师、数学研究员们一直在过程与方法、一直在数学与思考、一直在算法多样化上下功夫，而独独不提数学建模呢,这是一种舍本逐末的行为，是对新课改、对学生不负责任的行为，现在是回归课程标准的时候了。我们必须静下心来，仔细研读数学课程标准，从思想上引起对数学建模的重视。 2(重视建模教学，确立建模的初步原则 在学习数学课程标准，重视数学建模教学研究的同时，要逐步确立数学建模的初步原则。 在小学数学建模的过程中，要切记小学数学姓“小”，不姓“中”，更不姓“大”。要从小学生的年龄特征和心理特点入手，从“小”字上做文章。要让小学生初步感知数学建模的意义，逐步了解数学建模的过程;初步了解数学建模的思想，逐步知道数学建模的方法。会从简单的现实生活和生产例中初步抽象出数学模型，并会用数学模型解决一些简单的实际问 题。 初中阶段则可以在此基础上做进一步的提高。 3. 细研课本，找出建模的立足点 中小学阶段，尤其是小学阶段的数学建模应尽量从平常的数学课堂开始，并以课堂教 学为主阵地进行。其实，各种数学课本中都有大量的数学模型素材可供我们选择。如， 数1的认识。这是一个最简单的数学模型，但也是一个最复杂的数学模型。1个1的 物体可以抽象出数1，一群一群、一对一对、一排一排的物体也可以抽象出数1，这些 1都一样吗,学生们一知半解，大多数老师也是一知半解。要真正建立好这一模型， 那可是不容易的。同样，3呢,5呢,=号呢,再如，长度单位怎么建立,平方单位、 立方单位呢,将课本上的这些知识点寻找出来，仔细研究，你就会发现，他不仅会帮 助你搞好数学建模的教学，而且会是你的课堂教学多姿多彩。 4. 在课堂以外抓建模 数学建模是开放式的，是需要时间的。因此，它既可以与课堂教学相结合，让学生在课外搜集建模 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 ，如上同级课前可以让学生到商店或在家里搜集物品种类和数量，准备课堂教学用，也可以成立数学建模兴趣小组，提高学生的数学建模能力。 5.用数学的眼光看世界 从中小学数学的角度说，数学建模就是生活问题数学化的过程，而数学的用模就是数学问题生活化的问题，二者相辅相成。这是课程标准着力强调的一点，也是广大老师在教学中着力实践的一点，知识老师们还没有把它上升到建模的意识上而已。“万物皆数”，是“生活中处处有数学”。要培养学生的数学建模意识与能力，就需要让学生用数学的眼光看世界，让学生时时处处在大自然中发现数学、感悟数学、体味数学、应用数学，这是我们广大数学教育工作者应尽的义务。 中小学数学建模的研究工作还刚刚起步，要研究的问题千头万绪。限于能力，也限于篇幅，本文仅谈以上几点，以其抛砖引玉。 浅谈小学数学课堂教学中数学模型的构建 济南市市中区教研室 张绪昌 数学模型，从小学课堂教学这一狭义的角度讲，就是指解决问题时所用到的一种数学框架，是对实际问题进行分析、简化、抽象后所得出的数学结构，一般是用数学语言、符号、数量关系式或图形等描述。它具有一般性、精确性、直观性、简洁性等特点。然而在新课程实施过程中，笔者发现，一线教师的数学模型的构建意识还比较薄弱，不少教师以为构建数学模型是数学家的事，只要教材、教参上没有明确要求，教学也就不再涉及。诚然，数学模型的建立往往受教师自身模型构建意识与能力、教材内容等因素影响，但以笔者看来，教学中失去这一点的渗透与培养，学生对于知识的自我构建能力也就无从谈起了。小学数学课堂中模型的构建主要有三个阶段:现实问题数学化(即由现实问题通过分析、抽象、建立数学模型)、模型解释和模型应用。本文重点就几种数学模型的构建策略做一介绍。 一(在实际问题翻译成几何语言的过程中构造“线段图模型”，突破对难点的理解 一节课的有效性取决于对教学重点的落实和教学难点 的突破，而构建有效的数学模型是突破教学难点的有效途 径。 例如,“植树问题”有三种情况:两端都不 栽(棵树 = 间隔 +1);只中端(棵树 = 间隔数);两端都不栽(棵树 = 间隔数-1)。在第一遍试教中，教师把教学重点放在三种情况的分类上，一节课下来，学生在球总棵树时，往往还是弄不清应该是加1、还是减1或者不加不减。仔细分析一下原因，归根结底是学生不明白植树问题的本质 —— 一 一对应。说到底，也就是学生没能很好地掌握一一对应的数学模型。教师进行了第二次改进，把教学重点放在了一一对应的数学模型的建立上，收到了良好的效果。教师在出示题目:一条公路长20米，计划在公路的一旁栽树，每隔5米栽一棵(两端都栽)，一共可以栽几棵,学生尝试独立解决，出线了三种方法:20?5=4(棵);20?5+1=5(棵);20?5+2=6(棵)。在全班交流算式意义的过程中学生通过画图，理解到:20米是路的总长，5米市每两棵树的距离，20?5求的事4段路，要求两端都栽，所以还得加上开头的一棵。 就在全班同学普遍认同这一解释时，教师提出了本 节课理解的难点，即段数与棵树的关系:4表示段数，1 表示左边的那棵树。4段 路加上1棵树等于什么,段数加上棵树求出来怎么是棵树呢,按说应该棵树加上棵树才等于棵树啊,难道段数和棵树之间还有一定的关系吗,通过大家的讨论，学生根据线段图找到了一一对应的模型:途中一段路对应着一棵树，一共有这样的4段路，4短路就对应着4棵树，所以20?5求出的事段数，根据一一对应，也可以理解成是4棵树。1就是指的头上这棵树。紧接着教师让其他同学用手势比划段数与棵树的对应关系，从而非常扎实地构建出棵树和段数一一对应的模型，有效地突破了教学难点。在接下来研究只种一端和两端都不种的情况时，教师也是仅仅让学生记住了一一对应的模型，减轻了学生的记忆负担，教学效果较好。这一学习过程可以概括为“自主尝试——初步建立模型——质疑问难一构建完整模型”。 二、在规律的总结过程中构建 合适的数学模型，深刻理解算式 的意义 乘法分配律是四年级下册的 内容，教材的呈现方式如右图。 多数教师在教学时往往从计算 入手，即出示机组类似(4+2) ×25和4×25+2×25的例子， 让学生通过计算发现两个狮子 相等的关系，从而总结出乘法分 配律。课堂上老师虽然费了九牛 二虎之力，但教学效果却不如 意，尤其是遇到变式练习，许多 学生还是稀里糊涂。原因在哪 里,笔者以为主要还是学生对 于分配律的理“看”得不清楚，通过计算总结结论 过于抽象。因此，不妨创造一个更加直观的图示，从而帮助学生理解算式的意义。可以把例3改成如下形式: 444444, 共25组 ,222222, 让学生思考:一共是多少,有几种算法,横着看:4×25+2×25表示25个4加上25个2。竖着看:(4+2)×25表示25个4加2的和。 两种算法得数相同，可以用等号连接:4×25+2×25=(4+2)×25，教师可以再强化一组。随后教师给出算式，让学生想象图式，进一步理解算式的意义。这样几个回合下来，学生对于乘法分配律的模型建立就非常深刻了。乘法交换了、乘法结合律都可以创造类似的图式，从而较为容易的突破了对算式意义的理解。 三、在计算过程中构建直观的数学模型，从而较好地突破对算理的理解 计算教学的基本目的是使学生 掌握算法，理解算理，而对于 一部分同学来讲，理解算理总 是较为困难。 比如，人教版五年级上册“小数处 以整数”一课，不少学生不能理解为 什么商的小树点要和被除数的小数点 对齐。因此教师一恰当地选择面积模 型，通过学生的操作来理解这道理。 比如计算4.32?3。教师可以引导学生用下图表示4.32。如果把4.32平均分为3份，应该先分大正方形。 每人分得1个正方形，还剩下1个，以1作单位没法再分了，所以把1评价分成10份，和3个0.1和起来就是13个0.1，平均分成4份，每份有4个0.1。 再把剩下的1个0.1评价分成10份，和2个0.01合起来评价分成3分，每份是0.04。通过直观的错做很容易的理解了商的小数点和被除数的小数点对齐的道理。 四、在猜想与验证的过程中构建基本的数学表达式，从而实现知识的有效构 建 猜想是依据已有的知识或活动经验对研究的数学对象或数学问题进行观察、实验、比较、归纳等一系列的思维活动，并做出符合一定规律或事实的推测性想象，进而通过验证或操作完善或修正自己的猜想，从而提出新的理论假设。猜想是一种带有一定直觉性的比较高级的思维方式，而在不断地猜想与验证过程中，数学模型也在不断地构建与调整。比如，学习分 123456数的大小比较时:教师先出示一组带有规律性的题组，比较、、、、、的大234567 13456小，学生先进行猜想，然后验证发现:<<<<。学生自然得出:当分数的分母比24567 ace,,分子大1时，分母大的分数大，用字母关系式表示为:„„(b-a=d-c=f-e„„bdf =1);紧接着教师可以引导学生进一步提出新的猜想:如果当分数的分子分母相差2、3 123456如:刚才的规律还是否适用,学生继续进行猜想、验证，从而发现其中的,,,,,345678 ace,,带有规律性的表达式:(当b-a=d-c=f-e)。这个学习过程可以概括为:bdf “实践操作——构建模型——提出新猜想——动手验证——建立模型”，这个过程是学生不断发现、不断创新的过程。 五、在知识的梳理与归纳中构建基本的关系式，从而打通知识间的联系 著名教育家皮亚杰认为:“对知识的理解是学习者自己主动地建构知识的意义的过程。”因此教师要有意识的引导学生对所学知识经常回顾与整理，使零散的知识在学生大脑中主动地进行选择、加工，这样学生原来的知识经验系统又会因新信息的进入发生调整和改变，也就是我们通常所说的知识重组或重构。如何实现这一点，构建基本的关系式模型是一种重要的途径。比如，学生在学习了平面图形的面积公式后，为了减轻学生记忆负担，增强学生的演绎推理能力，教师可以引导学生思考:能否只用一个公式把下面所以图形的面积公式统一起来, 学生通过观察，得出梯形的面积公式(S(梯形)=(a+b)×h?2)可以解释其他图形的面积，然后进一步简化:中位线×高。再如:学生学习完有关长方体、正方体、圆柱、棱柱的体积后可引导学生再次构建这些例题图形基本的体积公式，得出:直棱柱的体积=中位面×高。 总之，有效的数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学知识应用于实际问题的过程。在建立数学模型、形成新的数学知识结构的过程中，学生能更深刻地体会到数学与生活的联系，同时教师自身要具备数学模型的构建意识和能力，才能指导和要求学生通过主动思维，自主建构有效的数学模型，从而使课堂更能彰显数学的学科魅力。 立足生活情境 构建数学模型 ----谈整数四则混合运算的教学 济南市姚家小学 李 红 “能结合现实素材理解运算顺序”是小学数学课程标准的理念。为此，实验教科书一改原教材的编排体系，而从数学源于生活的角度，结合符合学生生活实际的现实素材逐步引入混合运算.这样编排的好处是:1.贴近学生,使抽象的问题变得生动,有趣;2.便于学生结合现实问题初步理解混合运算的意义,体会运算顺序;3.混合运算与解决两三步计算的实际问题紧密结合,有助于提高学生思维水平和解题能力.然而,新教材这种编排也有弊端,如综合算式的提前出现造成了教师教学的困惑,脱式计算的格式要求形成了教学的空挡,而教材、教参对此只字未提，使教师教学感到无从着手，自行其是。混合运算的运算顺序作为一个数学模型来说并没有在教材中得到很好的体现。为了帮助学生加深对混合运算顺序的理解，应该在规范运算步骤的基础上促进学生计算能力的提高。数学课程标准指出，数学教学应“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。而引导学生构建数学模型，应该从学生所熟悉的符合其年龄特征的生活情景出发，引导学生通过观察、操作、分析、比较等思维活动，进而逐步转化成自己的认识，从而用数学语言、数学符号概括出来。正如张奠宙教授所说:“数学模型就是那些用数学语言来模拟现实的模型。”因而建立数学模型的过程本身就是一种研究型学习方式。下面是我们教学混合运算的几点做法: 一、教材分析 实验教科书是结合现实素材逐步引入混合运算的。大体可分为3个阶段:一是初步渗透模型简短，二是形成模型阶段，三是运算定律的建构与应用。第一阶段又分为3个层次:一(上)“6-10的认识和加减法”中安排的“连加”、“连减”和“加减混合”便是混合运算的起始内容。这个阶段主要是口算，应该结合具体情景，让学生感悟到先算什么，再算什么，起重点是第一步口算得数要“暗记”，使学生明白只有求得第一步计算的得数才能进行第二步计算。第二个层次是二(上)100以内的加法和减法(二)中的“连加，连减和加减混合”。 承接上一层次的教学，学生已经有了初步的按顺序计算的意识，只不过由口算变成了笔算，“暗记”的第一步得数需要用竖式表示出来。为了帮助学生更深刻认识连加连减和加减混合运算顺序，教材依然通过生活情景呈现问题及运算顺序，其后结合表内乘法引入的乘加、乘减，仅从呈现顺序上就能看出先算乘法后算加减法，并不是教学两级运算的顺序。第三个层次是二(下)的含有小括号的加减混合运算。为了帮助学生体会小括号的作用，教材通过一道用两种方法解答的实际问题说明用综合算式列式时，应该使用小括号，“计算时先算小括号里面的”可以从分析题目的数量关系中建立认识。从以上分析可以看出，教材的编排确实体现了数学源于生活，学生比较容易的将生活情境转化为自己的认识。但需要说明的一点是，在这个阶段已经出现了列综合算式解决实际问题，这就给教师教学造成了些许困惑。怎样教学列综合算式:教不教脱式计算的格式和步骤,幸亏，59页的例4道出了脱式步骤及解法，真是“千呼万唤始出来。” 混合运算教学的第二个阶段在四(下)。教材通过四个例题的问题解决，帮助学生建立整数四则混合运算的运算顺序这一数学模型。由于学生在一、二年纪已具备了很多感性认识， 且能够初步掌握含有加减两步计算及含有小括号的混合运算式题的计算步骤，只不过还没有把这些认识上升为理性认识，即还未形成运算法则这一数学模型，因此这部分教材主要是引导学生借助于已有的知识经验，在解决问题的过程中，归纳概括出混合运算顺序，形成数学模型，并利用数学模型进行计算。 整数四则混合运算的第三个阶段是研究五大运算定律并进行简便运算。五大运算定律也是数学模型，它是运算体系中最有普遍意义的规律，是运算的基本性质。同时随着数的范围的进一步扩展，这五个运算定律也会进一步应用到后续知识的学习中。鉴于学生在前面的数学学习中已经接触到了一些实际例子，因此这一阶段的任务主要是引导学生从现实的问题情境中抽象概括出运算定律(建模)，并进行简便运算(用模)。 二、创设现实情境，初步渗透“模型”意识 如前所述，学生在低年级学习混合运算主要是学习从左到右依次计算的连加、连减和加减混合的运算顺序，初步了解小括号的作用。前者渗透的的教学模型就是一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序进行计算。后者所渗透的数学模型就是在有小括号的算式里，要先算小括号里面的。为了帮助学生更好的理解和掌握这些内容，教材提供了丰富的生活情境，旨在于激发学生的学习兴趣，唤起学生的知识储备，利用现实的素材建立认识。教学中应切实把握好教材的这一编排特点，让学生结合现实素材进行分析、思考，从而架起生活情境与运算顺序之间的桥梁，也就是说在低年级要注意渗透“模型”意识，为四年级的建构四则混合运算顺序的数学模型做好准备。 例如，一(上)的连加、连减和加减混合属于口算内容，但其又是两步式题，分两步进行口算才能算出结果，特别是第二步计算要用到第一步计算算出的得数，而学生则由于思维的定势，往往容易忘掉第一步的得数或由于看不见第一步的得数而造成第二步计算的困难。为此，教材呈现了现实素材，用生动的动态情境反映出计算时应该先算什么，初步渗透了同级运算从左到右的顺序。此外，教材在算式中用“线”标明先算什么，并注上第一步计算算出的得数，从而帮助学生克服前面所提到的计算障碍。 为了使学生更好的掌握运算顺序，教学“连加”时可用动态的图画呈现p72的“连加”题目，使学生通过观察，直观看到5只小鸡、2只小鸡和1只小鸡的呈现顺序，列出算式后进而理解连加算式的意义，初步体会到先算什么再算什么，接着用课件显示第一步计算的得数“7”，使学生进一步认识到第二步计算是用7来加1。再让学生试着说一下5+2+1的计算过程后再出几幅类似的动态画面巩固这一认识，并引导学生结合这几道题说一说连加计算应该怎么办。 “连减”的教学过程基本和连加相同，只不过学生有了连加的基础，教学中注意引导学生进行知识迁移，即在呈现动态画面并列出算式后，让学生自己说一说，先算什么再算什么，重点放在第二步计算为什么用6减2上。 “加减混合”呈现了不2幅情景，与连加、连减相比，不同点是含有加减两种运算，相同点是依然从左到右计算，但正因为这是两种运算，动态情境的出现就更有必要，一方面能克服先加后减的潜在错误意识，另一方面可与连加、连减结合起来，达到结合动态情景构建数学模型的目的。为此，可在练习中用课件展示不同的加减混合的现实素材，让学生列式，让学生说顺序，让学生说每一步计算的结果，这样不仅可以使学生掌握运算顺序，又可以提高学生的口算能力。 此外，要切实搞好综合训练:一是进行连加、连减和加减混合的综合练习;二是进行专项训练，如说一说第一步先算什么，或直接说出第二步要算几加(减)几及这样算的理由;三是要主要引导学生发现归纳连加、连减和加减混合的运算顺序，渗透模型意识。 三、扬长避短，优化教学内容 认真研究一下教材，不难看出教材关于整数四则运算混合运算有几个地方值得商榷: 一是出现综合算式过早，而教材又迟迟不提脱式计算;而是脱式计算教学支离破碎;三是带有小括号的两步计算显得薄弱。为此我们在教学中一方面注意渗透建模、用模思想，一方面在尊重教材编写意图的前提下对教材做了适当的整合，取其长，避其短，收到较好的效果。我们的做法是: 二(下)的解决问题单元，是在学生学会计算两步式题的基础上编排的。从“解决问题”的角度来看，这一单元主要学习两步计算的解决问题，显然，数量关系分析是十分重要的，让学生掌握思维的起点，确定思维的方向，培养学生展开有序的分析是开始学习两步计算解决问题的重要任务，根据学生的年龄特征和已有知识积累，分步更容易体现思维的有序，匆匆出现综合算式有些操之过急，而再加上小括号的作用与使用，无疑给学生增加了更多困难。为此，我们将解决问题单元和P59例4的脱式计算部分甚至于四(下)的有关知识做了整合，并增加了两课时内容。教学例1时以引导学生展开有序的分析为主线，让学生在学习小组内结合情境图体会事情发展顺序，并根据题目里有所反映的2个条件提出一个需要解决的问题;在列出算式求解后接着想第二步运算，并明白第二步计算的意义;然后再总结本题的分析思路和解答过程，强化提问题的意识，并承接前面的“加减混合”教学，让学生列出综合算式，并结合综合算式说一说先算什么再算什么。在此基础上，教学脱式计算方法，帮助学生建立“脱式计算”的教学模型。 例2有2中解题思路，属于“一题多解”。教学例2时可引导学生通过生活情境体会解决问题的思路，得到2种解题方法。根据学生的年龄特征，学生往往是从条件入手进行思路的。题目里给出了3个条件，根据前2个条件可以求出买了22个面包还剩多少个，再求出最后还剩多少个;根据后面两个条件可以先求出一共买走多少个，再求出还剩多少个。从不同角度引发的思考，开拓了学生的思维空间，此后再根据第一种思路列出连减算式，并用上节课所学到的脱式步骤进行计算。根据第二种思路列综合算式是例额2的又一个教学重点。让学生认识括号，了解小括号的作用必须结合分步列式。第二种思路是算式一共买走多少个，再算还剩多少个。那么列成综合算式也应该符合这一顺序。然而怎样才能清楚的反映出这一顺序呢,学生大胆想象大胆猜测，形成不同想法，如54-8-22.54-(8+22)等，前者用下面的横线表明先算的部分，后者用()表明先算的部分。教师此时结合小括号便水到渠成，而小括号的作用也无须多费口舌，直接让学生脱式计算即可。此后，为了达到构建模型的目的，可以再出几道带小括号的试题，让学生说一说先算什么再算什么，以加深学生对这类题目运算顺序的认识。 P59例4是乘除两步计算问题，思维方法及列式解答均可通过知识迁移解决，但对于乘除混合运算顺序则需要结合生活素材进行理解。乘除属于同级运算，乘除两步计算包含两种情况，要么先乘除，要么先乘后除，要么先除后乘。列出综合算式需要理解题意，明确题目中所蕴含的条件与条件、条件与问题间的数量关系。一旦学生理清了脉络，便可以列出综合算式，并掌握运算顺序，从而也渗透了有乘法又有除法的两步式题，按从左到右的顺序进行这一数学模型的计算。可见用课件呈现这种实际问题十分必要。 四、在整理中构建和深化混合运算数学模型 四(上)四则运算主要教学并梳理混合运算的顺序。建立四则运算的数学模型过程就是学生从已有的生活经验出发，充分运用观察、实验、分析、概括等思维方式，将实际问题抽象出来并解释与应用的过程。数学模型一般是用数学语言或数学符号来呈现的。在之前的教学中，学生已经对混合运算的数学模型有不少了解，形成了一定认识，并且已经能够运用数学模型进行整数四则混合运算，但尚不系统，用数学语言描述不简练概括，从而构成了四(上)的四则运算的重要任务。因此可以说，四(上)的四则运算教学应落脚于梳理知识，使分散在各册各部分的有关知识成为一个整体，从而实现“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”，提高学生的综合概括能力和计算能力。 四(上)的四则运算顺序的梳理是结合解决问题进行的。教学这部分内容有2个主要任务。一是让学生再解决问题的过程中，进一步掌握分析问题的策略和方法。为达此目的，教学中应侧重于分析、引导学生从不同角度进行逆思考，还可以兼顾正逆两种思考路线进行灵活分析，目的只有一个，寻找到一条简捷正确的解题思路。本单元是整数及其运算的最后阶段，问题解决的范围也随之增大，强化数量关系分析是十分有必要的。第二个任务就是梳理四则运算的顺序，例1是加减混合运算，例2是乘除混合运算，他们均属于同级运算，例3与例4是含两级运算的三步计算式题。但从计算合理的角度看可用两步解答，例5是含有小括号的三步计算式题。这部分内容实质上是整数四则混合运算的概括与总结。5道例题各有侧重，例1、例2与例5还都有一定的知识储备，显然例3、例4的混合运算顺序是教学重点。 例1、例2的教学应把握两点，一是搞好数量关系分析，让学生通过有序的思考，逐步达到举一反三;二是概括加减混合运算或乘除混合运算顺序，并用语言表达出来。 例3、例4的教学应把握三点:首先是搞好数量关系分析，找到隐蔽条件并列出分布算式，二是引导学生将分步算式合并成综合算式，主要解决积商之和的问题。一旦布列了综合算式，便可以引导学生结合前面的分析和分步计算过程，知道先算乘除法，后算加法了。此时，教师应刻意说明，对于24×2+24?2来说，乘除是同一级运算，因此，脱式计算时，应同时计算24×2的积与24?2的商。由于含有两级运算的题目进行脱式计算，学生尚属初次遇到，仅凭这一道题目便让学生概括出数学模型是不现实的，故此时宜趁热打铁，连续出几道含有两级运算且带有生活情境的题目让学生说一说先算什么再算什么，列出综合算式后再引导学生发现运算顺序，并概括出数学模型。 实质上是对混合运算顺序的梳理，两道小题中，参与运算的数，排列顺序及运算符号都相同，但计算结果却不相同，其根本原因是(1)小题里出现了小括号，部分改变了运算顺序。由此可以促使学生认识到小括号的作用以及运算顺序的重要性。可见，这两个小题仅是改变了运算顺序。由此可以促使学生认识到小括号的作用以及运算的重要性。可见，这两个小题仅是个例子，目的在于对混合运算顺序进行整理。显然，整理知识最好以合作学习的形式出现，让大家群策群力，通过对前面所学知识的回顾与思考，通过在计算过程中的应用与发现，总结出四则运算的顺序，成功构建出数学模型。 五、在观察比较中概括运算定律 前面所提到的混合运算顺序作为数学模型，是学生由具体形象的现实生活情境，通过分析、比较、联想、验证、综合、概括等一系列思维活动逐步形成的形式化数学语言。而五大运算定律同样如此，只不过其模型的呈现较之运算顺序更为抽象更为简练，即可以用数学符号或数学字母表示。因而教学运算定律的关键就是让学生在大量的素材信息中，通过观察整理发现他们的共性，及时进行教学抽象活动，在用形式化的数学语言表述之后，进而用数学符号表示。 加法的交换律、乘法的交换律作为两个概念，学生可能会感到陌生，但早在一、二年级学生就已经通过一图二式和乘法口诀的学习，了解了他的“形”。只不过由于年龄小等原因，尚未形成模型。因而教学时除了像例题那样提供生活情境外，还需通过几个类似的例子让学生在分析解决问题的过程中发现，尽管列出的算式加数(因数)的位置发生了变化，但和(积)却没有变化，因而这两个算式的可以用等号连接起来。接着可以让学生认真观察这一系列等式的左右部分，不过还可以使其更为抽象，表示更为简练。学生在知识生成的过程镇南关产生的过程中产生了很多好的想法，也就是形式化语言模型转化为符号模型、字母模型等，学生经过对比，a+b=b+a、a×b=b×a得到了大家的认可。加法的结合律和乘法的结合律对于学生来说相对陌生，但并非没有一点接触。以前的混合运算中，学生可能从速算的角度有些许的尝试，只补过没有形成模型。就其教学来说，一人像交换律那样，提供给学生 丰富的生活情境，让学生在计算中法相不管是先把前面两个数相加(乘)，还是先把后两个数相加(乘)，和(积)不变。此中观察、分析、比较、发现是十分重要的教学环节。学生一旦发现了上述规律，又有了用字母表示交换律的基础，再用字母，符号表示出来，就不会感到多大困难了。 乘法分配律的建模可能难一些，这是因为缺乏像交换律、结合律那样的生活素材。一般来说教学时，依然是由解决问题引入。两种不同的思路产生不同的综合算式，用不同方法计算出相同结果，初步认识乘法分配律。为了使结论更具有可靠性、普遍性，前面的实例最好到根据两种思路列出的算式相等为止，而不急于对这两个算式相同的等式都有共性，此后再引导学生对比分析，从而帮助学生发现规律，概括出乘法分配律，并用字母表示出来。 通过在整数四则混合运算教学中，立足生活情境，狠抓知识迁移、构建数学模型的实验和操作，我们深刻认识到，构建数学模型过程的本质就是数学思维的活动，所以建模的过程离不开思维方法。分析与综合、比较与分类、抽象与概括、猜想与验证等思维方法都是构建数学模型的重要方法。当然，这些思维方法往往是综合运用的。可见，数学模型的一个很重要的价值体现就是建模，而建模的目的则是用以解决实际问题。此外，需要说明的一点是，小学数学建模教学并非每次都要经过一个完整的建模过程，也就是说，有些数学建模并不能一次完成。想混合运算法则这一数学模型就经历了渗透模型意思、初步形成模型和形成完善模型三个阶段。 小学数学建模教学中的思考 莱西市孙受镇西杨小学 马世广 《数学课程标准》指出:让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。从教学课程改革发展的情况看，数学建模已成为小学数学学习的目的。从学生学习和发展的角度看，数学建模既是学生学习数学思想的方法，也是学生学习数学知识、解决问题的一种能力，能够引发学生对数学学习的极大兴趣，提高数学学习的效率。在数学教学中，本人对数学建模教学进行了一些尝试，下面谈谈自己在这方面的思考: 一、创设情境，让学生在体验建模活动中感受数学应用的价值 由于小学生以形象思维为主，加之数学知识比较抽象、逻辑严密，这决定了小学生学习数学的难度。因此，数学教学若能从学生的生活经验和所具备的知识背景出发，在课堂上努力为学生创设生活情境，把现实问题数学化，把数学知识生活化，将有利于调动学生的积极性，有利于让学生觉得生活中处处有数学，可以增强学生在生活中学习数学、应用数学的意识。 案例:小学一年级数学对“序数”意义的认识中有一道这样的题:有十个小动物在玩滑梯，题目问第8个小动物是什么,小猴排在第几个,„„孩子们有的从前面数，有的从后面数，错误率极高。基于这种情况，教师立即把学生带到校园游乐场的滑梯边，通过玩自己幼儿园时熟知的游戏，再次体会玩滑梯的上下顺序，真正理解序数的意义，从而有序地进行数数。 解读:在这个活动中，设计的问题情景贴近学生的生活实际，所以引起了学生的兴趣，学生的思维一下子被激活了。学生对面提出的问题，根据自己的经验构建出不同的数学模型，教师引导学生在具体情境中再次求解模型，使学生真正经历了体验的过程，符合儿童的认知水平，使新学习的知识得到内化和升华。 二、自主探究，让学生在尝试、观察、猜测、思考的建模活动中学习新知 现代教育理论认为:最有效的学习，是学生对学习过程的体验，它能给予学生自主建构知识和情感的体验时空。行为体验式一种实践行为，是一个亲身经历的动态过程，内心体验是将行为体验进行生活和转化的过程。教学中应根据教材的特点和学生已有的知识经验，通过尝试、交流、归纳、等教学过程，建立新知的教学模型，其特点是“未教先学”，即学生运用已有的知识经验，尝试探究解决新的数学问题，再进行交流，达成共识，归纳出新知识的数学模型。 案例:二年级学生生活经验不足，对长度单位理解还不够深刻，尤其是对毫米、厘米、分米以及米的实际应用有一定的难度。教学中设计用合适的单位表示一粒大米、教学课本的长度以及教师的长和宽这样的练习。在这一过程的教学中，教师把课堂真正给了学生，把时间和空间还给了学生，让学生手拿学具，动手尝试，认真观察，在反复时间后得出结论，大米要毫米作单位，教师的长和宽要用米作单位，而数学课本的长度则可以用厘米也可以用分米作单位，在整节课中，教师里乱中有序，学生们兴致高昂地忙着测量、比较、思考、建模。 解读:尝试是人们了解、认识客观世界的一种有效途径。动手实践、自主探索与合作交 流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动活泼的，生动和富有个性的过程。案例中的学习内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动。教师从选取素材到具体的实施，都尊重学生的自主选择，重视学生的参与，自己只起到顾问和指导作用，教师有意识地鼓励学生独立思考，激发学生的创新精神，让学生自己建模然后再动手操作进行验证，逐步提高了实践能力。 三、小组合作，深入建模，让学生在探索中培养表达能力和团队合作精神 案例:小学数学三年级“方向与位置”一节中有这样一个开放性的题目:以学校为中心，小组合作，分东、西、南、北4个方位，在方位图上记载学校的周围都有哪些建筑物。这是一道需要学生合作完成的题目，首先小组成员要确定自己小组的目标和任务，确立数学模型，然后再求解模型中明确自己的记录的建筑物在方位图上的具体位置，不同的建筑物使用什么标志标识，同时成员之间要做好分工，讨论行走路线，表达各自对任务的见解，真正高效率地完成任务，完成小组任务后，几个小组再合作完成方位图，在分享中体验成功的喜悦。 解读:教师要创设科学、合理、有效的学习活动情境，让学生在迫切寻求解决问题的心理状态下主动开张建模活动，是学生为基础，让学生在观察、估计、猜测、验证、探究中建立数学模型。只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到不断发展，也只有这样才能真正提高学生的学习兴趣，使学生学到有用的数学。 “交换律”建模设计 济南市姚家小学 王希 一、学习加法交换律 1.初步感知加法交换律 师:同学们，你们想知道自古以来数学家们是怎样研究出那么多奇妙的数学问题的嘛, 生:想～ 师:今天，王老师就带领大家完成一次数学家的探秘之旅～让我们开始吧～ 课件逐个出示一下题目，要求学生每个题目列出两个算式解答。 师“同学们，请大家仔细观察这些算式(课件中隐去题目，只留下算式)。 4+3=7 3+4=7 2+6=8 6+2=8 12+7=19 7+12=19 9+8=17 8+9=17 比如:4+3=7和3+4=7，这两个算式，他们有什么特点呢, 生:他们都等于7。 师:那么4+3和3+4这两个算式能用什么符号连接起来呢, 4+3 4+3 生:用“=”。 课件出示:4+3=3+4 师:为什么用“=”呢, 生:因为他们都等于7。 师:那么第二组算式呢,谁能来分析一下, 请学生逐个分析下面的几组算式，并在课件中随着学生的回答出示: 4+3=3+4 2+6=6+2 12+7=7+12 9+8=8+9 师:观察这些算式，你发现他们有什么共同点,(手势示意横着观察) 生1:等号前面算式的第一个加数是最后一个的第二个加数，等号前面算式的第二个加数是后一个的第一个加数。 生2:前一个算式的两个加数到后面交换位置了。 及时鼓励学生多种说法。并引导学生观察: 交换了位置以后，怎么样呀,(手势指引学生注意到“=”) 生1:还是相等的。 生2:和不变。 初步发现规律:两个加数交换一下位置，和不变。 师:你还能举这样的例子吗, 随着学生的举例，教师在黑板上写出学生举出的算式。 2.进一步的探究加法交换律 师:请同学们仔细观察你举得例子和老师在屏幕上出示的这些算式，他们有什么共同特征呀, 生:他们也是加数的位置便了，但是和不变。 (课件闪动相同的加数) 师:观察刚才所有的算式，你能用最简单的话概括出他们的特征码, 学生小组内讨论，逐步概括出最简练的语言:“两书相加，交换加数的位置，和不变”。形成规律。 师:同学们真厉害，咱们的数学家就是这么总结的，这叫做“加法交换律”。 加法交换律在很久很久以前，埃及的数学家酒已经开始应用了，它最早是1814年出现在这本法语著作中。 3.用字母表示加法交换律 师:研究到这儿呀，数学家们并没有停下他们的脚步，咱们随着数学家的脚步继续前进。瞧，如果老师用气球代替2，用花代替6，那么2+6该怎么表示你知道吗, 生:气球+花 师:那么它等于什么呢, 生:气球+花生=花+气球 随着学生的回答逐步出示: 2+6=6+2 师:同学们这学期都开始学英文了，那老师考考大家，如果我用a表示第一个加数，用b表示第二个加数，2+6可以怎么表示, 生:a+b 师:那它等于什么呢, 生:a+b=b+a 随着学生的回答逐步出示: 2+6=6+2 a + b = b +a 4、练习延伸 逐个出示以上各题，并找出两三个让学生具体说说是怎么想的。重点为最后一题。 二、学习乘法交换律 由上一题的练习延伸到乘法的交换律。 师:同学们看这个题，它和前面的那些题有什么不同呢, 生:前面的题都是加法，这个题诗乘法。 师:这个题到底可不可以用等号连接呢,咱们一起来验证一下。 9449，， ,3636 随着学生的回答出示课件。 师:这组算式有什么特点啊, 生1:他们等号前面的第一个因数是等号后面的第二个因数，等号前面的第二个因数是等号后面的第一个因数。 生2:他们的得数相等。 师:是不是所有符合这样特点的算式都可以用等号连接呢,你能在小组内多举几个这样的例子，像老师一样验证一下吗, 小组内讨论验证，教师巡视指导。小组内验证结束后，全班展示小组验证的结果。展示几个小组的成果之后再课件中出示几个例子。 师:同学们，你们能尝试着用自己的语言，描述一下这些算式的特征码, 生:两数相乘，交换因数的位置，积不变。 师:你真棒，跟咱们的大数学家欧几里德总结的一样。 师:谁能给它起个名字, 生:乘法交换律 师:谁能仿照加法的交换律，也用字母表示表示乘法的交换律, 生:a*b=b*a 课件逐步出示: 师:这就是咱们今天要学习的内容，交换律 板书课题:交换律 三、综合练习 1. 2.羊村大救援。找到得数相等的算式，将喜洋洋等从灰太狼口中救出。 3.看图列式 (1)请你根据乘法的意义，看图列出两个算式解答。(随着学习的回答出示算式，并将两个算式用等号连接起来。 (2)请你根据图意列两个加法算式解答 (3)根据图意列式解答。 师:咱们列出了这么多算式，这些算式是不是也符合一定的运算定律呢,请各位 小数学家课下自己研究一下吧～ 立方图形的体积研究 济南市燕柳小学 邵灜婧 一、复习 1.点动成线与长度单位 师(课件出示一个点):这是什么,仔细看(继续演示)，我在他的后面继续点很多的点，你看到了什么, 生:这条线是由无数个点组成的。 师:这条线是这个点(课件重新显示后点)由一个位置移动到另一个位置经过的路线。我们认识的直线实际上就是这样的图形。 (直线上出现两个点)这一段时,(继续出现一个点)你能比较出这两条线段的长短吗,需要确定什么,计量长度通常用哪些长度单位，谁能按顺序说一说。 生:测量长度常用毫米、厘米、分米、米。(课件出示长度单位) 2.线动成面与面积单位 课件演示钟面表针旋转成面(课件演示)和线段叠加形成长方形面(出示织布机画面、课件演示线段的叠加形成)、正方形的面。 师:这些分别是什么图形,它是怎么形成的, 生1:这些图形是由很多线形成的。 生2:它们是由一条线从一个位置移到另一个位置形成的。 师:线(课件重新显示钟面的表针和线段)由这个位置移动到另一个位置所经过的路线就形成了钟面，长方形、正方形的面。看来面就是线段从一个位置移动到另一个位置的运动轨迹。(指图线段移动，形成长方形、正方形的面。 师:测量这些图形的面积要用什么单位,谁来说说有哪些常用的面积单位, 生:常用的面积单位有平方厘米、平方分米和平方米。(课件出示面积单位) 课件演示一点一点积成线。 师:一厘米、(再一点一点延长)一分米、(再一点点延长)一米。 课件演示演示一线一线积成面。 师:一平方厘米、(分米叠加)一平方分米、(1米叠加)一平米。 3.回顾长方形和正方形面积计算 师:还记得长方形和正方形的面积怎样计算吗,(演示叠加) 生1:长方形的面积是长乘宽。 生2:正方形的面积用边长乘边长。 师:通过课件演示，我们看到了点移动成线，线移动成面的过程。直线、射线、线段、长方形、正方形都是咱们早就学过的知识了。看到刚才的演示，也许大家要问，出现这些课件 有什么用,点能够移动成线，线能移动成面，面移动(叠加或旋转)会形成什么呢, 生:面叠加或旋转(课件演示)会形成体。 二、学习新课 1.导入 师:继续看大屏幕(课件出现长方形和正方形的叠加) 这是什么,你看了课件后有什么发现, 生:这是长方体和正方体。我发现很多面组成了长方体和正方体。 师:看来体式面的叠加或旋转，下面我们只研究面的叠加。 2.认识长方体、正方体特征 (1)课件演示，认识面、棱、定点 ?长方形演示:长和宽 师:长方形有什么要素, 生:长和宽 课件演示长方形叠加为长方体。 师:长方体呢,想想看，它多了什么, 生:多了高。 师:那么长方体有什么要素, 生:长、宽、高。 师:仔细看，高的这一边也形成了什么, 生:面。 师:好。数数看，长方体有几个面, 生数 师:三条棱相交于一点。叫什么, 师:好，叫定点。数数看，长方体有几个定点, 生数 师:现在讨论、总结一下长方体有多少面、棱和定点, 生在组内活动，师巡视指导。指名汇报。 生1:长方体有6个面。 师:怎样数才能做到不遗漏、不重复, 生2:前后两个面，左右两个面，上下两个面，一共有6个面。 生3:长方体有8条棱。 生4:我认为长方体有12条棱。 师:你能像刚才数面那样按一定的顺序数码, 生5:水平方向的棱有4条，竖着的有4条，这个方向的棱有4条。 师:你真会学习～ 生6:长方体有8个顶点。上面4个，下面4个。 ?:师出示正方体模型 师:请你再数数正方体的面、棱和定点的数量，在小组里交流一下。生操作，组内交流。 生:正方体跟长方体一样有6个面、12条棱和8个定点。 3.建立体积概念，认识体积单位 师:大家都去过肯德基和麦当劳吧,老师每次去点饮料的时候，从来不加冰块，你知道为 什么吗, 生1:因为冰块太凉。 生2:家冰块的话，饮料喝的少了。 师:为什么加冰块饮料就少了, 生3:因为冰块占了杯子里的空间。 师:对，冰块占了杯子里德空间。冰块所占空间大小叫冰块的体积。什么是长方体的体积,正方形的体积呢, 举个生活中的例子，小组里说一说它的体积指的是什么, 生在组内互相说一说。指名汇报。 生1:铅笔盒所占空间的大小叫做铅笔盒的体积。 生2:课本所占空间的大小叫做课本的体积。 生3:电脑所占空间的大小叫做电脑的体积。 师:你的体积呢,地球的体积呢,谁能总结一下什么叫体积,(物体所占空间的大小叫做物体的体积) 刚才我们复习了求长度需要长度单位，求面积要知道面积单位(课件重现)，求一个物体的体积呢,常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米(课件出示) 师:(演示1厘米、1分米、1米叠加)1厘米的线段叠加到1米宽叫1平方厘米，1平方厘米的正方体叠加到1厘米高你，我们叫它什么呢,它是用什么公式写,1平方分米叠加到1平方分米高呢,1平方f米叠加到1平方米呢, (出示1cm?的学具)这是1 cm?，它的大小跟你们的食指指尖差不多。(出示1dm ?的学具)这是1dm ?，它的大小和两个粉笔盒差不多。1m ?有多大呢,(课件显示1 m ?的空间容纳学生的照片) 4.研究体积的公式 师:长方体的体积怎样计算呢,(课件再现面动成体的过程)猜一猜，长方体的体积公式是什么, 生1:我认为长方体的体积等于底面积×高。 师:底面积是什么形状的,长方体的面积怎样求,长方体的体积还可以怎样表示, 生2:长方体的体积等于长×宽×高。 师:接下来，请你在小组内用学具验证自己的猜想是否正确。请你用体积是1立方厘米的小正方体任意摆一个长方体，数一数一共用了多少的小正方体，它的体积是多少,摆出的长方体的长、宽、高各是多少,想一想，你发现什么, 生在组内操作、交流、讨论。指名汇报(师板书) 生1:我摆的长方体一共用了16个小正方体，体积是16立方厘米。长是4厘米，宽是2厘米，高是2厘米。 生2:我摆的长方体一共用了12个小正方体，体积是12立方厘米。长是6厘米，宽是2厘米，高是1厘米。 生3:我一共用了12个小正方体，体积是12立方厘米。长是3厘米，宽是2厘米，高是2厘米。 生4:我们用了9个小正方体，体积是9立方厘米。长是9厘米，宽是1厘米，高是1厘米。 生5:我发现长方体的体积可以用长×宽×高来计算。 师板书:长方体的体积=长×宽×高 师:你们可真棒，看来大家的猜想是正确的。长方体的体积等于长乘宽乘高，仔细观察，长乘宽表示什么,长乘宽求出底面的面积就是底面积。长方体的体积公式可以写成底面积乘高。 师:正方体的体积怎样计算呢,请你快速的摆出一个正方体，像刚才那样想一想正方体的体积怎样计算, 生:我用了8个小正方体摆了一个大正方体，它的体积是8立方厘米。棱长是2厘米。正方体的体积是用棱长×棱长×棱长。 师板书:正方体体积=棱长×棱长×棱长 师:因为正方体是特殊的长方体，它的体积计算公式是棱长乘棱长再乘棱长，可以与长方体统一成一个体积计算公式——底面积乘高。 师:通常我们用v表示体积，s表示底面积，h表示高。长方体和正方体的体积公式可以写成v=s×h。 师:要求体积我们需要知道哪些条件,(长、宽、高或底面积和高)如果知道体积和高怎样求底面积,如果知道体积和底面积怎样求高,(生答) 师再次演示叠加，巩固v=s×h。演示三角形叠加、平行四边形叠加、五边形叠加、六边形叠加，总结出v=s×h。 师:想一想，柱体的体积怎样计算, (下略) 在小学数学教学叫如何构建数学模型 济南市民生大街小学 贾海娟 数学模型从广义的解释，凡是一切数学概念，各种数学公式，各种方程以及由公式系列构成的算法系统都应称之为模型。它是在对生活生产实际问题的理解的基础上，运用数学的思想方法，将其转化为可以运用数学符号、语言表达出来的，用来解决实际问题的方法。义务教育课程标准提出:数学教学要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程。从这个角度来讲，数学模型是数学学习中不可或缺的元素。学生的数学学习过程，其实就是一个不断地建模和用模的过程。小学生由于知识基础、生活经验有限，所以在构建数学模型的活动中，应降低对其要求，要结合数学教材创设情景，合理设计问题，引导学生逐渐体会构建数学模型的优势、构建简单的数学模型，体会成功的喜悦，从而为以后的进一步构建奠定基础。 一、在使用中体会数学模型的重要 在数学教学中，首先要引导学生认识、理解一些较为简单的数学模型。例如，低年级在学习20以内的进位加法时用的凑十法，在学习减法时用的做减法想加法，以及乘法口诀表，各种图形的周长、面积和体积计算公式的推导与应用，四则运算的笔算法则等。在日常的数学教学中，教师应结合教材内容与资源，将教材中提供的数学模型转化为生活原型带到课堂上，引导学生利用已有的知识和经验，对所需解决的实际问题进行分析、理解，对所获得的信息进行提炼和加工，并进行必要的猜测、验证、概括，最终构建新的概念、方法、公式。而在数学学习的过程中应引导学生学会运用数学模型，解决在数学学习以及显示生活中遇到的简单的与数学有关的问题。在运用的过程中体会数学模型的作用，以激发学生对数学模型的兴趣，为以后的构建数学模型奠定基础。 二、在感悟中体会数学模型的特点 数学模型是利用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图标、图像、框图、数理逻辑等来描述的数学概念。学生在应用数学模型时，必须先理解模型的实际意义，即解释模型。所以在数学教学中，教师要注意创设情景，为学生提供一个体验的环境，使学生从内心长生构建数学模型的需求。 例如，在教学四年级上册“角的度量”一章节后，有这样的拓展练习:数出下面图形中各有几条线段。 图1 图2 图三 开始时，学生还能够比较准确地数出有几条线段，但随着分点越来越多，学生也感觉到越来越吃力。这时，教师快速报出线段的条数，学生很是羡慕和佩服。在调起学生的欲望之后，我就把数线段的方法板书在黑板上，有的学生看着点点头，有的学生皱紧了眉头，还有的学生一脸的茫然。这时我问:是不是不相信可以这样数,没关系，我们一起来验证一下好吗, 学生经过分析发现，可以按端点来数。如图1，第一个端点是A的有线段AB、AC;第一个端点是B的有线段BC，所以一共有2+1=3条线段;图2第一个端点是A的有线段AB、 AC、AD，第一个端点是B的有线段BC、BD，第一个端点是C的有线段CD,所以一共有3+2+1=6条线段;图3第一个端点是A的有线段AB、AC、AD、AE，第一个端点是B的有线段BC、BD、BE,第一个端点是C的有线段CD、CE，第一个端点是D的有DE。所以一共4+3+2+1=10条线段。然后引导学生观察算式与每幅图的关系，学生惊喜地发现，有几天单独的线段，就从几一直加到1，就有线段的总条数。 有了这样的发现，学生数线段的劲头十足，速度也越来越快，就在学生在兴头上的时候，我又出示了这样的一组角的图形，让学生数数各有几个角。 图4 图5 图6 学生们立刻安静下来，一个一个仔细数，忽然有学生兴奋地喊起来，可以用数线段的方法数角的个数。其他学生愣了，一会儿，就有越来越多的学生符和起来，学生们很快发现，有几个单独的角，就从几加到1，就是图形中角的总个数。此时，我又提出问题:用这样的方法，还可以数哪种图形的个数呢,课后可以交流讨论。 学生获得了一类简单的数学模型，并且对数学模型的意义有了深刻的理解，在实际应用时才能够灵活。 三、在构建中提升学生的数学能力 构建数学模型不仅需要学生扎实的数学基础知识、基本技能以及基本方法，还需要学生不断积累生活经验以及解决问题的经验。所以，小学生的建模过程需要教师的帮助与引导。这就需要教师在日常的数学教学中，结合教材，创设相关情景与学生共同经历建模的过程，获得数学活动经验和解决问题的策略。 例如，在教学找次品一课时，在出示例题:“工人张师傅做了60个零件，其中混进了一个次品(次品轻一些)，请你设法把它找出来”。后学生感觉数字太大，难度太大。 基于此，我将探究的过程分为四个层次。第一层次:研究3个零件如何找出次品，用天平称(一次就可以)。第二层次:研究5个零件如何找出次品，学生在思考交流后，发现两种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，每份一个即5(1,1,1,1,1)，至少需要称2此就一定能找出次品来。或者每份两个，即5(2,2,1)至少需要称2次就一定能找出次品来。学生发现在5个零件中，把其中的一个次品找出来，可以分成不同的份数来称，都可以得出至少需要称2次就一定能找出次品来，方法不唯一。第三层次:从各种方法中，寻找“找次品”的最佳方案提出问题:9个零件用天平称，至少称几次就一定能找出次品来,通过实践操作与记录观察分析，学生发现平均分成三份时，称得次数最少。因为称一次就能确定次品在哪一份里面，就可以去掉总数的近三分之二的零件。不能平均分成3份时要接近平均分。于是找到了找次品问题的最优策略:一是把待测物品分成三份;二是要分得尽量平均。第四层次:找到方法了，在解决问题的过程中，教师注意出示这样的数据:3个、4个、9个、10个、27个、81个、82个„„学生在解决问题的过程中，进一步发现规律:至少称几次可以找到次品，与物品的个数是3的几次方有关系。(如下表)学生再次解决问题时，就可以利用表中的数据解决问题。 要辨别的物品数目 能保证找出次品所需要的次数 1 12~3(3=) 3 2 24~9(9=) 3 3 310~27(27=) 3 4 428~81(81=) 3 5 582~243(243=) 3 „„ „„ 构建数学模型中蕴含着方法的最优化思想。在学生猜测、验证之后，要让学生尝试着用准确、简洁的数学符号、语言表达模型。更高的要求是让学生尝试着将建构的数学模型解释出来。在这个过程中，学生的多种能力得到锻炼。还要注意的是，构建有效的数学模型不是唯一的目的，更重要的是在构建数学模型的过程中，学生经历了观察、发现、分析、猜测、联想、验证、总结、概括一系列数学活动，经历了知识的形成法展的过程。在这个过程中，学生将自己已有的数学知识、方法以及生活经验融为一体;在这个过程中，学生对新的知识、方法与技能有了更深刻的认识与理解，同时获得丰富的数学活动经验。学生数学思维的灵活性、深刻性、与广阔性、均会得到锻炼与提高，解决问题的方法、途径、手段更为丰富。 小学数学建模教学模式及其应用 济阳县第二实验小学 牛玉兴 一般来说，小学数学建模教学 的模式可以通过下面的框图表示: 【现实情境】在课堂教学中， 通过信息技术或情景展示等手段，向 学生提供现实问题情境，也可以是学 生从现实生活中自己收集的。这与新 课标提出的从生活情境引出数学知 识的学习是一脉相承的。 【引出问题】让学生从现在生 活情境中产生数学问题，这是数学建 模活动的前提。这样能有效地提高学 生学习数学的主动性、积极性。 【提出假设】根据情境、问题 的特征和解决问题的需要，对问题进 行必要的简化，并用比较精确的数学 语言提出恰当的假设、 【建立模型】在假设的基础上 利用适当的数学工具、数学知识，来 刻划事物之间的数量关系，建立相应 的数学结构。 【模型校正】运用数学工具对建立的数学模型与实际情况进行比较，以此来验证模型 的准确性。 【应用拓展】将建立的数学模型运用到实际生活中，从数学的角度简单解决较为复杂 的生活问题。在这个过程中，学生或许还会发现新的数学问题，这个问题是本次建立“数学 模型”无法解决的，从而使学生又进入新一轮的数学建模过程。 在进行上述教学中应注意一下几个问题: 一、在面向全体 因材施教 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，使数学教育面向全体学生，让学生成为学习的主体。同时，也要注意因材施教，让全体学生在学习活动中获得不同程度的提高。例如，在学习“按比例分配应用题”和“统计图表”后，让学生利用假日去调查生产、生活中一些事物的分布情况，作为假日小队的小课题研究内容。同学们分组深入医院、宾馆、街头、工地、厂房、车间„„，通过调查、访问、咨询、实验，手机数据，统计分析，形成一份份有价值的调查报告，例如，“剧场路交通整治的策略”“小洋河污水形成的原因”“光明药店劣质药品剖析”“城市110的作用”等，这不仅为课堂教学中学生的数学建模活动做好了铺垫，也让学生全员参与，提高了学生数学建模的积极性。 在利用数学建模进行教学的过程中，我们还要引导学生通过数学活动了解数学与生活的广泛联系，引导学生从不同的角度发现实际问题中所包含的丰富的数学信息，探索多种解决问题的方法，并学会综合运用所学知识和方法解决简单的实际问题，获得运用数学解决问题的思考方法，并能与他人进行合作交流，同时兼顾让不同的学生获得不同的体验和发展，鼓励解决问题策略的多样性，满足多样化的学习需要。 二、发挥学生的想象对实际问题进行简化 儿童有无限的创造力，虽然他们所掌握的数学知识是有限的，但他们的想象力是无限的，他们敢想敢做善于异想天开，这对简化实际问题，构建数学模型是十分不利的。因此，在数学建模过程中教师要善于调动学生主动建模的积极性，千万不能对学生的不合理的归纳和不恰当的抽象，以及不合常情的假设加以批评和指责，恰恰相反要抓住他们闪光的地方加以表扬、鼓励，并通过适度的引导和点拨，使学生对实际问题的简化更加恰当。但又要防止教师以自己对问题的理解代替学生的想法，虽然教师的数学知识比学生丰富，但在想象能力方面可以说教师不如学生，所以在对实际问题进行简化时学生有学生的优势，我曾例举过两个数学教师和一个六年级学生同坐一道数学应用题的例子，这道应用题是这样描述的:“某市举行篮球选拔赛，报名参赛的球队有20个，比赛采用淘汰制(没有平局)，最终决出一名冠军参加省级篮球比赛，问一共要比赛机场,” 教师在简化这个实际问题时先给每个参赛队分别编上号，再根据比赛的顺序把实际问题简化为如下形式:而学生在简化这个实际问题时，抓住“淘汰”这个词进行简化。学生是这样想的:因为是淘汰赛，所以无论是谁和谁比，每赛一场必定淘汰一个队。因此学生把这个实际问题简化为减法。 我们先不说他们最终构建模型如何，从简化的角度讲，显然学生比教师的想法更简便、更明了。为什么学生在这个实际问题的简化中优势比教师明显,除了以上所讲的学生有丰富的想象力外，还有一个不可忽视的因素那就是简化还受到生活经验的干扰，一般说来生活经验越丰富越有利于对现实问题的简化，但反过来生活经验中的定势思维有可能会干扰对实际问题的简化。上例中由于教师受日常比赛模式的影响，对这个实际问题有了定势思维，所以他们在简化这个实际问题时，免不了受比赛顺序的影响，而学生对如何安排比赛顺序没有经验，所以不会受比赛顺序的干扰，他们就能抓住问题的本质“淘汰”进行想象和简化。 三、展示和评价数学模型 当学生数学建模完成后，要让学生展示自己的建模思维过程，充分暴露学生的思维过程。同时也要鼓励学生对别人的数学模型进行评价，在展示、评价中比较每个数学模型的优点和缺点。使学生之间相互学习，取长补短。 利用数学建模进行多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践， 有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。 浅谈长方形正方形周长计算公式的建模 济南市槐荫区张庄小学 刘淑芹 小学数学建模教学一般是把教学的重点放在这个教学过程的前半部分，即“现实情境——建模活动——建立模型”，从而加强了学生对数学模型的意义构建，并在此基础上把数学模型应用拓展到现实生活中。但在教学长方形的周长时，我并没有采用传统的“现实情境——建模活动——建立模型”的教学结构模式，而是采用“问题情景——猜想——建立模型——验证与解释——应用与拓展——再建模型”的新型教学模式进行的、 一、探究求“周长”的方法 师:刚才，我们通过举例、指一指、描一描等方法，知道了周长的意义。周长时有长 短的。你能判断下面的长方形和正方形的周长，哪一个长一些, 生1:长方形的周长长一些。 生2:正方形的周长长一些。 生3:两个图形的周长一样长。 师:现在又三种不同的意见，谁能想出一个比较好的办法，证明你的判断是正确的，让大家心服口服。同学们可以试着验证一下。(小组讨论验证) 生4:我想把这两个图形都围绕一个池子滚动一周，也能比较出他们的长度。但是，如果我们要大家比较的不是两个图形，二是两个不同的花池的周长，那么用哪一种方法比较方便又比较准确呢, 生:用“滚”的方法是不行的，“围”的方法太麻烦了，用“先量再算”的方法比较方便准确。 师:我们先来量一量、算一算长方形的周长。刚才这位同学想到先量后算的方法。那么该怎样量,又怎样算呢, 生1:我认为只要量出长方形的长和宽就能算出长方形的周长了。 师:对，现在，一个长方形花池的长和宽已经量好了，请同学们看题:学校的荷花池是一个长方形，长12米，宽10米，小华绕荷花池四周走一圈，走了多少米,求小华走了一周，就是求什么, 生:长方形的周长。 师:荷花池的周长怎样算呢,请大家独立思考完成。 (同学们肚子进行计算后，再进行交流，教师根据反馈情况，用多媒体动态、随机演示把长方形拆成四条边又合并起来的过程，展示学生的三种不同算法。) (1)12+10+12+10=44(米) 周长=长+宽+长+宽 (2)12×2=24(米) 10×2=20(米) 24+20=44(米) 周长=长×2+宽×2 (3)12+10=22(米)22×2=44(米) 周长=(长+宽)×2 师:大家已经总结了长方形周长的三种计算方法。请同学们说说，你喜欢用哪一种方法,并说说这种方法的思想。 生1:我喜欢第一种，它是把四条边都加起来，就是荷花池的周长了。 师:我觉得这位同学说的“把四条边加起来算周长的方法“确实不算～大家说，对不对? 生2:我喜欢第二种，它是先把两条长和两条宽分别算出来，再相加就行了。 生3:他说得是对的～原来我也是这么算的。后来又想:先算一条长和一条宽的和，正好是长方形周长的一半，再乘2不就是长方形的周长吗,所以我喜欢第三种方法。 师:其实，大家刚才都在动脑筋、想办法，都不错～ 师:今后，我们每个人都可以用自己喜欢的方法去求长方形的周长。但无论用哪一种方法，都必须知道什么条件, 生:求长方形的周长，一定要知道长方形的长和宽。 师:那么，我们又怎样来求正方形的周长呢,请同学们继续看书，并填出求正方形周长的公式。(同学们阅读并填写) 师:现在谁来说说正方形的周长怎样求, 生1:就是把四条边加起来。 生2:先求长和宽的和再乘2; 生3:就是两个长和两个宽相加。 师:怎样求正方形的周长, 生:正方形的周长只要用边长乘4就行了，因为正方形的边长都一样长。 师:现在有一个牡丹园，它是正方形，已知它的边长是12米，它的周长和刚才长方形的周长比，哪个长一些呢,请同学们算一算，比一比。 生:还是正方形长一些。因为正方形的周长时12×4=48(米)，而长方形是44(米)。 师:通过刚才的探究，我们已经知道长方形只要知道长和宽就能求出周长，正方形只要知道边长就能求出周长。 二、模型的应用 1.周长的基本应用(略)。 2.求下列图形的周长(出示三幅图) 师:他们的周长相等吗, 师:现在请同学们算出这三个图形的周长，你发现了什么, 生:第一幅图的周长:(6+4)×2=20(米) 生:我是这样算第二幅图的:图形的周长是:6×2+2+2+2+2=20(米)，生:第三幅图的周长是:6+2+3+2+3+4=20(米)， 这三幅图的周长时一样长的。 教师用多媒体配合演示。(下略) 我因势利导，提问:你们觉得这样的情形是偶然的嘛,引导学生开展讨论，经过讨论发现。 生:如果将图形凹进去的地方还原，他们还是和第一个图形一模一样的长方形。 师:回答的真深刻～其实，这位同学说出了一个重要的解决问题的数学思想——数学建模解决问题。前面在探讨周长的时候，我们已经建立了长方形、正方形周长的模型，也就是计算公式。我们在做题的时候，将遇到的新问题与已学过的数学模型建立联系，然后用模型求解，这是一种很好的解决问题的策略。 教学反思:计算长方形、正方形的周长中的一种特例。它是经过人们的不断总结而获得的。它的特点是计算简便、迅速。但对初次接触的小学生来说，我没有把重点放在周长公式的结果上，而是注重引导学生在测量具体图形中探索周长的过程，让学生深刻地建立计算长方形周长的三种计算模型。 在扩展题的解决中，我强化了学生认知能力和图形周长推理能力的发展，体现了“跳出数学教数学”的教学思想，充分地让学生经历了“数学化”——初建模型和“再创造”——扩张、应用模型的学习探究过程，为学生个性的发展提供了充分的时间和空间。在教学过程中，我没有采用创统的“公式——例题——习题”的教学结构模式，而是采用“问题情境——猜想——建立模型——验证与解释——应用与拓展——再建模型”新型教学模式。在数学中穿插建模教育，不仅可以将课本知识得以扩展，更能够激发学生学习数学的兴趣。 在小学数学教学中渗透数学建模思想 济南市机场小学 刘永文 《数学课程标准》指出:“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。”数学建模就是建立数学模型，是一种数学的思考方法，是利用数学语言、符号、式子或图像模拟现实的模型。数学模型不仅为数学表达和交流 提供了有效途径，为了解决现实问题提供了重要工具。他可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。在小学数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。现结合自己的教学实践谈谈对小学生形成数学建模思想的思考。 一、创设情景，感知数学建模思想 数学来源于生活，有服务于生活。因此，要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景。情景的创设要与社会生活实际、时代热点问题、自然、社会文化等与数学问题有关的各种因素相结合，让学生感到真实、新奇、有趣、可操作，以满足学生好奇、好动的心理要求。这样很容易激发学生的学习兴趣，并在学生的头脑中激发已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。 如教学《平均数》一课，新课伊始出示两个小组一分钟做题道数统计表: 第一组 9 8 9 6 第二组 7 10 9 8 教师提问:哪组获胜，为什么,这时出示，第一组请假的一位同学后来加入比赛。 第一组 9 8 9 6 8 第二组 7 10 9 8 师:根据比赛成绩我们判断一组获胜。 此时有学生提出异议:虽然第一组做对的总道数比第二组多，但是两个对的人数不同，这样比较不公平。 师:那怎么办呢, 生:可以用平均数进行比较。 师:什么是平均数, 学生根据自己的生活经验进行总结。 本节课《平均数》这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中，学生在两次评判中解读、整理数据，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽象出“平均数”这一数学问题的过程就是建模的过程。 二、参与探究，主动建构数学模型 数学家华罗庚通过多年的学习、研究经历总结出:对书本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。只要经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝集，从而使知识具有更大的智慧价值。学生的数学学习活动应当是一个主动、生动活泼的和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。 如教学圆锥的体积一课: 1.回顾、猜想 师:请同学们回忆我们在学习圆柱的体积推导过程中，应用了哪些数学思想方法, 生:运用了转化方法。 师:猜一猜圆锥的体积能否转化成已经学过的图形的体积,它会与学过的哪种立体图形有关, 学生大胆进行猜想，有的猜能转化成圆柱，有的猜能转化成长、正方体。 2.动手验证 师:请同学们利用手中的学具进行操作，研究圆锥体积的计算方法。 教师给学生提供多个圆柱、长方体、正方体和圆锥空盒(其中圆柱和圆锥有等底等高关系的、有不等底不等高关系的，圆锥与其他形体没有等底或等高关系)、沙子等学具，学生分小组动手实验。 3.反馈交流 生1:我们选取了一个圆锥和一个正方体进行实验，将正方体中倒满沙子，然后倒入圆锥容器中，到了四次，还剩下一些，发现圆锥体与这个正方体之间没有关系。 生2:我们组选取的是圆锥和圆柱，这个圆锥与这个圆柱之间也没存在关系，然后我们换了一个圆柱，这个圆柱的体积是这个圆锥体积的三倍。 4.归纳总结 师:那么存在3倍关系的圆柱和圆锥的底面有什么关系,它们的高又有什么关系, 生3:底面积相等，高野相等。 师:圆柱的体积和同它等底等高圆锥的体积的有什么关系, 生:圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 生:圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体的1/3。 师:是不是所有的等底等高的圆柱、圆锥的存在这样的关系,请每个组都选出这样的学具进行操作验证。 生汇报后师板书: 圆锥的体积等于同它等底等高的圆柱体积的1/3。 师:如果没有圆柱这一辅助工具，我们怎样计算圆锥的体积, 生:圆锥的体积等于底面积乘高乘1/3。 在上述教学过程中，教师提供丰富的实验材料，学生需要从中挑选出解决问题必须的材料进行研究。学生的问题不是一步到位的，通过不断地猜测、验证、修订实验方案，再猜测、再验证这样的过程，逐步过渡到复杂的、更一般的情景，学生在主动探索尝试过程中，进行了再创造学习，以抽象概括方式自主总结出圆锥体积计算公式。这一环节的设计，不仅发展了学生的策略性知识，同时让学生经历猜测与验证、分析与归纳、抽象与概括的数学思维过程。学习过程中学生有时独立思考，有时小组合作学习，有时是独立探索和合作学习相结合，学生在新知探索中充分体验了数学模型的形成过程。 三、解决问题，拓展应用数学模型 用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题，让学生能体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学的意识和综合应用数学知识解决问题的能力，让学生体验实际应用带来的快乐。解决问题具体表现在两个方面:一是布置数学题作业，如基本题、变式题、拓展题等;二是生活题作业，让学生在实际生活中应用数学。通过应用真正让数学走入生活，让数学走近学生。用数学知识去解决实际问题的同时拓展数学问题，培养学生的数学意识，提高学生的数学认知水平，又可以促进学生的探索意识、发现问题意识、创新意识和实践意识的形成，使学生在实际应用过程中认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。 如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，先进行单项练习，然后出示这样的变式题: 1、汽车4小时行驶了240千米，12小时可行驶多少千米, 2、火车的速度是每小时130千米，火车早上8:00出发，14:00到站，两站之间的距离是多少千米, 学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习，学生基本能正确解答，说明学生对基本数学模型已经掌握，并能够从4小时行驶了240千米中找到需要的速度，从8:00至14:00中找到所需时间。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答。掌握了数学模型，学生解答起数学问题来得心应手。 又如学习了圆的周长后设计这样的题目:怎样利用你的自行车测量学校到家里的实际距离。 这一问题的设计既考虑与学生生活的真实情景相结合，又能引起学生的猜测、估计、操作、观察、思考等具体的学习活动，并能使学生在具体的学习活动中学会搜集资料、分析问题。在解决实际问题中，学生需要搜集大量的信息，并从信息中剔除无用信息，留下有用信息，构建起数学模型，并运用数学模型进行计算、解决问题。在这一过程中，学生易于形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯，激发学生的创新精神。因此，我们在教学过程中，应注重学生建模思想的形成与运用。 综上所述，小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。通过建模教学，可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次。同时，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。因此在数学课堂教学中，教师应逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成学生良好的思维习惯和用数学的能力。 对数学建模的几点认识 济南市营东小学 郭淑英 “建模”这个词相信数学老师都不陌生，在各级各类教研活动中经常听到，应该说耳熟能详了，但到底什么是建模，建模的意义是什么,怎样建模等等一系列问题我始终稀里糊 涂。有幸参加了全国数学建模工作委员会在济南举办的数学建模学习班，收获非常丰厚。 一、学习收获 第一:了解了数学建模的流程 数学建模的流程也就是它必须经历的过程:寻找?提炼?猜想?验证?调整?定型?用模。我们经常对学生说要善于发现问题，今天我们做在教室里德第一件事就是寻找数学问题。果不然，大家找到了许多问题。然后把这些问题加以整合，对问题进行分类。这里涉及到了分类标准，分类的标准不一样，分类的结果就不同。比如我们把今天问题按有无生命的标准分成了人和物两大类，当然还可以再细分。接下来就是针对要解决的问题进行猜想，有了猜想就要验证，经过一次又一次的调整，最后确定数学模型。有了模型我们才能去应用。 第二:对“数学模型”有了初步的了解 通过学习，我对“数学建模”有了自己的理解。就用两个例子来说明吧。 (1)计算线段的条数:当横着有111个点，竖着有217个点时我们怎样计算线段的条数呢,这个数据太大，学生不容易理解，就需要老师建立一个数学建模。那么，我们应该从小数据开始把复杂的问题简单化，从简单的现象里理解此类数学问题，从中找出规律，然后用数学语言再描述这个规律。经历的这个过程就是建模的过程，找到的规律就是数学建模。那么我们就从2个点开始。 线段图 点数 线段数 算式 2 1 1 3 3 2+1 4 6 3+2+1 5 10 4+3+2+1 6 15 5+4+3+2+1 上表出来后就可以概括公式了，(n-1+1)×(n-1)?2。有了上面的过程学生们理解了怎样解决“横着有111个点，竖着有217个点时我们怎样计算线段的条数呢,”这个问题了。上表的过程就是建模的过程，最后用数学符号表示出求有n条线段的公式就是数学模型。 例子(2):体积模型的建立。无数个点按照一定的顺序聚集集成线段，我们规定了一定长度的线段是1厘米。当无数条1厘米的线段密铺长度到1厘米时就形成了面积是1平方厘米的正方形，这就有了面积单位。当把许许多多这样的1平方厘米的正方形摞在一起高度达到1厘米时就有了体积单位。学生在理解体积单位的同时也经理了体积形成的过程，所以理解了体积单位同时也理解了体积公式的来历，即V=sh. 图 图 上面的过程就是体积单位的建模过程，最后用文字语言和数学符号总结出了表示求直的椎体的体积的通用公式:体积等于底面积乘高。V=sh。这就是数学模型。 第三:在数学建模课堂上的启发 教师提供课题(实际课件)或让学生在生活中、社会中寻找课题，学生要经过查阅资料、分析并合理假设、多方案选择建立数学模型、数值计算(使用软件包及编制程序)，实际检验并推广、撰写论文报告、等研究过程，从而使学生应具备的应用数学知识能力、用计算机处理计算的能力、系统思维能力与创新能力在“实践”中得以锻炼和提高。数学建模教学可以地发挥学生的“参与”意识，教师与学生地位平等，共同讨论，对学生的口头表达、快速反应、勇于发表自己的见解是一个很好的训练。由于不同知识结构的学生聚在一起互相讨论，经过争论而达到共识，使学生的学习变被动为“主动”，主动参与“教”与“学”，极大地调动了学生自觉学习知识的积极性，对今后的学习也产生了重要影响。数学建模的学习有助于学习策略和方法的形成;有利于培养学生的综合素质和促进学生全面发展;可以促使教师自觉转变观念，不断学习，更新知识;有利于教师提高滋生的科研能力和创造力;有利于培养学生合作学习的能力;有利于学生体验数学与生活、数学与其他科学的联系;有利于发现学生的创新意识„„ 二、存在的困惑 1.数学建模的学习是学生探究问题的过程，主要由学生自己完成，学生具有高度的主体性，注重学生在学习过程中的体验，是一种建构活动，是一种形成活动，一种反思活动，具体教学中我们应该采用怎样的具体模式, 2.问题解决的思维模型是什么, 常见的中学数学建模问题分析 博兴县吕艺一中 周文博 数学建模就是用数学的语言和方法对各种实际问题做出抽象或模仿而形成的一种数学结 构，将所考察的实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，通过对数学模型的研究和 解答，使原来的实际问题得以解决。几类常见的中学数学建模问题一般如下: 一、 建立方程(组)模型 现实生活中广泛存在着等量关系，如储蓄利息、工程、行程、销售利润、配比、面 积、盈亏、增长率等问题中涉及的有关量之间的求解，常归结为解方程(组)，通过建 立方程(组)模型予以解决。 例1 王明同学将100元压岁钱第一次按一年定期储蓄入“少儿银行”，到期后将本息取 出，并将其中的50元捐给了工程，剩余的又全部按一年的定期存入，这时存款的年利 率已下调到第一次存款年利率的一半，这样到期后得到本金和利息共63元，求第一次 存款时的年利率。解 设第一次存款时的年利率为X，根据题中的等量关系方程: [100(1+X)-50](1+0.5X)=63,解得X1=0.1，X2=-2.6<0(不合题意，舍去)，所以年利率为 X=0.1=10% 。 二(建立不等式(组)模型 生活中不等量关系式普遍存在的，如家庭理财、生产决策、统筹安排、最优化等问 题中涉及的有关量之间的求解，常归结为绝不等式(组)模型予以解决。 例2 我市向西部某地区赠送一批计算机，首批270台将于近期起运，经与某物公 司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完;用B型汽车不仅可少用一辆，而且有一辆车 差30台计算机才装满。(1)已知B型汽车比A型汽车每辆可多装15台，求A、B两 种型号的汽车各能装计算机多少台,(2)已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽 车的运费是每辆400元，若运送这批计算机的同时用这两种型号的汽车，其中B型汽 车比A型汽车多用一辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方 案，需A、B两种型号的汽车各多少辆,运费多少元,解(1)设A型汽车每辆能装X 台计算机，B型汽车每辆能装Y台计算机，根据题中的等量关系得方程组: 解得(不合题意，舍去) (2)单独用A型汽车的运费是X350 =2100(元)，单独用B型汽车的运费是 270 27027030， X,,90X,45 21 1,， { { XY 45 Y,60 Y,,75 { 1 2 YX,，15 ，设需用A型汽车Z辆、B型汽车(Z+1)辆，运费最节省，由题意得350Z+400(Z+1)<2000，解得Z<32/15，由题意得知Z为整数，只可能取0、1、2，而当Z=0时，0 x45+(0+1)x60<270,不合题意，舍去;当Z=1时，1x45+(1+1)x60<270,不合题意，舍去;当Z=2时，2x45+(2+1)x60=270,符合题意。所以需A型汽车2辆，B型汽车3辆，运费为2×350+3×400=1900(元)。 例3 育才中学餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到:同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元。甲商场称:每购买一张餐桌赠送一把桌椅;已商场称:所以餐桌均按报价的八五折销售，那么，什么情况下到甲商场购买更优惠,解 设育才中学计划购买X把餐椅，由题中的不等量关系得:200×12+50(X-12)<(200×12+50X)×85%，解得X<32，即当购买的餐椅少于32把时，到甲商场购买更优惠。 三、建立函数模型 函数模型是用联系的、发展的、运动变化的观点分析研究实际问题中的数量关系，建立已知量与未知量之间的函数解析式，运用函数图像、性质求解。现实生活中的许多问题，如炮弹发射、投掷、喷灌等物体的运动轨迹有某种规律，变量间的变化具有某种函数关系;再如市场经济中普遍存在的成本最低，产出、利润最大，效益最好等最优化问题中也往往蕴含着量与量的函数关系，可透过实际问题的背景，抓住本质，挖掘其中隐含的数量关系，通过建立函数模型，使问题得到解决。 ，例4 为了支援西部开发，现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货27030车运往西部某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的车厢共40节，使用A型车厢每节运费为6000元，使用B型车厢每节运费为8000元。(1)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案,(2)在上述方案中，哪个方案运费最省,最少运费是多少元,解(1)设装货时按要求安排A型车厢X节，则B型车厢(40-X)节，由题意得: 35X+25(40-X) ?1240 解得24?X?26 15X+35(40-X) ?880 由题意知X为整数，只可能取24、25、26，相应的(40-X)值为16、15、14，所以有三种方案:?可安排24节A型车厢和16节B型车厢;?可安排25节A型车厢和15节B型车厢;?可安排26节A型车厢和14节B型车厢。(2)设运费为Y元，则Y与X间的函数关系式为Y=6000X+8000(40-X),即Y=-2000X+320000 (24?X?26) ?-20000<0?函数Y随X的增大而减小，?当X=26时，运费最省，Y(最小值)=-2000×26+320000=268000，即采用第?中方案运费最省，最少运费是268000元。 例5 在CBA的一场篮球赛中，运动员甲在距离篮下4米处挑起投篮，球出手时02000,(元)x40离地面2.25米，球运行的路线是抛物线。当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米。已知篮圈中心到地面的距离3.05米，问此球是否投中,解 以运动员甲脚为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则球出手点A、最高点B和篮圈中心点C的坐标分别为A(0,2.25) 、B(2.5,3.5)、C(4,3.05),设过A、B两点的抛物线的解析式为 22(2.5)3.5x,，(2.5)3.5x,，Y=a?2.25=a,解得a=-0.2，?抛物线的解析式为 2(2.5)3.5x,，Y=-0.2=3.05，?点C(4,3.05)在抛物线上，?此球能投中。 例6 某超市将进货价为每件60元的商品按每件100元售出，一个月能售出400 4515， 件，为了获得最大利润，超市准备调整销售价格，经市场调查发现:在原订每件售价的基础上，每提高一元，月销售量就减少20件。试问如何调整销售价，才能获得最大利润,月内获得的最大利润是多少,解 设销售价调整为每件X元时月内获得利润为Y元，根据题意得Y=(X-60) [400-20(X-100) ] 22(90)X,即Y=-20+3600X-144000=-20+18000 X ？,,x600,在不亏本的前提下Y?0 解得60?x?120 ,400201000,,,x，，, 2(90)18000(60120)200xx,，,,,,?Y=-20 ?抛物线开口向下，Y有最大值，当X=90时，Y(最大值)=18000，所以当销售价调整为每件90元时，才能获得最大利润，月内获得的最大利润是18000元。 四、建立三角模型 三角函数在测量高量距、航海、机翼、渠坝坡比、燕尾槽、房屋架的计算等许多方面都有着广泛的应用，对上述的有关系实际问题，我们常常构造直角三角形，将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，建立三角模型解决问题。 五、建立统计模型 统计知识在社会生活中有着广泛应用，如市场调查、经营决策、天气预报、考察成绩、选优、估算等问题，建立统计模型，从实际中收集、整理、分析数据，揭示数据的集中趋势与离散程度，从而预见实物的发展趋势，作出合理的决策 甲 8 7 9 8 7 9 7 8 9 8 乙 8 6 10 7 9 5 9 7 9 10 例7 甲、乙两人在相同条件下打靶，射中的环数如上表所示，根据提供的信息，应选谁参加2004年的雅典奥运会,请说明理由。解 易算得甲、乙两人射中的评价环数 2222SSSS都是8环，但(甲)=0.6，(乙)=2.6，从(甲)<(乙)知道，射手甲比射手乙波动小，成绩较稳定，所以选甲参加2004年的雅典奥运会。 例 8某养鱼户投资池塘养鱼，第一年放养鲢鱼苗20000尾，其成活率约为70%，秋季捕捞前，随意捞出10尾鱼，称得其重量(单位:千克)如下:0.8,0.9,1.2,1.3,0.8，0.9，1.1,1.0,1.2,0.8。(1)根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克,(2)如果按市场售价4元/千克，把这塘鱼全部卖掉，共收入多少钱,出去当年成本16000元，第一年的纯收入是多少,(3)已知该养鱼户三年来的纯收入为132400元，那么第二、三年平均每年的增长率是多少, 解 (1)先求出样本平均数为1.0，那么可估计这塘鱼的总产量约是1.0×20000×70%=14000(千克);(2)全部按市场价售出，共收入4×14000=56000(元)，则第一年的纯收入是56000-16000=40000(元);(3)设第二、三年平均每年的增长率是X， 2XX根据题意得40000+40000(1+X)+400001，x=132400，解得=0.1,=-3.1<0不，，12合题意，舍去，所以增长率是X=0.1=10%。 数学源于生活，生活中处处有数学，处处需要应用数学。在课堂教学中，以实际问题为背景，以相关的数学知识为载体，以数学思想方法为灵魂，引导学生积极参与数学建模活动，逐渐体会数学建模的价值和作用，学会用数学的思维方式去观察、分析显示社会，去解决日常生活中的问题，进而促进学生思维能力、情感态度与价值观的发展， 增强应用意识，深化创新思维品质，为终止学习和可持续发展打好基础。 影响初中数学建模教学的原因分析 济阳县创新中学 马红梅 任升远等专家认为“中学数学加强应用能力的培养已获得全社会的共识，作为解决实际应用问题的主要能力——数学建模能力也逐渐被教育工作者所重视”。从教学的角度来看，孙杰远等人认为“建模是一种新的学习方式，它为学生提供了自主的学习空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力”。而从实质上讲，数学建模教学过程不是简单的外部知识和内部知识的叠加，而是一个师生之间反复交流相互作用的过程。所以影响初中数学建模教学的主要原因有两个方面:学生原因和教师的原因。 一 学生的原因 (一)心理因素——缺乏足够的信心 数学建模是用数学知识和数学方法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动。心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素:(1)自觉的创新意识;(2)强烈的好奇心和求知欲;(3)积极稳定的情感;(4)顽强的毅力;(5)独立的个性;(6)强烈而明确的价值观;(7)有效的组织知识。许多学生不具备以上良好的心理品质，因而遇到数学实际问题时，感到茫然，不知从何下手，产生惧怕数学建模题的心理。在测试后对学生访谈发现，有50.2%的学生对假设以后考试中出现数学建模题的成功建模信心不足或没有信心。造成学生对解建模题没有信心的原因主要是缺失成功的体验。解决这一问题的最好办法是先让学生从简单应用题开始，先树立信心，因为解决简单应用题具有问题背景简单，语言直接，模型明显的特点。其解决过程也涵盖了理解背景，语言转化，选择模型，解决问题等主要过程。通过先解简单应用题，可为学生解综合应用问题打下基础，又给学生带来解应用问题的成功体验，树立解应用问题的信心，为学生对以后复杂题目的成功建模打下良好的心态基础。 (二)数学抽象化能力较弱 数学建模的关键是第一步骤即将现实问题转化成课堂模型，学生必须要整理数据，简化现实问题。在传统的数学教学中，呈现在学生面前的问题总是数据简单，语言精练，学生能一目了然知道已知条件与所求的问题。而数学建模教学过程中，呈现在学生面前的是一个现实生活中的实际问题，虽然文字贴近现实生活，但是题目相对较长，数据相对较多，信息量较大，数量关系复杂并且有时显得隐蔽，这就要求学生比学经历一个阅读理解的过程。要 先对文字仔细阅读，同时进行信息加工处理，提取问题中的有用信息，建立这些信息之间的相互联系，然后用合理的方式表达信息。因此，面对冗长的非形式化的素材，许多学生感到困惑。在信息接纳过程中，由于问题提供的信息繁杂，学多学生对信息的感悟能力较差，对已知与所求之间的关系认识不明确，有些学生不能将这些数据很好地整合在一起，却将他们割裂地看待。学生们缺乏在整体意义下对各项信息关系的内在分析，不会使用表格将数据条理化，理顺各种关系，建立起直观的数学信息图。 数学阅读能力的差异性影响着学生成功建模。主要表现在以下几个方面:不熟悉实际名词与各数量之间的关系，从而无法下手。比如:在建立方程模型或不等式建模时，与储蓄有关的“本金，利息，本息和，期数，利率，利息税”以及商品营销中的“金价，标价，利润，利润率，打折，折旧率”等术语以及它们数量关系，如果一概不知，就谈不上如何去理解意思，更谈不上成功建模了。 (三)缺乏实际问题转化数学模型的经验 分析近年各省市的中考题目，各地的数学建模应用题的呈现的形式是多种多样的，有的以函数显示;有的以方程显示;有的以图形显示;有的以不等式显示;有的以概率统计显示;还有其它各种形式，但都从生活中的实际问题出发，设立情境。例如有一道数学题:某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价25万元，市场调研表明:当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.15万元时，平均每周能多售出4辆。如果设每辆汽车降价X万元，每辆汽车的销售利润为Y万元。 (1) 求Y与X的函数关系式;在保证商家不亏本的前提下，写出X的取值范围; (2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为Z万元，试写出Z与X之间的函数关系式; (3) 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大,最大利润是多少, 该题问题情境就是汽车销售的利润问题，目的是考察学生利用函数的模型来解决实际问题的能力。学生需要将“问题情境”的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系。需要知道进货价，销售价，销售利润的含义，才能很好解决问题。中考中的数学建模题有时问题语言，符号语言，图形语言相互交织，这就对学生的阅读理解和逻辑思维能力提出了一定的要求，但学生往往由于生活阅历累积不够对问题的背景感觉陌生，从而产生畏难情绪，难以成功建模。 二、教师原因 (一)教师对数学建模教学的理解问题 数学建模教学在我国起步较晚，是一个较新的事物，很多数学老师对此没有学习和接触，因而，数学教师对数学建模教学的理解参差不齐。比如，有的教师没有体会到数学建模教学是一个不断循环的过程，有些教师认为，数学建模与解决应用题无关，而有的教师认为数学建模就是解数学应用题。对数学建模的这些片面性认识将给数学教师开展数学建模教学带来很多困难。 (二)教师角色的转换问题 数学建模教学的基本特点要求教师选择合理的建模问题，精心创造问题的情境，引导学生主动探索，发挥他们的想象力和创造力，并为学生提供参考和建议等。数学建模是促使学生“从做中学”的一种重要方式，在建模教学活动中，教师要放手让学生去“做”，并且给他们自主选择解题方法的权利。有些教师认为建模问题一般都较为复杂，侧重于综合性知识、应用性知识， 怀疑中学生的解题能力，于是，将自己的解题过程讲解给学生，失去了建模教学活动的意义。在建模教学活动中，教师给学生以适时的引导也是必要的，但主要的工作应放手让学生去做，相信你的学生。教师是建模教学活动的组织者、参与者，而不是单纯的示范者、传道者，但在建模教学中还有不少教师扔采用传统的教学方式，没有积极地进行教学方式 的探索与改革，这在很大程度上影响了学生数学建模意识与能力的培养。因此，数学建模教学的实施，比将对教师的传统角色提出挑战，导致教师在教学理念、教学行为等方面发生变化。 (三)教师的业务素质要提高 开展数学建模教学，教师必须要有广博的知识和较高的业务素质。一是在了解科学的发展历史和发展动态之上，不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活，经常钻研教材，研究教材的蕴含内容，从中挖掘数学建模教学的素材、除了将数学建模活动与现在教材结合起来研究还要注意加强与其它学科联系。二是必须有较高的数学专业知识，特别是应有高等数学知识，以便能用高观点来看待数学实际问题，更容易地发现现实中素材。三是要有较高的教育教学水平，善于驾驭教学过程，引导学生开展讨论、研究等活动，善于启发学生的思维活动、提高学生的元认知能力;有较高的教学艺术，能适时地诱发学生的好奇心，激发学生的求知欲，培养学生的探索能力，为学生创造一个活跃的学习空间。四是要有较高的科研能力，特别是在教学中要加强建模教学方法研究，理解数学建模的重要思想和基本方法，把构建数学建模意识和培养学生创造力统一起来。 (四)教师需要改变对学生的评价方式 “数学建模的教学使得教学活动更加复杂，很多教师感到不能灵活自如地应用数学的例子，估价学生的成就就更加困难。” 传统的数学教学评价只要求学生提供问题的答案，而对于学生如何获得这些答案的，漠不关心。这样对学生获得答案的思考与推理、假设的形成以及如何证据等，就不可能促使学生注重科学探索的过程，养成科学研究的习惯和严谨的科学态度和精神，反而易形成一些似是而非的认识和习惯，不利于起良好思维品质的形成，限制其解决问题的灵活性和创造性。数学建模教学为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他科学的联系，体验综合创新意识和时间能力。而在数学建模教学过程中，有的教师对学生进行数学建模活动的评价没有改变，不注重过程，而只看结果。如果最终学生没能解出正确的答案，则对教学效果不满意，这都会影响数学建模教学的开展。 学生是数学课堂教学的主题，教师是学生数学活动的组织者、引导者和合作者。教师要正确地认识学生的个体差异，因材施教，使每个学生的都在原有基础上得到充分发展;要注意学生的学习过程，只有关注过程，教师才可能深入学生发展的过程，及时了解学生在发展中遇到的问题、所作出的努力以及获得的进步，这样才有可能对学生的可持续发展和提高进行有效的指导、评价，促进发展的功能才能发挥作用。于此同时，也只有在关注过程中，才能有效地帮助学生形成积极的学习态度、科学的探究精神，才能注重学生在学习过程中的情感体验、价值观的形成。实现“知识与技能“、”过程与方法“、”情感态度与价值观的全面发展”。如果在整个建模教学过程中学生如果处于一种积极、活跃，兴奋的状态，并由此丰富了学生学习的经验，进而促使学生获取知识和运用知识能力的提高，那就是达到了较好的学习效果。